微积分学示例

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{2 \sqrt{x}}$

解题步骤 1

分离变量。

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解题步骤 1.1

两边同时乘以 $\frac{1}{y}$ 。

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} \cdot \frac{y}{2 \sqrt{x}}$

解题步骤 1.2

化简。

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解题步骤 1.2.1

约去 $y$ 的公因数。

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解题步骤 1.2.1.1

约去公因数。

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} \cdot \frac{y}{2 \sqrt{x}}$

解题步骤 1.2.1.2

重写表达式。

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{2 \sqrt{x}}$

解题步骤 1.2.2

将 $\frac{1}{2 \sqrt{x}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$ 。

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{2 \sqrt{x}} \cdot \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$

解题步骤 1.2.3

合并和化简分母。

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解题步骤 1.2.3.1

将 $\frac{1}{2 \sqrt{x}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$ 。

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{\sqrt{x}}{2 \sqrt{x} \sqrt{x}}$

解题步骤 1.2.3.2

移动 $\sqrt{x}$ 。

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{\sqrt{x}}{2 (\sqrt{x} \sqrt{x})}$

解题步骤 1.2.3.3

对 $\sqrt{x}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{\sqrt{x}}{2 ({\sqrt{x}}^{1} \sqrt{x})}$

解题步骤 1.2.3.4

对 $\sqrt{x}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{\sqrt{x}}{2 ({\sqrt{x}}^{1} {\sqrt{x}}^{1})}$

解题步骤 1.2.3.5

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{\sqrt{x}}{2 {\sqrt{x}}^{1 + 1}}$

解题步骤 1.2.3.6

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{\sqrt{x}}{2 {\sqrt{x}}^{2}}$

解题步骤 1.2.3.7

将 ${\sqrt{x}}^{2}$ 重写为 $x$ 。

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解题步骤 1.2.3.7.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{x}$ 重写成 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{\sqrt{x}}{2 {(x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 1.2.3.7.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{\sqrt{x}}{2 x^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

解题步骤 1.2.3.7.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{\sqrt{x}}{2 x^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 1.2.3.7.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 1.2.3.7.4.1

约去公因数。

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{\sqrt{x}}{2 x^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 1.2.3.7.4.2

重写表达式。

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{\sqrt{x}}{2 x^{1}}$

解题步骤 1.2.3.7.5

化简。

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{\sqrt{x}}{2 x}$

解题步骤 1.3

重写该方程。

$\frac{1}{y} d y = \frac{\sqrt{x}}{2 x} d x$

解题步骤 2

对两边积分。

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解题步骤 2.1

在两边建立积分。

$\int \frac{1}{y} d y = \int \frac{\sqrt{x}}{2 x} d x$

解题步骤 2.2

$\frac{1}{y}$ 对 $y$ 的积分为 $\ln (| y |)$ 。

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{\sqrt{x}}{2 x} d x$

解题步骤 2.3

对右边积分。

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解题步骤 2.3.1

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{1}{2} \int \frac{\sqrt{x}}{x} d x$

解题步骤 2.3.2

化简表达式。

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解题步骤 2.3.2.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{x}$ 重写成 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{1}{2} \int \frac{x^{\frac{1}{2}}}{x} d x$

解题步骤 2.3.2.2

化简。

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解题步骤 2.3.2.2.1

使用负指数规则 $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ 将 $x^{\frac{1}{2}}$ 移动到分母。

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{1}{2} \int \frac{1}{x \cdot x^{- \frac{1}{2}}} d x$

解题步骤 2.3.2.2.2

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x^{- \frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 2.3.2.2.2.1

将 $x$ 乘以 $x^{- \frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 2.3.2.2.2.1.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{1}{2} \int \frac{1}{x^{1} x^{- \frac{1}{2}}} d x$

解题步骤 2.3.2.2.2.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{1}{2} \int \frac{1}{x^{1 - \frac{1}{2}}} d x$

解题步骤 2.3.2.2.2.2

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{1}{2} \int \frac{1}{x^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}} d x$

解题步骤 2.3.2.2.2.3

在公分母上合并分子。

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{1}{2} \int \frac{1}{x^{\frac{2 - 1}{2}}} d x$

解题步骤 2.3.2.2.2.4

从 $2$ 中减去 $1$ 。

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{1}{2} \int \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} d x$

解题步骤 2.3.2.3

应用指数的基本规则。

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解题步骤 2.3.2.3.1

通过将 $x^{\frac{1}{2}}$ 乘以 $- 1$ 次幂来将其移出分母。

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{1}{2} \int {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d x$

解题步骤 2.3.2.3.2

将 ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 2.3.2.3.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{1}{2} \int x^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d x$

解题步骤 2.3.2.3.2.2

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $- 1$ 。

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{1}{2} \int x^{\frac{- 1}{2}} d x$

解题步骤 2.3.2.3.2.3

将负号移到分数的前面。

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{1}{2} \int x^{- \frac{1}{2}} d x$

解题步骤 2.3.3

根据幂法则， $x^{- \frac{1}{2}}$ 对 $x$ 的积分是 $2 x^{\frac{1}{2}}$ 。

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{1}{2} (2 x^{\frac{1}{2}} + C_{2})$

解题步骤 2.3.4

化简答案。

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解题步骤 2.3.4.1

将 $\frac{1}{2} (2 x^{\frac{1}{2}} + C_{2})$ 重写为 $\frac{1}{2} \cdot 2 x^{\frac{1}{2}} + C_{2}$ 。

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{1}{2} \cdot 2 x^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

解题步骤 2.3.4.2

化简。

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解题步骤 2.3.4.2.1

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{2}{2} x^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

解题步骤 2.3.4.2.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.3.4.2.2.1

约去公因数。

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{2}{2} x^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

解题步骤 2.3.4.2.2.2

重写表达式。

$\ln (| y |) + C_{1} = 1 x^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

解题步骤 2.3.4.2.3

将 $x^{\frac{1}{2}}$ 乘以 $1$ 。

$\ln (| y |) + C_{1} = x^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

解题步骤 2.4

将右边的积分常数分组为 $C$ 。

$\ln (| y |) = x^{\frac{1}{2}} + C$

解题步骤 3

求解 $y$ 。

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解题步骤 3.1

要求解 $y$ ，请利用对数的性质重写方程。

$e^{\ln (| y |)} = e^{x^{\frac{1}{2}} + C}$

解题步骤 3.2

使用对数的定义将 $\ln (| y |) = x^{\frac{1}{2}} + C$ 重写成指数形式。如果 $x$ 和 $b$ 是正实数且 $b \neq 1$ ，则 $\log_{b} (x) = y$ 等价于 $b^{y} = x$ 。

$e^{x^{\frac{1}{2}} + C} = | y |$

解题步骤 3.3

求解 $y$ 。

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解题步骤 3.3.1

将方程重写为 $| y | = e^{x^{\frac{1}{2}} + C}$ 。

$| y | = e^{x^{\frac{1}{2}} + C}$

解题步骤 3.3.2

去掉绝对值项。因为 $| x | = \pm x$ ，所以这将使方程右边新增 $\pm$ 。

$y = \pm e^{x^{\frac{1}{2}} + C}$

解题步骤 4

将常数项组合在一起。

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解题步骤 4.1

将 $e^{x^{\frac{1}{2}} + C}$ 重写为 $e^{x^{\frac{1}{2}}} e^{C}$ 。

$y = \pm e^{x^{\frac{1}{2}}} e^{C}$

解题步骤 4.2

将 $e^{x^{\frac{1}{2}}}$ 和 $e^{C}$ 重新排序。

$y = \pm e^{C} e^{x^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 4.3

用加号或减号合并常数。

$y = C e^{x^{\frac{1}{2}}}$

微积分学 示例

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