微积分学示例

$e^{y} d y - (1 + e^{y}) d x = 0$

解题步骤 1

在等式两边都加上 $(1 + e^{y}) d x$ 。

$e^{y} d y = (1 + e^{y}) d x$

解题步骤 2

两边同时乘以 $\frac{1}{1 + e^{y}}$ 。

$\frac{1}{1 + e^{y}} e^{y} d y = \frac{1}{1 + e^{y}} (1 + e^{y}) d x$

解题步骤 3

化简。

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解题步骤 3.1

组合 $\frac{1}{1 + e^{y}}$ 和 $e^{y}$ 。

$\frac{e^{y}}{1 + e^{y}} d y = \frac{1}{1 + e^{y}} (1 + e^{y}) d x$

解题步骤 3.2

约去 $1 + e^{y}$ 的公因数。

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解题步骤 3.2.1

约去公因数。

$\frac{e^{y}}{1 + e^{y}} d y = \frac{1}{1 + e^{y}} (1 + e^{y}) d x$

解题步骤 3.2.2

重写表达式。

$\frac{e^{y}}{1 + e^{y}} d y = 1 d x$

解题步骤 4

对两边积分。

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解题步骤 4.1

在两边建立积分。

$\int \frac{e^{y}}{1 + e^{y}} d y = \int d x$

解题步骤 4.2

对左边积分。

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解题步骤 4.2.1

使 $u = 1 + e^{y}$ 。然后使 $d u = e^{y} d y$ ，以便 $\frac{1}{e^{y}} d u = d y$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 4.2.1.1

设 $u = 1 + e^{y}$ 。求 $\frac{d u}{d y}$ 。

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解题步骤 4.2.1.1.1

对 $1 + e^{y}$ 求导。

$\frac{d}{d y} [1 + e^{y}]$

解题步骤 4.2.1.1.2

求微分。

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解题步骤 4.2.1.1.2.1

根据加法法则， $1 + e^{y}$ 对 $y$ 的导数是 $\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [e^{y}]$ 。

$\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [e^{y}]$

解题步骤 4.2.1.1.2.2

因为 $1$ 对于 $y$ 是常数，所以 $1$ 对 $y$ 的导数为 $0$ 。

$0 + \frac{d}{d y} [e^{y}]$

解题步骤 4.2.1.1.3

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [a^{y}]$ 等于 $a^{y} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$0 + e^{y}$

解题步骤 4.2.1.1.4

将 $0$ 和 $e^{y}$ 相加。

$e^{y}$

解题步骤 4.2.1.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$\int \frac{1}{u} d u = \int d x$

解题步骤 4.2.2

$\frac{1}{u}$ 对 $u$ 的积分为 $\ln (| u |)$ 。

$\ln (| u |) + C_{1} = \int d x$

解题步骤 4.2.3

使用 $1 + e^{y}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\ln (| 1 + e^{y} |) + C_{1} = \int d x$

解题步骤 4.3

应用常数不变法则。

$\ln (| 1 + e^{y} |) + C_{1} = x + C_{2}$

解题步骤 4.4

将右边的积分常数分组为 $C$ 。

$\ln (| 1 + e^{y} |) = x + C$

微积分学 示例

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