微积分学示例

$x \frac{d y}{d x} + y = \sqrt{x}$

解题步骤 1

检查方程的左侧是否是 $x y$ 项的导数的结果。

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解题步骤 1.1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x$ 且 $g (x) = y$ 。

$x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 1.2

将 $\frac{d}{d x} [y]$ 重写为 $y'$ 。

$x y' + y \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$x y' + y \cdot 1$

解题步骤 1.4

代入 $\frac{d y}{d x}$ 替换 $y'$ 。

$x \frac{d y}{d x} + y \cdot 1$

解题步骤 1.5

将 $y$ 和 $1$ 重新排序。

$x \frac{d y}{d x} + 1 \cdot y$

解题步骤 1.6

将 $y$ 乘以 $1$ 。

$x \frac{d y}{d x} + y$

解题步骤 2

将左边重写为对积求导的结果。

$\frac{d}{d x} [x y] = \sqrt{x}$

解题步骤 3

在两边建立积分。

$\int \frac{d}{d x} [x y] d x = \int \sqrt{x} d x$

解题步骤 4

对左边积分。

$x y = \int \sqrt{x} d x$

解题步骤 5

对右边积分。

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解题步骤 5.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{x}$ 重写成 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

$x y = \int x^{\frac{1}{2}} d x$

解题步骤 5.2

根据幂法则， $x^{\frac{1}{2}}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ 。

$x y = \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C$

解题步骤 6

将 $x y = \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C$ 中的每一项除以 $x$ 并化简。

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解题步骤 6.1

将 $x y = \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C$ 中的每一项都除以 $x$ 。

$\frac{x y}{x} = \frac{\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}}{x} + \frac{C}{x}$

解题步骤 6.2

化简左边。

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解题步骤 6.2.1

约去 $x$ 的公因数。

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解题步骤 6.2.1.1

约去公因数。

$\frac{x y}{x} = \frac{\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}}{x} + \frac{C}{x}$

解题步骤 6.2.1.2

用 $y$ 除以 $1$ 。

$y = \frac{\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}}{x} + \frac{C}{x}$

解题步骤 6.3

化简右边。

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解题步骤 6.3.1

化简每一项。

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解题步骤 6.3.1.1

使用负指数规则 $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ 将 $x^{1}$ 移动到分子。

$y = \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} x^{- 1} + \frac{C}{x}$

解题步骤 6.3.1.2

通过指数相加将 $x^{\frac{3}{2}}$ 乘以 $x^{- 1}$ 。

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解题步骤 6.3.1.2.1

移动 $x^{- 1}$ 。

$y = \frac{2}{3} (x^{- 1} x^{\frac{3}{2}}) + \frac{C}{x}$

解题步骤 6.3.1.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$y = \frac{2}{3} x^{- 1 + \frac{3}{2}} + \frac{C}{x}$

解题步骤 6.3.1.2.3

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$y = \frac{2}{3} x^{- 1 \cdot \frac{2}{2} + \frac{3}{2}} + \frac{C}{x}$

解题步骤 6.3.1.2.4

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$y = \frac{2}{3} x^{\frac{- 1 \cdot 2}{2} + \frac{3}{2}} + \frac{C}{x}$

解题步骤 6.3.1.2.5

在公分母上合并分子。

$y = \frac{2}{3} x^{\frac{- 1 \cdot 2 + 3}{2}} + \frac{C}{x}$

解题步骤 6.3.1.2.6

化简分子。

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解题步骤 6.3.1.2.6.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$y = \frac{2}{3} x^{\frac{- 2 + 3}{2}} + \frac{C}{x}$

解题步骤 6.3.1.2.6.2

将 $- 2$ 和 $3$ 相加。

$y = \frac{2}{3} x^{\frac{1}{2}} + \frac{C}{x}$

解题步骤 6.3.1.3

组合 $\frac{2}{3}$ 和 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

$y = \frac{2 x^{\frac{1}{2}}}{3} + \frac{C}{x}$

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