微积分学示例

$2 \frac{d y}{d x} = 4 x e^{- x}$

解题步骤 1

重写该方程。

$2 d y = 4 x e^{- x} d x$

解题步骤 2

对两边积分。

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解题步骤 2.1

在两边建立积分。

$\int 2 d y = \int 4 x e^{- x} d x$

解题步骤 2.2

应用常数不变法则。

$2 y + C_{1} = \int 4 x e^{- x} d x$

解题步骤 2.3

对右边积分。

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解题步骤 2.3.1

由于 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $4$ 移到积分外。

$2 y + C_{1} = 4 \int x e^{- x} d x$

解题步骤 2.3.2

利用公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ 来分部求积分，其中 $u = x$ ， $d v = e^{- x}$ 。

$2 y + C_{1} = 4 (x (- e^{- x}) - \int - e^{- x} d x)$

解题步骤 2.3.3

由于 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$2 y + C_{1} = 4 (x (- e^{- x}) - - \int e^{- x} d x)$

解题步骤 2.3.4

化简。

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解题步骤 2.3.4.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$2 y + C_{1} = 4 (x (- e^{- x}) + 1 \int e^{- x} d x)$

解题步骤 2.3.4.2

将 $\int e^{- x} d x$ 乘以 $1$ 。

$2 y + C_{1} = 4 (x (- e^{- x}) + \int e^{- x} d x)$

解题步骤 2.3.5

使 $u = - x$ 。然后使 $d u = - d x$ ，以便 $- d u = d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 2.3.5.1

设 $u = - x$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 2.3.5.1.1

对 $- x$ 求导。

$\frac{d}{d x} [- x]$

解题步骤 2.3.5.1.2

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x]$ 。

$- \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 2.3.5.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$- 1 \cdot 1$

解题步骤 2.3.5.1.4

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$- 1$

解题步骤 2.3.5.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$2 y + C_{1} = 4 (x (- e^{- x}) + \int - e^{u} d u)$

解题步骤 2.3.6

由于 $- 1$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$2 y + C_{1} = 4 (x (- e^{- x}) - \int e^{u} d u)$

解题步骤 2.3.7

$e^{u}$ 对 $u$ 的积分为 $e^{u}$ 。

$2 y + C_{1} = 4 (x (- e^{- x}) - (e^{u} + C_{2}))$

解题步骤 2.3.8

将 $4 (x (- e^{- x}) - (e^{u} + C_{2}))$ 重写为 $4 (- x e^{- x} - e^{u}) + C_{2}$ 。

$2 y + C_{1} = 4 (- x e^{- x} - e^{u}) + C_{2}$

解题步骤 2.3.9

使用 $- x$ 替换所有出现的 $u$ 。

$2 y + C_{1} = 4 (- x e^{- x} - e^{- x}) + C_{2}$

解题步骤 2.4

将右边的积分常数分组为 $K$ 。

$2 y = 4 (- x e^{- x} - e^{- x}) + K$

解题步骤 3

将 $2 y = 4 (- x e^{- x} - e^{- x}) + K$ 中的每一项除以 $2$ 并化简。

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解题步骤 3.1

将 $2 y = 4 (- x e^{- x} - e^{- x}) + K$ 中的每一项都除以 $2$ 。

$\frac{2 y}{2} = \frac{4 (- x e^{- x} - e^{- x})}{2} + \frac{K}{2}$

解题步骤 3.2

化简左边。

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解题步骤 3.2.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.2.1.1

约去公因数。

$\frac{2 y}{2} = \frac{4 (- x e^{- x} - e^{- x})}{2} + \frac{K}{2}$

解题步骤 3.2.1.2

用 $y$ 除以 $1$ 。

$y = \frac{4 (- x e^{- x} - e^{- x})}{2} + \frac{K}{2}$

解题步骤 3.3

化简右边。

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解题步骤 3.3.1

在公分母上合并分子。

$y = \frac{4 (- x e^{- x} - e^{- x}) + K}{2}$

解题步骤 3.3.2

化简分子。

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解题步骤 3.3.2.1

运用分配律。

$y = \frac{4 (- x e^{- x}) + 4 (- e^{- x}) + K}{2}$

解题步骤 3.3.2.2

将 $- 1$ 乘以 $4$ 。

$y = \frac{- 4 (x e^{- x}) + 4 (- e^{- x}) + K}{2}$

解题步骤 3.3.2.3

将 $- 1$ 乘以 $4$ 。

$y = \frac{- 4 x e^{- x} - 4 e^{- x} + K}{2}$

解题步骤 3.3.3

通过提取公因式进行化简。

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解题步骤 3.3.3.1

从 $- 4 x e^{- x}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$y = \frac{- (4 x e^{- x}) - 4 e^{- x} + K}{2}$

解题步骤 3.3.3.2

从 $- 4 e^{- x}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$y = \frac{- (4 x e^{- x}) - (4 e^{- x}) + K}{2}$

解题步骤 3.3.3.3

从 $- (4 x e^{- x}) - (4 e^{- x})$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$y = \frac{- (4 x e^{- x} + 4 e^{- x}) + K}{2}$

解题步骤 3.3.3.4

从 $K$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$y = \frac{- (4 x e^{- x} + 4 e^{- x}) - 1 (- K)}{2}$

解题步骤 3.3.3.5

从 $- (4 x e^{- x} + 4 e^{- x}) - 1 (- K)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$y = \frac{- (4 x e^{- x} + 4 e^{- x} - K)}{2}$

解题步骤 3.3.3.6

化简表达式。

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解题步骤 3.3.3.6.1

将 $- (4 x e^{- x} + 4 e^{- x} - K)$ 重写为 $- 1 (4 x e^{- x} + 4 e^{- x} - K)$ 。

$y = \frac{- 1 (4 x e^{- x} + 4 e^{- x} - K)}{2}$

解题步骤 3.3.3.6.2

将负号移到分数的前面。

$y = - \frac{4 x e^{- x} + 4 e^{- x} - K}{2}$

解题步骤 4

化简积分常数。

$y = - \frac{4 x e^{- x} + 4 e^{- x} + K}{2}$

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