微积分学示例

$y d x - x d y = 0$

解题步骤 1

代入 $y d$ 替换 $yd$ 。

$y d x - x d y = 0$

解题步骤 2

从等式两边同时减去 $y d x$ 。

$- x d y = - y d x$

解题步骤 3

两边同时乘以 $\frac{1}{x y}$ 。

$\frac{1}{x y} (- x) d y = \frac{1}{x y} (- y) d x$

解题步骤 4

化简。

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解题步骤 4.1

使用乘法的交换性质重写。

$- \frac{1}{x y} x d y = \frac{1}{x y} (- y) d x$

解题步骤 4.2

约去 $x$ 的公因数。

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解题步骤 4.2.1

将 $- \frac{1}{x y}$ 中前置负号移到分子中。

$\frac{- 1}{x y} x d y = \frac{1}{x y} (- y) d x$

解题步骤 4.2.2

从 $x y$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{- 1}{x (y)} x d y = \frac{1}{x y} (- y) d x$

解题步骤 4.2.3

约去公因数。

$\frac{- 1}{x y} x d y = \frac{1}{x y} (- y) d x$

解题步骤 4.2.4

重写表达式。

$\frac{- 1}{y} d y = \frac{1}{x y} (- y) d x$

解题步骤 4.3

将负号移到分数的前面。

$- \frac{1}{y} d y = \frac{1}{x y} (- y) d x$

解题步骤 4.4

使用乘法的交换性质重写。

$- \frac{1}{y} d y = - \frac{1}{x y} y d x$

解题步骤 4.5

约去 $y$ 的公因数。

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解题步骤 4.5.1

将 $- \frac{1}{x y}$ 中前置负号移到分子中。

$- \frac{1}{y} d y = \frac{- 1}{x y} y d x$

解题步骤 4.5.2

从 $x y$ 中分解出因数 $y$ 。

$- \frac{1}{y} d y = \frac{- 1}{y x} y d x$

解题步骤 4.5.3

约去公因数。

$- \frac{1}{y} d y = \frac{- 1}{y x} y d x$

解题步骤 4.5.4

重写表达式。

$- \frac{1}{y} d y = \frac{- 1}{x} d x$

解题步骤 4.6

将负号移到分数的前面。

$- \frac{1}{y} d y = - \frac{1}{x} d x$

解题步骤 5

对两边积分。

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解题步骤 5.1

在两边建立积分。

$\int - \frac{1}{y} d y = \int - \frac{1}{x} d x$

解题步骤 5.2

对左边积分。

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解题步骤 5.2.1

由于 $- 1$ 对于 $y$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$- \int \frac{1}{y} d y = \int - \frac{1}{x} d x$

解题步骤 5.2.2

$\frac{1}{y}$ 对 $y$ 的积分为 $\ln (| y |)$ 。

$- (\ln (| y |) + C_{1}) = \int - \frac{1}{x} d x$

解题步骤 5.2.3

化简。

$- \ln (| y |) + C_{1} = \int - \frac{1}{x} d x$

解题步骤 5.3

对右边积分。

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解题步骤 5.3.1

由于 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$- \ln (| y |) + C_{1} = - \int \frac{1}{x} d x$

解题步骤 5.3.2

$\frac{1}{x}$ 对 $x$ 的积分为 $\ln (| x |)$ 。

$- \ln (| y |) + C_{1} = - (\ln (| x |) + C_{2})$

解题步骤 5.3.3

化简。

$- \ln (| y |) + C_{1} = - \ln (| x |) + C_{2}$

解题步骤 5.4

将右边的积分常数分组为 $C$ 。

$- \ln (| y |) = - \ln (| x |) + C$

解题步骤 6

求解 $y$ 。

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解题步骤 6.1

将所有包含对数的项移到等式左边。

$- \ln (| y |) + \ln (| x |) = C$

解题步骤 6.2

从等式两边同时减去 $\ln (| x |)$ 。

$- \ln (| y |) = C - \ln (| x |)$

解题步骤 6.3

将 $- \ln (| y |) = C - \ln (| x |)$ 中的每一项除以 $- 1$ 并化简。

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解题步骤 6.3.1

将 $- \ln (| y |) = C - \ln (| x |)$ 中的每一项都除以 $- 1$ 。

$\frac{- \ln (| y |)}{- 1} = \frac{C}{- 1} + \frac{- \ln (| x |)}{- 1}$

解题步骤 6.3.2

化简左边。

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解题步骤 6.3.2.1

将两个负数相除得到一个正数。

$\frac{\ln (| y |)}{1} = \frac{C}{- 1} + \frac{- \ln (| x |)}{- 1}$

解题步骤 6.3.2.2

用 $\ln (| y |)$ 除以 $1$ 。

$\ln (| y |) = \frac{C}{- 1} + \frac{- \ln (| x |)}{- 1}$

解题步骤 6.3.3

化简右边。

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解题步骤 6.3.3.1

化简每一项。

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解题步骤 6.3.3.1.1

移动 $\frac{C}{- 1}$ 中分母的负号。

$\ln (| y |) = - 1 \cdot C + \frac{- \ln (| x |)}{- 1}$

解题步骤 6.3.3.1.2

将 $- 1 \cdot C$ 重写为 $- C$ 。

$\ln (| y |) = - C + \frac{- \ln (| x |)}{- 1}$

解题步骤 6.3.3.1.3

将两个负数相除得到一个正数。

$\ln (| y |) = - C + \frac{\ln (| x |)}{1}$

解题步骤 6.3.3.1.4

用 $\ln (| x |)$ 除以 $1$ 。

$\ln (| y |) = - C + \ln (| x |)$

解题步骤 6.4

将所有包含对数的项移到等式左边。

$\ln (| y |) - \ln (| x |) = - C$

解题步骤 6.5

使用对数的商数性质，即 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ 。

$\ln (\frac{| y |}{| x |}) = - C$

解题步骤 6.6

要求解 $y$ ，请利用对数的性质重写方程。

$e^{\ln (\frac{| y |}{| x |})} = e^{- C}$

解题步骤 6.7

使用对数的定义将 $\ln (\frac{| y |}{| x |}) = - C$ 重写成指数形式。如果 $x$ 和 $b$ 是正实数且 $b \neq 1$ ，则 $\log_{b} (x) = y$ 等价于 $b^{y} = x$ 。

$e^{- C} = \frac{| y |}{| x |}$

解题步骤 6.8

求解 $y$ 。

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解题步骤 6.8.1

将方程重写为 $\frac{| y |}{| x |} = e^{- C}$ 。

$\frac{| y |}{| x |} = e^{- C}$

解题步骤 6.8.2

两边同时乘以 $| x |$ 。

$\frac{| y |}{| x |} | x | = e^{- C} | x |$

解题步骤 6.8.3

化简左边。

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解题步骤 6.8.3.1

约去 $| x |$ 的公因数。

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解题步骤 6.8.3.1.1

约去公因数。

$\frac{| y |}{| x |} | x | = e^{- C} | x |$

解题步骤 6.8.3.1.2

重写表达式。

$| y | = e^{- C} | x |$

解题步骤 6.8.4

求解 $y$ 。

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解题步骤 6.8.4.1

将 $e^{- C} | x |$ 中的因式重新排序。

$| y | = | x | e^{- C}$

解题步骤 6.8.4.2

去掉绝对值项。因为 $| x | = \pm x$ ，所以这将使方程右边新增 $\pm$ 。

$y = \pm | x | e^{- C}$

解题步骤 7

将常数项组合在一起。

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解题步骤 7.1

化简积分常数。

$y = \pm | x | C$

解题步骤 7.2

用加号或减号合并常数。

$y = C | x |$

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