微积分学示例

$\frac{d y}{d x} = \frac{4}{1 + x^{2}}$ , $y (1) = \frac{π}{2}$

解题步骤 1

重写该方程。

$d y = \frac{4}{1 + x^{2}} d x$

解题步骤 2

对两边积分。

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解题步骤 2.1

在两边建立积分。

$\int d y = \int \frac{4}{1 + x^{2}} d x$

解题步骤 2.2

应用常数不变法则。

$y + C_{1} = \int \frac{4}{1 + x^{2}} d x$

解题步骤 2.3

对右边积分。

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解题步骤 2.3.1

由于 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $4$ 移到积分外。

$y + C_{1} = 4 \int \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

解题步骤 2.3.2

将 $1$ 重写为 $1^{2}$ 。

$y + C_{1} = 4 \int \frac{1}{1^{2} + x^{2}} d x$

解题步骤 2.3.3

$\frac{1}{1^{2} + x^{2}}$ 对 $x$ 的积分为 $\arctan (x) + C_{2}$ 。

$y + C_{1} = 4 (\arctan (x) + C_{2})$

解题步骤 2.3.4

化简。

$y + C_{1} = 4 \arctan (x) + C_{2}$

解题步骤 2.4

将右边的积分常数分组为 $K$ 。

$y = 4 \arctan (x) + K$

解题步骤 3

使用初始条件，通过将 $1$ 代入 $x$ ，将 $\frac{π}{2}$ 代入 $y$ ，在 $y = 4 \arctan (x) + K$ 中求 $K$ 的值。

$\frac{π}{2} = 4 \arctan (1) + K$

解题步骤 4

求解 $K$ 。

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解题步骤 4.1

将方程重写为 $4 \arctan (1) + K = \frac{π}{2}$ 。

$4 \arctan (1) + K = \frac{π}{2}$

解题步骤 4.2

化简左边。

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解题步骤 4.2.1

化简每一项。

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解题步骤 4.2.1.1

$\arctan (1)$ 的准确值为 $\frac{π}{4}$ 。

$4 \frac{π}{4} + K = \frac{π}{2}$

解题步骤 4.2.1.2

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 4.2.1.2.1

约去公因数。

$4 \frac{π}{4} + K = \frac{π}{2}$

解题步骤 4.2.1.2.2

重写表达式。

$π + K = \frac{π}{2}$

解题步骤 4.3

将所有不包含 $K$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 4.3.1

从等式两边同时减去 $π$ 。

$K = \frac{π}{2} - π$

解题步骤 4.3.2

要将 $- π$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$K = \frac{π}{2} - π \cdot \frac{2}{2}$

解题步骤 4.3.3

组合 $- π$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$K = \frac{π}{2} + \frac{- π \cdot 2}{2}$

解题步骤 4.3.4

在公分母上合并分子。

$K = \frac{π - π \cdot 2}{2}$

解题步骤 4.3.5

化简分子。

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解题步骤 4.3.5.1

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$K = \frac{π - 2 π}{2}$

解题步骤 4.3.5.2

从 $π$ 中减去 $2 π$ 。

$K = \frac{- π}{2}$

解题步骤 4.3.6

将负号移到分数的前面。

$K = - \frac{π}{2}$

解题步骤 5

代入 $- \frac{π}{2}$ 替换 $y = 4 \arctan (x) + K$ 中的 $K$ 并化简。

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解题步骤 5.1

代入 $- \frac{π}{2}$ 替换 $K$ 。

$y = 4 \arctan (x) - \frac{π}{2}$

微积分学 示例

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