微积分学示例

$3 x v d v + (2 v^{2} - 1) d x = 0$

解题步骤 1

从等式两边同时减去 $(2 v^{2} - 1) d x$ 。

$3 x v d v = - (2 v^{2} - 1) d x$

解题步骤 2

两边同时乘以 $\frac{1}{x (2 v^{2} - 1)}$ 。

$\frac{1}{x (2 v^{2} - 1)} (3 x v) d v = \frac{1}{x (2 v^{2} - 1)} (- (2 v^{2} - 1)) d x$

解题步骤 3

化简。

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解题步骤 3.1

使用乘法的交换性质重写。

$3 \frac{1}{x (2 v^{2} - 1)} (x v) d v = \frac{1}{x (2 v^{2} - 1)} (- (2 v^{2} - 1)) d x$

解题步骤 3.2

组合 $3$ 和 $\frac{1}{x (2 v^{2} - 1)}$ 。

$\frac{3}{x (2 v^{2} - 1)} (x v) d v = \frac{1}{x (2 v^{2} - 1)} (- (2 v^{2} - 1)) d x$

解题步骤 3.3

约去 $x$ 的公因数。

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解题步骤 3.3.1

从 $x v$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{3}{x (2 v^{2} - 1)} (x (v)) d v = \frac{1}{x (2 v^{2} - 1)} (- (2 v^{2} - 1)) d x$

解题步骤 3.3.2

约去公因数。

$\frac{3}{x (2 v^{2} - 1)} (x v) d v = \frac{1}{x (2 v^{2} - 1)} (- (2 v^{2} - 1)) d x$

解题步骤 3.3.3

重写表达式。

$\frac{3}{2 v^{2} - 1} v d v = \frac{1}{x (2 v^{2} - 1)} (- (2 v^{2} - 1)) d x$

解题步骤 3.4

组合 $\frac{3}{2 v^{2} - 1}$ 和 $v$ 。

$\frac{3 v}{2 v^{2} - 1} d v = \frac{1}{x (2 v^{2} - 1)} (- (2 v^{2} - 1)) d x$

解题步骤 3.5

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{3 v}{2 v^{2} - 1} d v = - \frac{1}{x (2 v^{2} - 1)} (2 v^{2} - 1) d x$

解题步骤 3.6

约去 $2 v^{2} - 1$ 的公因数。

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解题步骤 3.6.1

将 $- \frac{1}{x (2 v^{2} - 1)}$ 中前置负号移到分子中。

$\frac{3 v}{2 v^{2} - 1} d v = \frac{- 1}{x (2 v^{2} - 1)} (2 v^{2} - 1) d x$

解题步骤 3.6.2

从 $x (2 v^{2} - 1)$ 中分解出因数 $2 v^{2} - 1$ 。

$\frac{3 v}{2 v^{2} - 1} d v = \frac{- 1}{(2 v^{2} - 1) x} (2 v^{2} - 1) d x$

解题步骤 3.6.3

约去公因数。

$\frac{3 v}{2 v^{2} - 1} d v = \frac{- 1}{(2 v^{2} - 1) x} (2 v^{2} - 1) d x$

解题步骤 3.6.4

重写表达式。

$\frac{3 v}{2 v^{2} - 1} d v = \frac{- 1}{x} d x$

解题步骤 3.7

将负号移到分数的前面。

$\frac{3 v}{2 v^{2} - 1} d v = - \frac{1}{x} d x$

解题步骤 4

对两边积分。

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解题步骤 4.1

在两边建立积分。

$\int \frac{3 v}{2 v^{2} - 1} d v = \int - \frac{1}{x} d x$

解题步骤 4.2

对左边积分。

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解题步骤 4.2.1

由于 $3$ 对于 $v$ 是常数，所以将 $3$ 移到积分外。

$3 \int \frac{v}{2 v^{2} - 1} d v = \int - \frac{1}{x} d x$

解题步骤 4.2.2

使 $u = 2 v^{2} - 1$ 。然后使 $d u = 4 v d v$ ，以便 $\frac{1}{4} d u = v d v$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 4.2.2.1

设 $u = 2 v^{2} - 1$ 。求 $\frac{d u}{d v}$ 。

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解题步骤 4.2.2.1.1

对 $2 v^{2} - 1$ 求导。

$\frac{d}{d v} [2 v^{2} - 1]$

解题步骤 4.2.2.1.2

根据加法法则， $2 v^{2} - 1$ 对 $v$ 的导数是 $\frac{d}{d v} [2 v^{2}] + \frac{d}{d v} [- 1]$ 。

$\frac{d}{d v} [2 v^{2}] + \frac{d}{d v} [- 1]$

解题步骤 4.2.2.1.3

计算 $\frac{d}{d v} [2 v^{2}]$ 。

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解题步骤 4.2.2.1.3.1

因为 $2$ 对于 $v$ 是常数，所以 $2 v^{2}$ 对 $v$ 的导数是 $2 \frac{d}{d v} [v^{2}]$ 。

$2 \frac{d}{d v} [v^{2}] + \frac{d}{d v} [- 1]$

解题步骤 4.2.2.1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d v} [v^{n}]$ 等于 $n v^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$2 (2 v) + \frac{d}{d v} [- 1]$

解题步骤 4.2.2.1.3.3

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$4 v + \frac{d}{d v} [- 1]$

解题步骤 4.2.2.1.4

使用常数法则求导。

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解题步骤 4.2.2.1.4.1

因为 $- 1$ 对于 $v$ 是常数，所以 $- 1$ 对 $v$ 的导数为 $0$ 。

$4 v + 0$

解题步骤 4.2.2.1.4.2

将 $4 v$ 和 $0$ 相加。

$4 v$

解题步骤 4.2.2.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$3 \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{4} d u = \int - \frac{1}{x} d x$

解题步骤 4.2.3

化简。

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解题步骤 4.2.3.1

将 $\frac{1}{u}$ 乘以 $\frac{1}{4}$ 。

$3 \int \frac{1}{u \cdot 4} d u = \int - \frac{1}{x} d x$

解题步骤 4.2.3.2

将 $4$ 移到 $u$ 的左侧。

$3 \int \frac{1}{4 u} d u = \int - \frac{1}{x} d x$

解题步骤 4.2.4

由于 $\frac{1}{4}$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $\frac{1}{4}$ 移到积分外。

$3 (\frac{1}{4} \int \frac{1}{u} d u) = \int - \frac{1}{x} d x$

解题步骤 4.2.5

组合 $\frac{1}{4}$ 和 $3$ 。

$\frac{3}{4} \int \frac{1}{u} d u = \int - \frac{1}{x} d x$

解题步骤 4.2.6

$\frac{1}{u}$ 对 $u$ 的积分为 $\ln (| u |)$ 。

$\frac{3}{4} (\ln (| u |) + C_{1}) = \int - \frac{1}{x} d x$

解题步骤 4.2.7

化简。

$\frac{3}{4} \ln (| u |) + C_{1} = \int - \frac{1}{x} d x$

解题步骤 4.2.8

使用 $2 v^{2} - 1$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{3}{4} \ln (| 2 v^{2} - 1 |) + C_{1} = \int - \frac{1}{x} d x$

解题步骤 4.3

对右边积分。

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解题步骤 4.3.1

由于 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$\frac{3}{4} \ln (| 2 v^{2} - 1 |) + C_{1} = - \int \frac{1}{x} d x$

解题步骤 4.3.2

$\frac{1}{x}$ 对 $x$ 的积分为 $\ln (| x |)$ 。

$\frac{3}{4} \ln (| 2 v^{2} - 1 |) + C_{1} = - (\ln (| x |) + C_{2})$

解题步骤 4.3.3

化简。

$\frac{3}{4} \ln (| 2 v^{2} - 1 |) + C_{1} = - \ln (| x |) + C_{2}$

解题步骤 4.4

将右边的积分常数分组为 $C$ 。

$\frac{3}{4} \ln (| 2 v^{2} - 1 |) = - \ln (| x |) + C$

解题步骤 5

求解 $v$ 。

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解题步骤 5.1

等式两边同时乘以 $\frac{4}{3}$ 。

$\frac{4}{3} (\frac{3}{4} \ln (| 2 v^{2} - 1 |)) = \frac{4}{3} (- \ln (| x |) + C)$

解题步骤 5.2

化简方程的两边。

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解题步骤 5.2.1

化简左边。

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解题步骤 5.2.1.1

化简 $\frac{4}{3} (\frac{3}{4} \ln (| 2 v^{2} - 1 |))$ 。

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解题步骤 5.2.1.1.1

组合 $\frac{3}{4}$ 和 $\ln (| 2 v^{2} - 1 |)$ 。

$\frac{4}{3} \cdot \frac{3 \ln (| 2 v^{2} - 1 |)}{4} = \frac{4}{3} (- \ln (| x |) + C)$

解题步骤 5.2.1.1.2

合并。

$\frac{4 (3 \ln (| 2 v^{2} - 1 |))}{3 \cdot 4} = \frac{4}{3} (- \ln (| x |) + C)$

解题步骤 5.2.1.1.3

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.1.1.3.1

约去公因数。

$\frac{4 (3 \ln (| 2 v^{2} - 1 |))}{3 \cdot 4} = \frac{4}{3} (- \ln (| x |) + C)$

解题步骤 5.2.1.1.3.2

重写表达式。

$\frac{3 \ln (| 2 v^{2} - 1 |)}{3} = \frac{4}{3} (- \ln (| x |) + C)$

解题步骤 5.2.1.1.4

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.1.1.4.1

约去公因数。

$\frac{3 \ln (| 2 v^{2} - 1 |)}{3} = \frac{4}{3} (- \ln (| x |) + C)$

解题步骤 5.2.1.1.4.2

用 $\ln (| 2 v^{2} - 1 |)$ 除以 $1$ 。

$\ln (| 2 v^{2} - 1 |) = \frac{4}{3} (- \ln (| x |) + C)$

解题步骤 5.2.2

化简右边。

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解题步骤 5.2.2.1

化简 $\frac{4}{3} (- \ln (| x |) + C)$ 。

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解题步骤 5.2.2.1.1

运用分配律。

$\ln (| 2 v^{2} - 1 |) = \frac{4}{3} (- \ln (| x |)) + \frac{4}{3} C$

解题步骤 5.2.2.1.2

组合 $\frac{4}{3}$ 和 $\ln (| x |)$ 。

$\ln (| 2 v^{2} - 1 |) = - \frac{4 \ln (| x |)}{3} + \frac{4}{3} C$

解题步骤 5.2.2.1.3

组合 $\frac{4}{3}$ 和 $C$ 。

$\ln (| 2 v^{2} - 1 |) = - \frac{4 \ln (| x |)}{3} + \frac{4 C}{3}$

解题步骤 5.3

将 $\ln (| 2 v^{2} - 1 |) = - \frac{4 \ln (| x |)}{3} + \frac{4 C}{3}$ 中的每一项乘以 $3$ 以消去分数。

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解题步骤 5.3.1

将 $\ln (| 2 v^{2} - 1 |) = - \frac{4 \ln (| x |)}{3} + \frac{4 C}{3}$ 中的每一项乘以 $3$ 。

$\ln (| 2 v^{2} - 1 |) \cdot 3 = - \frac{4 \ln (| x |)}{3} \cdot 3 + \frac{4 C}{3} \cdot 3$

解题步骤 5.3.2

化简左边。

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解题步骤 5.3.2.1

将 $3$ 移到 $\ln (| 2 v^{2} - 1 |)$ 的左侧。

$3 \ln (| 2 v^{2} - 1 |) = - \frac{4 \ln (| x |)}{3} \cdot 3 + \frac{4 C}{3} \cdot 3$

解题步骤 5.3.3

化简右边。

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解题步骤 5.3.3.1

化简每一项。

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解题步骤 5.3.3.1.1

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.3.1.1.1

将 $- \frac{4 \ln (| x |)}{3}$ 中前置负号移到分子中。

$3 \ln (| 2 v^{2} - 1 |) = \frac{- 4 \ln (| x |)}{3} \cdot 3 + \frac{4 C}{3} \cdot 3$

解题步骤 5.3.3.1.1.2

约去公因数。

$3 \ln (| 2 v^{2} - 1 |) = \frac{- 4 \ln (| x |)}{3} \cdot 3 + \frac{4 C}{3} \cdot 3$

解题步骤 5.3.3.1.1.3

重写表达式。

$3 \ln (| 2 v^{2} - 1 |) = - 4 \ln (| x |) + \frac{4 C}{3} \cdot 3$

解题步骤 5.3.3.1.2

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.3.1.2.1

约去公因数。

$3 \ln (| 2 v^{2} - 1 |) = - 4 \ln (| x |) + \frac{4 C}{3} \cdot 3$

解题步骤 5.3.3.1.2.2

重写表达式。

$3 \ln (| 2 v^{2} - 1 |) = - 4 \ln (| x |) + 4 C$

解题步骤 5.4

将所有包含对数的项移到等式左边。

$3 \ln (| 2 v^{2} - 1 |) + 4 \ln (| x |) = 4 C$

解题步骤 5.5

化简左边。

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解题步骤 5.5.1

化简 $3 \ln (| 2 v^{2} - 1 |) + 4 \ln (| x |)$ 。

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解题步骤 5.5.1.1

化简每一项。

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解题步骤 5.5.1.1.1

通过将 ( RATIONALNUMBER1) 移入对数中来化简 $3 \ln (| 2 v^{2} - 1 |)$ 。

$\ln ({| 2 v^{2} - 1 |}^{3}) + 4 \ln (| x |) = 4 C$

解题步骤 5.5.1.1.2

通过将 ( RATIONALNUMBER1) 移入对数中来化简 $4 \ln (| x |)$ 。

$\ln ({| 2 v^{2} - 1 |}^{3}) + \ln ({| x |}^{4}) = 4 C$

解题步骤 5.5.1.1.3

去掉 ${| x |}^{4}$ 的绝对值符号，因为偶次幂的求幂结果恒为正。

$\ln ({| 2 v^{2} - 1 |}^{3}) + \ln (x^{4}) = 4 C$

解题步骤 5.5.1.2

使用对数积的性质，即 $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ 。

$\ln ({| 2 v^{2} - 1 |}^{3} x^{4}) = 4 C$

解题步骤 5.5.1.3

将 $\ln ({| 2 v^{2} - 1 |}^{3} x^{4})$ 中的因式重新排序。

$\ln (x^{4} {| 2 v^{2} - 1 |}^{3}) = 4 C$

解题步骤 5.6

要求解 $v$ ，请利用对数的性质重写方程。

$e^{\ln (x^{4} {| 2 v^{2} - 1 |}^{3})} = e^{4 C}$

解题步骤 5.7

使用对数的定义将 $\ln (x^{4} {| 2 v^{2} - 1 |}^{3}) = 4 C$ 重写成指数形式。如果 $x$ 和 $b$ 是正实数且 $b \neq 1$ ，则 $\log_{b} (x) = y$ 等价于 $b^{y} = x$ 。

$e^{4 C} = x^{4} {| 2 v^{2} - 1 |}^{3}$

解题步骤 5.8

求解 $v$ 。

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解题步骤 5.8.1

将方程重写为 $x^{4} {| 2 v^{2} - 1 |}^{3} = e^{4 C}$ 。

$x^{4} {| 2 v^{2} - 1 |}^{3} = e^{4 C}$

解题步骤 5.8.2

将 $x^{4} {| 2 v^{2} - 1 |}^{3} = e^{4 C}$ 中的每一项除以 $x^{4}$ 并化简。

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解题步骤 5.8.2.1

将 $x^{4} {| 2 v^{2} - 1 |}^{3} = e^{4 C}$ 中的每一项都除以 $x^{4}$ 。

$\frac{x^{4} {| 2 v^{2} - 1 |}^{3}}{x^{4}} = \frac{e^{4 C}}{x^{4}}$

解题步骤 5.8.2.2

化简左边。

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解题步骤 5.8.2.2.1

约去 $x^{4}$ 的公因数。

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解题步骤 5.8.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{x^{4} {| 2 v^{2} - 1 |}^{3}}{x^{4}} = \frac{e^{4 C}}{x^{4}}$

解题步骤 5.8.2.2.1.2

用 ${| 2 v^{2} - 1 |}^{3}$ 除以 $1$ 。

${| 2 v^{2} - 1 |}^{3} = \frac{e^{4 C}}{x^{4}}$

解题步骤 5.8.3

取方程两边的指定根来消去方程左边的指数。

$| 2 v^{2} - 1 | = \sqrt[3]{\frac{e^{4 C}}{x^{4}}}$

解题步骤 5.8.4

化简 $\sqrt[3]{\frac{e^{4 C}}{x^{4}}}$ 。

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解题步骤 5.8.4.1

将 $\frac{e^{4 C}}{x^{4}}$ 重写为 ${(\frac{1}{x})}^{3} \frac{e^{4 C}}{x}$ 。

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解题步骤 5.8.4.1.1

从 $e^{4 C}$ 中因式分解出完全幂数 $1^{3}$ 。

$| 2 v^{2} - 1 | = \sqrt[3]{\frac{1^{3} e^{4 C}}{x^{4}}}$

解题步骤 5.8.4.1.2

从 $x^{4}$ 中因式分解出完全幂数 $x^{3}$ 。

$| 2 v^{2} - 1 | = \sqrt[3]{\frac{1^{3} e^{4 C}}{x^{3} x}}$

解题步骤 5.8.4.1.3

重新整理分数 $\frac{1^{3} e^{4 C}}{x^{3} x}$ 。

$| 2 v^{2} - 1 | = \sqrt[3]{{(\frac{1}{x})}^{3} \frac{e^{4 C}}{x}}$

解题步骤 5.8.4.2

从根式下提出各项。

$| 2 v^{2} - 1 | = \frac{1}{x} \sqrt[3]{\frac{e^{4 C}}{x}}$

解题步骤 5.8.4.3

将 $\sqrt[3]{\frac{e^{4 C}}{x}}$ 重写为 $\frac{\sqrt[3]{e^{4 C}}}{\sqrt[3]{x}}$ 。

$| 2 v^{2} - 1 | = \frac{1}{x} \cdot \frac{\sqrt[3]{e^{4 C}}}{\sqrt[3]{x}}$

解题步骤 5.8.4.4

合并。

$| 2 v^{2} - 1 | = \frac{1 \sqrt[3]{e^{4 C}}}{x \sqrt[3]{x}}$

解题步骤 5.8.4.5

将 $\sqrt[3]{e^{4 C}}$ 乘以 $1$ 。

$| 2 v^{2} - 1 | = \frac{\sqrt[3]{e^{4 C}}}{x \sqrt[3]{x}}$

解题步骤 5.8.4.6

将 $\frac{\sqrt[3]{e^{4 C}}}{x \sqrt[3]{x}}$ 乘以 $\frac{{\sqrt[3]{x}}^{2}}{{\sqrt[3]{x}}^{2}}$ 。

$| 2 v^{2} - 1 | = \frac{\sqrt[3]{e^{4 C}}}{x \sqrt[3]{x}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{x}}^{2}}{{\sqrt[3]{x}}^{2}}$

解题步骤 5.8.4.7

合并和化简分母。

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解题步骤 5.8.4.7.1

将 $\frac{\sqrt[3]{e^{4 C}}}{x \sqrt[3]{x}}$ 乘以 $\frac{{\sqrt[3]{x}}^{2}}{{\sqrt[3]{x}}^{2}}$ 。

$| 2 v^{2} - 1 | = \frac{\sqrt[3]{e^{4 C}} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{x \sqrt[3]{x} {\sqrt[3]{x}}^{2}}$

解题步骤 5.8.4.7.2

移动 $\sqrt[3]{x}$ 。

$| 2 v^{2} - 1 | = \frac{\sqrt[3]{e^{4 C}} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{x (\sqrt[3]{x} {\sqrt[3]{x}}^{2})}$

解题步骤 5.8.4.7.3

对 $\sqrt[3]{x}$ 进行 $1$ 次方运算。

$| 2 v^{2} - 1 | = \frac{\sqrt[3]{e^{4 C}} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{x ({\sqrt[3]{x}}^{1} {\sqrt[3]{x}}^{2})}$

解题步骤 5.8.4.7.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$| 2 v^{2} - 1 | = \frac{\sqrt[3]{e^{4 C}} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{x {\sqrt[3]{x}}^{1 + 2}}$

解题步骤 5.8.4.7.5

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$| 2 v^{2} - 1 | = \frac{\sqrt[3]{e^{4 C}} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{x {\sqrt[3]{x}}^{3}}$

解题步骤 5.8.4.7.6

将 ${\sqrt[3]{x}}^{3}$ 重写为 $x$ 。

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解题步骤 5.8.4.7.6.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt[3]{x}$ 重写成 $x^{\frac{1}{3}}$ 。

$| 2 v^{2} - 1 | = \frac{\sqrt[3]{e^{4 C}} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{x {(x^{\frac{1}{3}})}^{3}}$

解题步骤 5.8.4.7.6.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$| 2 v^{2} - 1 | = \frac{\sqrt[3]{e^{4 C}} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{x \cdot x^{\frac{1}{3} \cdot 3}}$

解题步骤 5.8.4.7.6.3

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $3$ 。

$| 2 v^{2} - 1 | = \frac{\sqrt[3]{e^{4 C}} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{x \cdot x^{\frac{3}{3}}}$

解题步骤 5.8.4.7.6.4

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 5.8.4.7.6.4.1

约去公因数。

$| 2 v^{2} - 1 | = \frac{\sqrt[3]{e^{4 C}} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{x \cdot x^{\frac{3}{3}}}$

解题步骤 5.8.4.7.6.4.2

重写表达式。

$| 2 v^{2} - 1 | = \frac{\sqrt[3]{e^{4 C}} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{x \cdot x^{1}}$

解题步骤 5.8.4.7.6.5

化简。

$| 2 v^{2} - 1 | = \frac{\sqrt[3]{e^{4 C}} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{x \cdot x}$

解题步骤 5.8.4.8

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$| 2 v^{2} - 1 | = \frac{\sqrt[3]{e^{4 C}} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{x^{2}}$

解题步骤 5.8.4.9

将 ${\sqrt[3]{x}}^{2}$ 重写为 $\sqrt[3]{x^{2}}$ 。

$| 2 v^{2} - 1 | = \frac{\sqrt[3]{e^{4 C}} \sqrt[3]{x^{2}}}{x^{2}}$

解题步骤 5.8.4.10

使用根数乘积法则进行合并。

$| 2 v^{2} - 1 | = \frac{\sqrt[3]{e^{4 C} x^{2}}}{x^{2}}$

解题步骤 5.8.4.11

将 $\frac{\sqrt[3]{e^{4 C} x^{2}}}{x^{2}}$ 中的因式重新排序。

$| 2 v^{2} - 1 | = \frac{\sqrt[3]{x^{2} e^{4 C}}}{x^{2}}$

解题步骤 5.8.5

去掉绝对值项。因为 $| x | = \pm x$ ，所以这将使方程右边新增 $\pm$ 。

$2 v^{2} - 1 = \pm \frac{\sqrt[3]{x^{2} e^{4 C}}}{x^{2}}$

解题步骤 5.8.6

在等式两边都加上 $1$ 。

$2 v^{2} = \pm \frac{\sqrt[3]{x^{2} e^{4 C}}}{x^{2}} + 1$

解题步骤 5.8.7

将 $2 v^{2} = \pm \frac{\sqrt[3]{x^{2} e^{4 C}}}{x^{2}} + 1$ 中的每一项除以 $2$ 并化简。

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解题步骤 5.8.7.1

将 $2 v^{2} = \pm \frac{\sqrt[3]{x^{2} e^{4 C}}}{x^{2}} + 1$ 中的每一项都除以 $2$ 。

$\frac{2 v^{2}}{2} = \frac{\pm \frac{\sqrt[3]{x^{2} e^{4 C}}}{x^{2}}}{2} + \frac{1}{2}$

解题步骤 5.8.7.2

化简左边。

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解题步骤 5.8.7.2.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 5.8.7.2.1.1

约去公因数。

$\frac{2 v^{2}}{2} = \frac{\pm \frac{\sqrt[3]{x^{2} e^{4 C}}}{x^{2}}}{2} + \frac{1}{2}$

解题步骤 5.8.7.2.1.2

用 $v^{2}$ 除以 $1$ 。

$v^{2} = \frac{\pm \frac{\sqrt[3]{x^{2} e^{4 C}}}{x^{2}}}{2} + \frac{1}{2}$

解题步骤 5.8.8

取方程两边的指定根来消去方程左边的指数。

$v = \pm \sqrt{\frac{\pm \frac{\sqrt[3]{x^{2} e^{4 C}}}{x^{2}}}{2} + \frac{1}{2}}$

解题步骤 5.8.9

化简 $\pm \sqrt{\frac{\pm \frac{\sqrt[3]{x^{2} e^{4 C}}}{x^{2}}}{2} + \frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 5.8.9.1

在公分母上合并分子。

$v = \pm \sqrt{\frac{\pm \frac{\sqrt[3]{x^{2} e^{4 C}}}{x^{2}} + 1}{2}}$

解题步骤 5.8.9.2

将 $\sqrt{\frac{\pm \frac{\sqrt[3]{x^{2} e^{4 C}}}{x^{2}} + 1}{2}}$ 重写为 $\frac{\sqrt{\pm \frac{\sqrt[3]{x^{2} e^{4 C}}}{x^{2}} + 1}}{\sqrt{2}}$ 。

$v = \pm \frac{\sqrt{\pm \frac{\sqrt[3]{x^{2} e^{4 C}}}{x^{2}} + 1}}{\sqrt{2}}$

解题步骤 5.8.9.3

将 $\frac{\sqrt{\pm \frac{\sqrt[3]{x^{2} e^{4 C}}}{x^{2}} + 1}}{\sqrt{2}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ 。

$v = \pm \frac{\sqrt{\pm \frac{\sqrt[3]{x^{2} e^{4 C}}}{x^{2}} + 1}}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

解题步骤 5.8.9.4

合并和化简分母。

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解题步骤 5.8.9.4.1

将 $\frac{\sqrt{\pm \frac{\sqrt[3]{x^{2} e^{4 C}}}{x^{2}} + 1}}{\sqrt{2}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ 。

$v = \pm \frac{\sqrt{\pm \frac{\sqrt[3]{x^{2} e^{4 C}}}{x^{2}} + 1} \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

解题步骤 5.8.9.4.2

对 $\sqrt{2}$ 进行 $1$ 次方运算。

$v = \pm \frac{\sqrt{\pm \frac{\sqrt[3]{x^{2} e^{4 C}}}{x^{2}} + 1} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

解题步骤 5.8.9.4.3

对 $\sqrt{2}$ 进行 $1$ 次方运算。

$v = \pm \frac{\sqrt{\pm \frac{\sqrt[3]{x^{2} e^{4 C}}}{x^{2}} + 1} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

解题步骤 5.8.9.4.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$v = \pm \frac{\sqrt{\pm \frac{\sqrt[3]{x^{2} e^{4 C}}}{x^{2}} + 1} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

解题步骤 5.8.9.4.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$v = \pm \frac{\sqrt{\pm \frac{\sqrt[3]{x^{2} e^{4 C}}}{x^{2}} + 1} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

解题步骤 5.8.9.4.6

将 ${\sqrt{2}}^{2}$ 重写为 $2$ 。

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解题步骤 5.8.9.4.6.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{2}$ 重写成 $2^{\frac{1}{2}}$ 。

$v = \pm \frac{\sqrt{\pm \frac{\sqrt[3]{x^{2} e^{4 C}}}{x^{2}} + 1} \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 5.8.9.4.6.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$v = \pm \frac{\sqrt{\pm \frac{\sqrt[3]{x^{2} e^{4 C}}}{x^{2}} + 1} \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

解题步骤 5.8.9.4.6.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$v = \pm \frac{\sqrt{\pm \frac{\sqrt[3]{x^{2} e^{4 C}}}{x^{2}} + 1} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 5.8.9.4.6.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 5.8.9.4.6.4.1

约去公因数。

$v = \pm \frac{\sqrt{\pm \frac{\sqrt[3]{x^{2} e^{4 C}}}{x^{2}} + 1} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 5.8.9.4.6.4.2

重写表达式。

$v = \pm \frac{\sqrt{\pm \frac{\sqrt[3]{x^{2} e^{4 C}}}{x^{2}} + 1} \sqrt{2}}{2^{1}}$

解题步骤 5.8.9.4.6.5

计算指数。

$v = \pm \frac{\sqrt{\pm \frac{\sqrt[3]{x^{2} e^{4 C}}}{x^{2}} + 1} \sqrt{2}}{2}$

解题步骤 5.8.9.5

使用根数乘积法则进行合并。

$v = \pm \frac{\sqrt{(\pm \frac{\sqrt[3]{x^{2} e^{4 C}}}{x^{2}} + 1) \cdot 2}}{2}$

解题步骤 6

化简积分常数。

$v = \pm \frac{\sqrt{(\pm \frac{\sqrt[3]{x^{2} C}}{x^{2}} + 1) \cdot 2}}{2}$

微积分学 示例

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