微积分学示例

$x + 1 \frac{d y}{d x} = y + 10$

解题步骤 1

将微分方程重写为 $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ 。

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解题步骤 1.1

将方程重写为 $M (x) \frac{d y}{d x} + P (x) y = Q (x)$ 。

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解题步骤 1.1.1

从等式两边同时减去 $y$ 。

$x + 1 \frac{d y}{d x} - y = 10$

解题步骤 1.1.2

从等式两边同时减去 $x$ 。

$1 \frac{d y}{d x} - y = 10 - x$

解题步骤 1.1.3

重新排序项。

$1 \frac{d y}{d x} - y = - x + 10$

解题步骤 1.2

将 $\frac{d y}{d x}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{d y}{d x} - y = - x + 10$

解题步骤 2

积分因数由公式 $e^{\int P (x) d x}$ 定义，其中 $P (x) = - 1$ 。

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解题步骤 2.1

建立积分。

$e^{\int - 1 d x}$

解题步骤 2.2

应用常数不变法则。

$e^{- x + C}$

解题步骤 2.3

去掉积分常数。

$e^{- x}$

解题步骤 3

每一项乘以积分因数 $e^{- x}$ 。

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解题步骤 3.1

每一项乘以 $e^{- x}$ 。

$e^{- x} \frac{d y}{d x} + e^{- x} (- y) = e^{- x} (- x) + e^{- x} \cdot 10$

解题步骤 3.2

使用乘法的交换性质重写。

$e^{- x} \frac{d y}{d x} - e^{- x} y = e^{- x} (- x) + e^{- x} \cdot 10$

解题步骤 3.3

化简每一项。

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解题步骤 3.3.1

使用乘法的交换性质重写。

$e^{- x} \frac{d y}{d x} - e^{- x} y = - e^{- x} x + e^{- x} \cdot 10$

解题步骤 3.3.2

将 $10$ 移到 $e^{- x}$ 的左侧。

$e^{- x} \frac{d y}{d x} - e^{- x} y = - e^{- x} x + 10 e^{- x}$

解题步骤 3.4

将 $e^{- x} \frac{d y}{d x} - e^{- x} y = - e^{- x} x + 10 e^{- x}$ 中的因式重新排序。

$e^{- x} \frac{d y}{d x} - y e^{- x} = - x e^{- x} + 10 e^{- x}$

解题步骤 4

将左边重写为对积求导的结果。

$\frac{d}{d x} [e^{- x} y] = - x e^{- x} + 10 e^{- x}$

解题步骤 5

在两边建立积分。

$\int \frac{d}{d x} [e^{- x} y] d x = \int - x e^{- x} + 10 e^{- x} d x$

解题步骤 6

对左边积分。

$e^{- x} y = \int - x e^{- x} + 10 e^{- x} d x$

解题步骤 7

对右边积分。

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解题步骤 7.1

将单个积分拆分为多个积分。

$e^{- x} y = \int - x e^{- x} d x + \int 10 e^{- x} d x$

解题步骤 7.2

由于 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$e^{- x} y = - \int x e^{- x} d x + \int 10 e^{- x} d x$

解题步骤 7.3

利用公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ 来分部求积分，其中 $u = x$ ， $d v = e^{- x}$ 。

$e^{- x} y = - (x (- e^{- x}) - \int - e^{- x} d x) + \int 10 e^{- x} d x$

解题步骤 7.4

由于 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$e^{- x} y = - (x (- e^{- x}) - - \int e^{- x} d x) + \int 10 e^{- x} d x$

解题步骤 7.5

化简。

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解题步骤 7.5.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$e^{- x} y = - (x (- e^{- x}) + 1 \int e^{- x} d x) + \int 10 e^{- x} d x$

解题步骤 7.5.2

将 $\int e^{- x} d x$ 乘以 $1$ 。

$e^{- x} y = - (x (- e^{- x}) + \int e^{- x} d x) + \int 10 e^{- x} d x$

解题步骤 7.6

使 $u_{1} = - x$ 。然后使 $d u_{1} = - d x$ ，以便 $- d u_{1} = d x$ 。使用 $u_{1}$ 和 $d$ $u_{1}$ 进行重写。

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解题步骤 7.6.1

设 $u_{1} = - x$ 。求 $\frac{d u_{1}}{d x}$ 。

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解题步骤 7.6.1.1

对 $- x$ 求导。

$\frac{d}{d x} [- x]$

解题步骤 7.6.1.2

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x]$ 。

$- \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 7.6.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$- 1 \cdot 1$

解题步骤 7.6.1.4

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$- 1$

解题步骤 7.6.2

使用 $u_{1}$ 和 $d u_{1}$ 重写该问题。

$e^{- x} y = - (x (- e^{- x}) + \int - e^{u_{1}} d u_{1}) + \int 10 e^{- x} d x$

解题步骤 7.7

由于 $- 1$ 对于 $u_{1}$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$e^{- x} y = - (x (- e^{- x}) - \int e^{u_{1}} d u_{1}) + \int 10 e^{- x} d x$

解题步骤 7.8

$e^{u_{1}}$ 对 $u_{1}$ 的积分为 $e^{u_{1}}$ 。

$e^{- x} y = - (x (- e^{- x}) - (e^{u_{1}} + C)) + \int 10 e^{- x} d x$

解题步骤 7.9

由于 $10$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $10$ 移到积分外。

$e^{- x} y = - (x (- e^{- x}) - (e^{u_{1}} + C)) + 10 \int e^{- x} d x$

解题步骤 7.10

使 $u_{2} = - x$ 。然后使 $d u_{2} = - d x$ ，以便 $- d u_{2} = d x$ 。使用 $u_{2}$ 和 $d$ $u_{2}$ 进行重写。

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解题步骤 7.10.1

设 $u_{2} = - x$ 。求 $\frac{d u_{2}}{d x}$ 。

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解题步骤 7.10.1.1

对 $- x$ 求导。

$\frac{d}{d x} [- x]$

解题步骤 7.10.1.2

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x]$ 。

$- \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 7.10.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$- 1 \cdot 1$

解题步骤 7.10.1.4

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$- 1$

解题步骤 7.10.2

使用 $u_{2}$ 和 $d u_{2}$ 重写该问题。

$e^{- x} y = - (x (- e^{- x}) - (e^{u_{1}} + C)) + 10 \int - e^{u_{2}} d u_{2}$

解题步骤 7.11

由于 $- 1$ 对于 $u_{2}$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$e^{- x} y = - (x (- e^{- x}) - (e^{u_{1}} + C)) + 10 (- \int e^{u_{2}} d u_{2})$

解题步骤 7.12

将 $- 1$ 乘以 $10$ 。

$e^{- x} y = - (x (- e^{- x}) - (e^{u_{1}} + C)) - 10 \int e^{u_{2}} d u_{2}$

解题步骤 7.13

$e^{u_{2}}$ 对 $u_{2}$ 的积分为 $e^{u_{2}}$ 。

$e^{- x} y = - (x (- e^{- x}) - (e^{u_{1}} + C)) - 10 (e^{u_{2}} + C)$

解题步骤 7.14

化简。

$e^{- x} y = - (- x e^{- x} - e^{u_{1}}) - 10 e^{u_{2}} + C$

解题步骤 7.15

代回替换每一个积分法替换变量。

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解题步骤 7.15.1

使用 $- x$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$e^{- x} y = - (- x e^{- x} - e^{- x}) - 10 e^{u_{2}} + C$

解题步骤 7.15.2

使用 $- x$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$e^{- x} y = - (- x e^{- x} - e^{- x}) - 10 e^{- x} + C$

解题步骤 7.16

化简。

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解题步骤 7.16.1

运用分配律。

$e^{- x} y = - (- x e^{- x}) - - e^{- x} - 10 e^{- x} + C$

解题步骤 7.16.2

乘以 $- (- x e^{- x})$ 。

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解题步骤 7.16.2.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$e^{- x} y = 1 (x e^{- x}) - - e^{- x} - 10 e^{- x} + C$

解题步骤 7.16.2.2

将 $x$ 乘以 $1$ 。

$e^{- x} y = x e^{- x} - - e^{- x} - 10 e^{- x} + C$

解题步骤 7.16.3

乘以 $- - e^{- x}$ 。

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解题步骤 7.16.3.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$e^{- x} y = x e^{- x} + 1 e^{- x} - 10 e^{- x} + C$

解题步骤 7.16.3.2

将 $e^{- x}$ 乘以 $1$ 。

$e^{- x} y = x e^{- x} + e^{- x} - 10 e^{- x} + C$

解题步骤 7.16.4

从 $e^{- x}$ 中减去 $10 e^{- x}$ 。

$e^{- x} y = x e^{- x} - 9 e^{- x} + C$

解题步骤 8

将 $e^{- x} y = x e^{- x} - 9 e^{- x} + C$ 中的每一项除以 $e^{- x}$ 并化简。

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解题步骤 8.1

将 $e^{- x} y = x e^{- x} - 9 e^{- x} + C$ 中的每一项都除以 $e^{- x}$ 。

$\frac{e^{- x} y}{e^{- x}} = \frac{x e^{- x}}{e^{- x}} + \frac{- 9 e^{- x}}{e^{- x}} + \frac{C}{e^{- x}}$

解题步骤 8.2

化简左边。

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解题步骤 8.2.1

约去 $e^{- x}$ 的公因数。

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解题步骤 8.2.1.1

约去公因数。

$\frac{e^{- x} y}{e^{- x}} = \frac{x e^{- x}}{e^{- x}} + \frac{- 9 e^{- x}}{e^{- x}} + \frac{C}{e^{- x}}$

解题步骤 8.2.1.2

用 $y$ 除以 $1$ 。

$y = \frac{x e^{- x}}{e^{- x}} + \frac{- 9 e^{- x}}{e^{- x}} + \frac{C}{e^{- x}}$

解题步骤 8.3

化简右边。

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解题步骤 8.3.1

化简每一项。

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解题步骤 8.3.1.1

约去 $e^{- x}$ 的公因数。

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解题步骤 8.3.1.1.1

约去公因数。

$y = \frac{x e^{- x}}{e^{- x}} + \frac{- 9 e^{- x}}{e^{- x}} + \frac{C}{e^{- x}}$

解题步骤 8.3.1.1.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$y = x + \frac{- 9 e^{- x}}{e^{- x}} + \frac{C}{e^{- x}}$

解题步骤 8.3.1.2

约去 $e^{- x}$ 的公因数。

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解题步骤 8.3.1.2.1

约去公因数。

$y = x + \frac{- 9 e^{- x}}{e^{- x}} + \frac{C}{e^{- x}}$

解题步骤 8.3.1.2.2

用 $- 9$ 除以 $1$ 。

$y = x - 9 + \frac{C}{e^{- x}}$

微积分学 示例

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