微积分学示例

$\frac{d N}{d t} + N = N t e^{t}$ , $N (0) = 1$

解题步骤 1

分离变量。

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解题步骤 1.1

从等式两边同时减去 $N$ 。

$\frac{d N}{d t} = N t e^{t} - N$

解题步骤 1.2

从 $N t e^{t} - N$ 中分解出因数 $N$ 。

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解题步骤 1.2.1

从 $N t e^{t}$ 中分解出因数 $N$ 。

$\frac{d N}{d t} = N (t e^{t}) - N$

解题步骤 1.2.2

从 $- N$ 中分解出因数 $N$ 。

$\frac{d N}{d t} = N (t e^{t}) + N \cdot - 1$

解题步骤 1.2.3

从 $N (t e^{t}) + N \cdot - 1$ 中分解出因数 $N$ 。

$\frac{d N}{d t} = N (t e^{t} - 1)$

解题步骤 1.3

两边同时乘以 $\frac{1}{N}$ 。

$\frac{1}{N} \frac{d N}{d t} = \frac{1}{N} (N (t e^{t} - 1))$

解题步骤 1.4

约去 $N$ 的公因数。

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解题步骤 1.4.1

约去公因数。

$\frac{1}{N} \frac{d N}{d t} = \frac{1}{N} (N (t e^{t} - 1))$

解题步骤 1.4.2

重写表达式。

$\frac{1}{N} \frac{d N}{d t} = t e^{t} - 1$

解题步骤 1.5

重写该方程。

$\frac{1}{N} d N = (t e^{t} - 1) d t$

解题步骤 2

对两边积分。

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解题步骤 2.1

在两边建立积分。

$\int \frac{1}{N} d N = \int t e^{t} - 1 d t$

解题步骤 2.2

$\frac{1}{N}$ 对 $N$ 的积分为 $\ln (| N |)$ 。

$\ln (| N |) + C_{1} = \int t e^{t} - 1 d t$

解题步骤 2.3

对右边积分。

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解题步骤 2.3.1

将单个积分拆分为多个积分。

$\ln (| N |) + C_{1} = \int t e^{t} d t + \int - 1 d t$

解题步骤 2.3.2

利用公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ 来分部求积分，其中 $u = t$ ， $d v = e^{t}$ 。

$\ln (| N |) + C_{1} = t e^{t} - \int e^{t} d t + \int - 1 d t$

解题步骤 2.3.3

$e^{t}$ 对 $t$ 的积分为 $e^{t}$ 。

$\ln (| N |) + C_{1} = t e^{t} - (e^{t} + C_{2}) + \int - 1 d t$

解题步骤 2.3.4

应用常数不变法则。

$\ln (| N |) + C_{1} = t e^{t} - (e^{t} + C_{2}) - t + C_{3}$

解题步骤 2.3.5

化简。

$\ln (| N |) + C_{1} = t e^{t} - e^{t} - t + C_{4}$

解题步骤 2.3.6

重新排序项。

$\ln (| N |) + C_{1} = e^{t} t - t - e^{t} + C_{4}$

解题步骤 2.4

将右边的积分常数分组为 $C$ 。

$\ln (| N |) = e^{t} t - t - e^{t} + C$

解题步骤 3

求解 $N$ 。

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解题步骤 3.1

要求解 $N$ ，请利用对数的性质重写方程。

$e^{\ln (| N |)} = e^{e^{t} t - t - e^{t} + C}$

解题步骤 3.2

使用对数的定义将 $\ln (| N |) = e^{t} t - t - e^{t} + C$ 重写成指数形式。如果 $x$ 和 $b$ 是正实数且 $b \neq 1$ ，则 $\log_{b} (x) = y$ 等价于 $b^{y} = x$ 。

$e^{e^{t} t - t - e^{t} + C} = | N |$

解题步骤 3.3

求解 $N$ 。

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解题步骤 3.3.1

将方程重写为 $| N | = e^{e^{t} t - t - e^{t} + C}$ 。

$| N | = e^{e^{t} t - t - e^{t} + C}$

解题步骤 3.3.2

将 $e^{e^{t} t - t - e^{t} + C}$ 中的因式重新排序。

$| N | = e^{t e^{t} - t - e^{t} + C}$

解题步骤 3.3.3

去掉绝对值项。因为 $| x | = \pm x$ ，所以这将使方程右边新增 $\pm$ 。

$N = \pm e^{t e^{t} - t - e^{t} + C}$

解题步骤 4

将常数项组合在一起。

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解题步骤 4.1

将 $e^{t e^{t} - t - e^{t} + C}$ 重写为 $e^{t e^{t} - t - e^{t}} e^{C}$ 。

$N = \pm e^{t e^{t} - t - e^{t}} e^{C}$

解题步骤 4.2

将 $e^{t e^{t} - t - e^{t}}$ 和 $e^{C}$ 重新排序。

$N = \pm e^{C} e^{t e^{t} - t - e^{t}}$

解题步骤 4.3

用加号或减号合并常数。

$N = C e^{t e^{t} - t - e^{t}}$

解题步骤 5

使用初始条件，通过将 $0$ 代入 $t$ ，将 $1$ 代入 $N$ ，在 $N = C e^{t e^{t} - t - e^{t}}$ 中求 $C$ 的值。

$1 = C e^{0 e^{0} + 0 - e^{0}}$

解题步骤 6

求解 $C$ 。

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解题步骤 6.1

将方程重写为 $C e^{0 e^{0} + 0 - e^{0}} = 1$ 。

$C e^{0 e^{0} + 0 - e^{0}} = 1$

解题步骤 6.2

化简。

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解题步骤 6.2.1

任何数的 $0$ 次方都是 $1$ 。

$C e^{0 \cdot 1 + 0 - e^{0}} = 1$

解题步骤 6.2.2

将 $0$ 乘以 $1$ 。

$C e^{0 + 0 - e^{0}} = 1$

解题步骤 6.2.3

任何数的 $0$ 次方都是 $1$ 。

$C e^{0 + 0 - 1 \cdot 1} = 1$

解题步骤 6.2.4

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$C e^{0 + 0 - 1} = 1$

解题步骤 6.2.5

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$C e^{0 - 1} = 1$

解题步骤 6.2.6

从 $0$ 中减去 $1$ 。

$C e^{- 1} = 1$

解题步骤 6.3

将 $C e^{- 1} = 1$ 中的每一项除以 $e^{- 1}$ 并化简。

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解题步骤 6.3.1

将 $C e^{- 1} = 1$ 中的每一项都除以 $e^{- 1}$ 。

$\frac{C e^{- 1}}{e^{- 1}} = \frac{1}{e^{- 1}}$

解题步骤 6.3.2

化简左边。

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解题步骤 6.3.2.1

约去 $e^{- 1}$ 的公因数。

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解题步骤 6.3.2.1.1

约去公因数。

$\frac{C e^{- 1}}{e^{- 1}} = \frac{1}{e^{- 1}}$

解题步骤 6.3.2.1.2

用 $C$ 除以 $1$ 。

$C = \frac{1}{e^{- 1}}$

解题步骤 6.3.3

化简右边。

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解题步骤 6.3.3.1

使用负指数规则 $\frac{1}{b^{- n}} = b^{n}$ 将 $e^{- 1}$ 移动到分子。

$C = e$

解题步骤 7

代入 $e$ 替换 $N = C e^{t e^{t} - t - e^{t}}$ 中的 $C$ 并化简。

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解题步骤 7.1

代入 $e$ 替换 $C$ 。

$N = e e^{t e^{t} - t - e^{t}}$

解题步骤 7.2

将 $e$ 乘以 $e^{t e^{t} - t - e^{t}}$ 。

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解题步骤 7.2.1

对 $e$ 进行 $1$ 次方运算。

$N = e^{1} e^{t e^{t} - t - e^{t}}$

解题步骤 7.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$N = e^{1 + t e^{t} - t - e^{t}}$

微积分学 示例

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