微积分学示例

$x \frac{d y}{d x} + y = \frac{1}{x^{2}}$

解题步骤 1

检查方程的左侧是否是 $x y$ 项的导数的结果。

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解题步骤 1.1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x$ 且 $g (x) = y$ 。

$x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 1.2

将 $\frac{d}{d x} [y]$ 重写为 $y'$ 。

$x y' + y \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$x y' + y \cdot 1$

解题步骤 1.4

代入 $\frac{d y}{d x}$ 替换 $y'$ 。

$x \frac{d y}{d x} + y \cdot 1$

解题步骤 1.5

将 $y$ 和 $1$ 重新排序。

$x \frac{d y}{d x} + 1 \cdot y$

解题步骤 1.6

将 $y$ 乘以 $1$ 。

$x \frac{d y}{d x} + y$

解题步骤 2

将左边重写为对积求导的结果。

$\frac{d}{d x} [x y] = \frac{1}{x^{2}}$

解题步骤 3

在两边建立积分。

$\int \frac{d}{d x} [x y] d x = \int \frac{1}{x^{2}} d x$

解题步骤 4

对左边积分。

$x y = \int \frac{1}{x^{2}} d x$

解题步骤 5

对右边积分。

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解题步骤 5.1

应用指数的基本规则。

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解题步骤 5.1.1

通过将 $x^{2}$ 乘以 $- 1$ 次幂来将其移出分母。

$x y = \int {(x^{2})}^{- 1} d x$

解题步骤 5.1.2

将 ${(x^{2})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 5.1.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$x y = \int x^{2 \cdot - 1} d x$

解题步骤 5.1.2.2

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$x y = \int x^{- 2} d x$

解题步骤 5.2

根据幂法则， $x^{- 2}$ 对 $x$ 的积分是 $- x^{- 1}$ 。

$x y = - x^{- 1} + C$

解题步骤 5.3

将 $- x^{- 1} + C$ 重写为 $- \frac{1}{x} + C$ 。

$x y = - \frac{1}{x} + C$

解题步骤 6

将 $x y = - \frac{1}{x} + C$ 中的每一项除以 $x$ 并化简。

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解题步骤 6.1

将 $x y = - \frac{1}{x} + C$ 中的每一项都除以 $x$ 。

$\frac{x y}{x} = \frac{- \frac{1}{x}}{x} + \frac{C}{x}$

解题步骤 6.2

化简左边。

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解题步骤 6.2.1

约去 $x$ 的公因数。

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解题步骤 6.2.1.1

约去公因数。

$\frac{x y}{x} = \frac{- \frac{1}{x}}{x} + \frac{C}{x}$

解题步骤 6.2.1.2

用 $y$ 除以 $1$ 。

$y = \frac{- \frac{1}{x}}{x} + \frac{C}{x}$

解题步骤 6.3

化简右边。

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解题步骤 6.3.1

化简每一项。

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解题步骤 6.3.1.1

将分子乘以分母的倒数。

$y = - \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{x} + \frac{C}{x}$

解题步骤 6.3.1.2

乘以 $- \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{x}$ 。

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解题步骤 6.3.1.2.1

将 $\frac{1}{x}$ 乘以 $\frac{1}{x}$ 。

$y = - \frac{1}{x \cdot x} + \frac{C}{x}$

解题步骤 6.3.1.2.2

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$y = - \frac{1}{x^{1} x} + \frac{C}{x}$

解题步骤 6.3.1.2.3

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$y = - \frac{1}{x^{1} x^{1}} + \frac{C}{x}$

解题步骤 6.3.1.2.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$y = - \frac{1}{x^{1 + 1}} + \frac{C}{x}$

解题步骤 6.3.1.2.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$y = - \frac{1}{x^{2}} + \frac{C}{x}$

微积分学 示例

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