微积分学示例

$\cos^{2} (x) \sin (x) \frac{d y}{d x} + (\cos^{3} (x)) y = 1$

解题步骤 1

将微分方程重写为 $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ 。

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解题步骤 1.1

重新排序项。

$\cos^{2} (x) \sin (x) \frac{d y}{d x} + y \cos^{3} (x) = 1$

解题步骤 1.2

从 $y \cos^{3} (x)$ 中分解出因数 $y$ 。

$\cos^{2} (x) \sin (x) \frac{d y}{d x} + y (\cos^{3} (x)) = 1$

解题步骤 1.3

将 $y$ 和 $\cos^{3} (x)$ 重新排序。

$\cos^{2} (x) \sin (x) \frac{d y}{d x} + \cos^{3} (x) y = 1$

解题步骤 1.4

将 $\cos^{2} (x) \sin (x) \frac{d y}{d x} + \cos^{3} (x) y = 1$ 中的每一项都除以 $\cos^{2} (x) \sin (x)$ 。

$\frac{\cos^{2} (x) \sin (x) \frac{d y}{d x}}{\cos^{2} (x) \sin (x)} + \frac{\cos^{3} (x) y}{\cos^{2} (x) \sin (x)} = \frac{1}{\cos^{2} (x) \sin (x)}$

解题步骤 1.5

约去 $\cos^{2} (x)$ 的公因数。

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解题步骤 1.5.1

约去公因数。

$\frac{\cos^{2} (x) \sin (x) \frac{d y}{d x}}{\cos^{2} (x) \sin (x)} + \frac{\cos^{3} (x) y}{\cos^{2} (x) \sin (x)} = \frac{1}{\cos^{2} (x) \sin (x)}$

解题步骤 1.5.2

重写表达式。

$\frac{\sin (x) \frac{d y}{d x}}{\sin (x)} + \frac{\cos^{3} (x) y}{\cos^{2} (x) \sin (x)} = \frac{1}{\cos^{2} (x) \sin (x)}$

解题步骤 1.6

约去 $\sin (x)$ 的公因数。

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解题步骤 1.6.1

约去公因数。

$\frac{\sin (x) \frac{d y}{d x}}{\sin (x)} + \frac{\cos^{3} (x) y}{\cos^{2} (x) \sin (x)} = \frac{1}{\cos^{2} (x) \sin (x)}$

解题步骤 1.6.2

用 $\frac{d y}{d x}$ 除以 $1$ 。

$\frac{d y}{d x} + \frac{\cos^{3} (x) y}{\cos^{2} (x) \sin (x)} = \frac{1}{\cos^{2} (x) \sin (x)}$

解题步骤 1.7

约去 $\cos^{3} (x)$ 和 $\cos^{2} (x)$ 的公因数。

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解题步骤 1.7.1

从 $\cos^{3} (x) y$ 中分解出因数 $\cos^{2} (x)$ 。

$\frac{d y}{d x} + \frac{\cos^{2} (x) (\cos (x) y)}{\cos^{2} (x) \sin (x)} = \frac{1}{\cos^{2} (x) \sin (x)}$

解题步骤 1.7.2

约去公因数。

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解题步骤 1.7.2.1

从 $\cos^{2} (x) \sin (x)$ 中分解出因数 $\cos^{2} (x)$ 。

$\frac{d y}{d x} + \frac{\cos^{2} (x) (\cos (x) y)}{\cos^{2} (x) (\sin (x))} = \frac{1}{\cos^{2} (x) \sin (x)}$

解题步骤 1.7.2.2

约去公因数。

$\frac{d y}{d x} + \frac{\cos^{2} (x) (\cos (x) y)}{\cos^{2} (x) \sin (x)} = \frac{1}{\cos^{2} (x) \sin (x)}$

解题步骤 1.7.2.3

重写表达式。

$\frac{d y}{d x} + \frac{\cos (x) y}{\sin (x)} = \frac{1}{\cos^{2} (x) \sin (x)}$

解题步骤 1.8

从 $\frac{\cos (x) y}{\sin (x)}$ 中分解出因数 $y$ 。

$\frac{d y}{d x} + y \frac{\cos (x)}{\sin (x)} = \frac{1}{\cos^{2} (x) \sin (x)}$

解题步骤 1.9

将 $y$ 和 $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ 重新排序。

$\frac{d y}{d x} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} y = \frac{1}{\cos^{2} (x) \sin (x)}$

解题步骤 2

积分因数由公式 $e^{\int P (x) d x}$ 定义，其中 $P (x) = \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ 。

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解题步骤 2.1

建立积分。

$e^{\int \frac{\cos (x)}{\sin (x)} d x}$

解题步骤 2.2

对 $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ 积分。

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解题步骤 2.2.1

将 $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ 转换成 $\cot (x)$ 。

$e^{\int \cot (x) d x}$

解题步骤 2.2.2

$\cot (x)$ 对 $x$ 的积分为 $\ln (| \sin (x) |)$ 。

$e^{\ln (| \sin (x) |) + C}$

解题步骤 2.3

去掉积分常数。

$e^{\ln (\sin (x))}$

解题步骤 2.4

指数函数和对数函数互为反函数。

$\sin (x)$

解题步骤 3

每一项乘以积分因数 $\sin (x)$ 。

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解题步骤 3.1

每一项乘以 $\sin (x)$ 。

$\sin (x) \frac{d y}{d x} + \sin (x) (\frac{\cos (x)}{\sin (x)} y) = \sin (x) \frac{1}{\cos^{2} (x) \sin (x)}$

解题步骤 3.2

化简每一项。

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解题步骤 3.2.1

将 $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ 转换成 $\cot (x)$ 。

$\sin (x) \frac{d y}{d x} + \sin (x) (\cot (x) y) = \sin (x) \frac{1}{\cos^{2} (x) \sin (x)}$

解题步骤 3.2.2

重写为正弦和余弦的形式，然后约去公因式。

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解题步骤 3.2.2.1

将 $\sin (x)$ 和 $\cot (x)$ 重新排序。

$\sin (x) \frac{d y}{d x} + \cot (x) \sin (x) y = \sin (x) \frac{1}{\cos^{2} (x) \sin (x)}$

解题步骤 3.2.2.2

将 $\sin (x) (\cot (x) y)$ 重写为正弦和余弦形式。

$\sin (x) \frac{d y}{d x} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \sin (x) y = \sin (x) \frac{1}{\cos^{2} (x) \sin (x)}$

解题步骤 3.2.2.3

约去公因数。

$\sin (x) \frac{d y}{d x} + \cos (x) y = \sin (x) \frac{1}{\cos^{2} (x) \sin (x)}$

解题步骤 3.3

约去 $\sin (x)$ 的公因数。

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解题步骤 3.3.1

从 $\cos^{2} (x) \sin (x)$ 中分解出因数 $\sin (x)$ 。

$\sin (x) \frac{d y}{d x} + \cos (x) y = \sin (x) \frac{1}{\sin (x) \cos^{2} (x)}$

解题步骤 3.3.2

约去公因数。

$\sin (x) \frac{d y}{d x} + \cos (x) y = \sin (x) \frac{1}{\sin (x) \cos^{2} (x)}$

解题步骤 3.3.3

重写表达式。

$\sin (x) \frac{d y}{d x} + \cos (x) y = \frac{1}{\cos^{2} (x)}$

解题步骤 3.4

将 $1$ 重写为 $1^{2}$ 。

$\sin (x) \frac{d y}{d x} + \cos (x) y = \frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)}$

解题步骤 3.5

将 $\frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)}$ 重写为 ${(\frac{1}{\cos (x)})}^{2}$ 。

$\sin (x) \frac{d y}{d x} + \cos (x) y = {(\frac{1}{\cos (x)})}^{2}$

解题步骤 3.6

将 $\frac{1}{\cos (x)}$ 转换成 $\sec (x)$ 。

$\sin (x) \frac{d y}{d x} + \cos (x) y = \sec^{2} (x)$

解题步骤 3.7

将 $\sin (x) \frac{d y}{d x} + \cos (x) y = \sec^{2} (x)$ 中的因式重新排序。

$\sin (x) \frac{d y}{d x} + y \cos (x) = \sec^{2} (x)$

解题步骤 4

将左边重写为对积求导的结果。

$\frac{d}{d x} [\sin (x) y] = \sec^{2} (x)$

解题步骤 5

在两边建立积分。

$\int \frac{d}{d x} [\sin (x) y] d x = \int \sec^{2} (x) d x$

解题步骤 6

对左边积分。

$\sin (x) y = \int \sec^{2} (x) d x$

解题步骤 7

因为 $\tan (x)$ 的导数为 $\sec^{2} (x)$ ，所以 $\sec^{2} (x)$ 的积分为 $\tan (x)$ 。

$\sin (x) y = \tan (x) + C$

解题步骤 8

将 $\sin (x) y = \tan (x) + C$ 中的每一项除以 $\sin (x)$ 并化简。

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解题步骤 8.1

将 $\sin (x) y = \tan (x) + C$ 中的每一项都除以 $\sin (x)$ 。

$\frac{\sin (x) y}{\sin (x)} = \frac{\tan (x)}{\sin (x)} + \frac{C}{\sin (x)}$

解题步骤 8.2

化简左边。

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解题步骤 8.2.1

约去 $\sin (x)$ 的公因数。

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解题步骤 8.2.1.1

约去公因数。

$\frac{\sin (x) y}{\sin (x)} = \frac{\tan (x)}{\sin (x)} + \frac{C}{\sin (x)}$

解题步骤 8.2.1.2

用 $y$ 除以 $1$ 。

$y = \frac{\tan (x)}{\sin (x)} + \frac{C}{\sin (x)}$

解题步骤 8.3

化简右边。

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解题步骤 8.3.1

化简每一项。

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解题步骤 8.3.1.1

将 $\tan (x)$ 重写为正弦和余弦形式。

$y = \frac{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{\sin (x)} + \frac{C}{\sin (x)}$

解题步骤 8.3.1.2

将 $\frac{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{\sin (x)}$ 重写为乘积形式。

$y = \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\sin (x)} + \frac{C}{\sin (x)}$

解题步骤 8.3.1.3

约去 $\sin (x)$ 的公因数。

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解题步骤 8.3.1.3.1

约去公因数。

$y = \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\sin (x)} + \frac{C}{\sin (x)}$

解题步骤 8.3.1.3.2

重写表达式。

$y = \frac{1}{\cos (x)} + \frac{C}{\sin (x)}$

解题步骤 8.3.2

化简每一项。

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解题步骤 8.3.2.1

将 $\frac{1}{\cos (x)}$ 转换成 $\sec (x)$ 。

$y = \sec (x) + \frac{C}{\sin (x)}$

解题步骤 8.3.2.2

分离分数。

$y = \sec (x) + \frac{C}{1} \cdot \frac{1}{\sin (x)}$

解题步骤 8.3.2.3

将 $\frac{1}{\sin (x)}$ 转换成 $\csc (x)$ 。

$y = \sec (x) + \frac{C}{1} \csc (x)$

解题步骤 8.3.2.4

用 $C$ 除以 $1$ 。

$y = \sec (x) + C \csc (x)$

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