微积分学示例

$\frac{d u}{d v} = \frac{3 v \sqrt{1 + u^{2}}}{u}$

解题步骤 1

分离变量。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1

重新组合因数。

$\frac{d u}{d v} = 3 v \frac{\sqrt{1 + u^{2}}}{u}$

解题步骤 1.2

两边同时乘以 $\frac{u}{\sqrt{1 + u^{2}}}$ 。

$\frac{u}{\sqrt{1 + u^{2}}} \frac{d u}{d v} = \frac{u}{\sqrt{1 + u^{2}}} (3 v \frac{\sqrt{1 + u^{2}}}{u})$

解题步骤 1.3

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.3.1

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{u}{\sqrt{1 + u^{2}}} \frac{d u}{d v} = 3 \frac{u}{\sqrt{1 + u^{2}}} (v \frac{\sqrt{1 + u^{2}}}{u})$

解题步骤 1.3.2

将 $\frac{u}{\sqrt{1 + u^{2}}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{1 + u^{2}}}{\sqrt{1 + u^{2}}}$ 。

$\frac{u}{\sqrt{1 + u^{2}}} \frac{d u}{d v} = 3 (\frac{u}{\sqrt{1 + u^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{1 + u^{2}}}{\sqrt{1 + u^{2}}}) (v \frac{\sqrt{1 + u^{2}}}{u})$

解题步骤 1.3.3

合并和化简分母。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.3.3.1

将 $\frac{u}{\sqrt{1 + u^{2}}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{1 + u^{2}}}{\sqrt{1 + u^{2}}}$ 。

$\frac{u}{\sqrt{1 + u^{2}}} \frac{d u}{d v} = 3 \frac{u \sqrt{1 + u^{2}}}{\sqrt{1 + u^{2}} \sqrt{1 + u^{2}}} (v \frac{\sqrt{1 + u^{2}}}{u})$

解题步骤 1.3.3.2

对 $\sqrt{1 + u^{2}}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{u}{\sqrt{1 + u^{2}}} \frac{d u}{d v} = 3 \frac{u \sqrt{1 + u^{2}}}{{\sqrt{1 + u^{2}}}^{1} \sqrt{1 + u^{2}}} (v \frac{\sqrt{1 + u^{2}}}{u})$

解题步骤 1.3.3.3

对 $\sqrt{1 + u^{2}}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{u}{\sqrt{1 + u^{2}}} \frac{d u}{d v} = 3 \frac{u \sqrt{1 + u^{2}}}{{\sqrt{1 + u^{2}}}^{1} {\sqrt{1 + u^{2}}}^{1}} (v \frac{\sqrt{1 + u^{2}}}{u})$

解题步骤 1.3.3.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{u}{\sqrt{1 + u^{2}}} \frac{d u}{d v} = 3 \frac{u \sqrt{1 + u^{2}}}{{\sqrt{1 + u^{2}}}^{1 + 1}} (v \frac{\sqrt{1 + u^{2}}}{u})$

解题步骤 1.3.3.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{u}{\sqrt{1 + u^{2}}} \frac{d u}{d v} = 3 \frac{u \sqrt{1 + u^{2}}}{{\sqrt{1 + u^{2}}}^{2}} (v \frac{\sqrt{1 + u^{2}}}{u})$

解题步骤 1.3.3.6

将 ${\sqrt{1 + u^{2}}}^{2}$ 重写为 $1 + u^{2}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.3.3.6.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{1 + u^{2}}$ 重写成 ${(1 + u^{2})}^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{u}{\sqrt{1 + u^{2}}} \frac{d u}{d v} = 3 \frac{u \sqrt{1 + u^{2}}}{{({(1 + u^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} (v \frac{\sqrt{1 + u^{2}}}{u})$

解题步骤 1.3.3.6.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{u}{\sqrt{1 + u^{2}}} \frac{d u}{d v} = 3 \frac{u \sqrt{1 + u^{2}}}{{(1 + u^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}} (v \frac{\sqrt{1 + u^{2}}}{u})$

解题步骤 1.3.3.6.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\frac{u}{\sqrt{1 + u^{2}}} \frac{d u}{d v} = 3 \frac{u \sqrt{1 + u^{2}}}{{(1 + u^{2})}^{\frac{2}{2}}} (v \frac{\sqrt{1 + u^{2}}}{u})$

解题步骤 1.3.3.6.4

约去 $2$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.3.3.6.4.1

约去公因数。

$\frac{u}{\sqrt{1 + u^{2}}} \frac{d u}{d v} = 3 \frac{u \sqrt{1 + u^{2}}}{{(1 + u^{2})}^{\frac{2}{2}}} (v \frac{\sqrt{1 + u^{2}}}{u})$

解题步骤 1.3.3.6.4.2

重写表达式。

$\frac{u}{\sqrt{1 + u^{2}}} \frac{d u}{d v} = 3 \frac{u \sqrt{1 + u^{2}}}{{(1 + u^{2})}^{1}} (v \frac{\sqrt{1 + u^{2}}}{u})$

解题步骤 1.3.3.6.5

化简。

$\frac{u}{\sqrt{1 + u^{2}}} \frac{d u}{d v} = 3 \frac{u \sqrt{1 + u^{2}}}{1 + u^{2}} (v \frac{\sqrt{1 + u^{2}}}{u})$

解题步骤 1.3.4

组合 $3$ 和 $\frac{u \sqrt{1 + u^{2}}}{1 + u^{2}}$ 。

$\frac{u}{\sqrt{1 + u^{2}}} \frac{d u}{d v} = \frac{3 (u \sqrt{1 + u^{2}})}{1 + u^{2}} (v \frac{\sqrt{1 + u^{2}}}{u})$

解题步骤 1.3.5

组合 $v$ 和 $\frac{\sqrt{1 + u^{2}}}{u}$ 。

$\frac{u}{\sqrt{1 + u^{2}}} \frac{d u}{d v} = \frac{3 u \sqrt{1 + u^{2}}}{1 + u^{2}} \cdot \frac{v \sqrt{1 + u^{2}}}{u}$

解题步骤 1.3.6

约去 $u$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.3.6.1

从 $3 u \sqrt{1 + u^{2}}$ 中分解出因数 $u$ 。

$\frac{u}{\sqrt{1 + u^{2}}} \frac{d u}{d v} = \frac{u (3 \sqrt{1 + u^{2}})}{1 + u^{2}} \cdot \frac{v \sqrt{1 + u^{2}}}{u}$

解题步骤 1.3.6.2

约去公因数。

$\frac{u}{\sqrt{1 + u^{2}}} \frac{d u}{d v} = \frac{u (3 \sqrt{1 + u^{2}})}{1 + u^{2}} \cdot \frac{v \sqrt{1 + u^{2}}}{u}$

解题步骤 1.3.6.3

重写表达式。

$\frac{u}{\sqrt{1 + u^{2}}} \frac{d u}{d v} = \frac{3 \sqrt{1 + u^{2}}}{1 + u^{2}} (v \sqrt{1 + u^{2}})$

解题步骤 1.3.7

组合 $v$ 和 $\frac{3 \sqrt{1 + u^{2}}}{1 + u^{2}}$ 。

$\frac{u}{\sqrt{1 + u^{2}}} \frac{d u}{d v} = \frac{v (3 \sqrt{1 + u^{2}})}{1 + u^{2}} \sqrt{1 + u^{2}}$

解题步骤 1.3.8

组合 $\frac{v (3 \sqrt{1 + u^{2}})}{1 + u^{2}}$ 和 $\sqrt{1 + u^{2}}$ 。

$\frac{u}{\sqrt{1 + u^{2}}} \frac{d u}{d v} = \frac{v (3 \sqrt{1 + u^{2}}) \sqrt{1 + u^{2}}}{1 + u^{2}}$

解题步骤 1.3.9

对 $\sqrt{1 + u^{2}}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{u}{\sqrt{1 + u^{2}}} \frac{d u}{d v} = \frac{v (3 ({\sqrt{1 + u^{2}}}^{1} \sqrt{1 + u^{2}}))}{1 + u^{2}}$

解题步骤 1.3.10

对 $\sqrt{1 + u^{2}}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{u}{\sqrt{1 + u^{2}}} \frac{d u}{d v} = \frac{v (3 ({\sqrt{1 + u^{2}}}^{1} {\sqrt{1 + u^{2}}}^{1}))}{1 + u^{2}}$

解题步骤 1.3.11

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{u}{\sqrt{1 + u^{2}}} \frac{d u}{d v} = \frac{v (3 {\sqrt{1 + u^{2}}}^{1 + 1})}{1 + u^{2}}$

解题步骤 1.3.12

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{u}{\sqrt{1 + u^{2}}} \frac{d u}{d v} = \frac{v (3 {\sqrt{1 + u^{2}}}^{2})}{1 + u^{2}}$

解题步骤 1.3.13

将 ${\sqrt{1 + u^{2}}}^{2}$ 重写为 $1 + u^{2}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.3.13.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{1 + u^{2}}$ 重写成 ${(1 + u^{2})}^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{u}{\sqrt{1 + u^{2}}} \frac{d u}{d v} = \frac{v \cdot 3 {({(1 + u^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}}{1 + u^{2}}$

解题步骤 1.3.13.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{u}{\sqrt{1 + u^{2}}} \frac{d u}{d v} = \frac{v \cdot 3 {(1 + u^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{1 + u^{2}}$

解题步骤 1.3.13.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\frac{u}{\sqrt{1 + u^{2}}} \frac{d u}{d v} = \frac{v \cdot 3 {(1 + u^{2})}^{\frac{2}{2}}}{1 + u^{2}}$

解题步骤 1.3.13.4

约去 $2$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.3.13.4.1

约去公因数。

$\frac{u}{\sqrt{1 + u^{2}}} \frac{d u}{d v} = \frac{v \cdot 3 {(1 + u^{2})}^{\frac{2}{2}}}{1 + u^{2}}$

解题步骤 1.3.13.4.2

重写表达式。

$\frac{u}{\sqrt{1 + u^{2}}} \frac{d u}{d v} = \frac{v \cdot 3 {(1 + u^{2})}^{1}}{1 + u^{2}}$

解题步骤 1.3.13.5

化简。

$\frac{u}{\sqrt{1 + u^{2}}} \frac{d u}{d v} = \frac{v \cdot 3 (1 + u^{2})}{1 + u^{2}}$

解题步骤 1.3.14

约去 $1 + u^{2}$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.3.14.1

约去公因数。

$\frac{u}{\sqrt{1 + u^{2}}} \frac{d u}{d v} = \frac{v \cdot 3 (1 + u^{2})}{1 + u^{2}}$

解题步骤 1.3.14.2

用 $v \cdot 3$ 除以 $1$ 。

$\frac{u}{\sqrt{1 + u^{2}}} \frac{d u}{d v} = v \cdot 3$

解题步骤 1.3.15

将 $3$ 移到 $v$ 的左侧。

$\frac{u}{\sqrt{1 + u^{2}}} \frac{d u}{d v} = 3 v$

解题步骤 1.4

重写该方程。

$\frac{u}{\sqrt{1 + u^{2}}} d u = 3 v d v$

解题步骤 2

对两边积分。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1

在两边建立积分。

$\int \frac{u}{\sqrt{1 + u^{2}}} d u = \int 3 v d v$

解题步骤 2.2

对左边积分。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.2.1

使 $u_{1} = 1 + u^{2}$ 。然后使 $d u_{1} = 2 u d u$ ，以便 $\frac{1}{2} d u_{1} = u d u$ 。使用 $u_{1}$ 和 $d$ $u_{1}$ 进行重写。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.2.1.1

设 $u_{1} = 1 + u^{2}$ 。求 $\frac{d u_{1}}{d u}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.2.1.1.1

对 $1 + u^{2}$ 求导。

$\frac{d}{d u} [1 + u^{2}]$

解题步骤 2.2.1.1.2

根据加法法则， $1 + u^{2}$ 对 $u$ 的导数是 $\frac{d}{d u} [1] + \frac{d}{d u} [u^{2}]$ 。

$\frac{d}{d u} [1] + \frac{d}{d u} [u^{2}]$

解题步骤 2.2.1.1.3

因为 $1$ 对于 $u$ 是常数，所以 $1$ 对 $u$ 的导数为 $0$ 。

$0 + \frac{d}{d u} [u^{2}]$

解题步骤 2.2.1.1.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$0 + 2 u$

解题步骤 2.2.1.1.5

将 $0$ 和 $2 u$ 相加。

$2 u$

解题步骤 2.2.1.2

使用 $u_{1}$ 和 $d u_{1}$ 重写该问题。

$\int \frac{1}{\sqrt{u_{1}}} \cdot \frac{1}{2} d u_{1} = \int 3 v d v$

解题步骤 2.2.2

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.2.2.1

将 $\frac{1}{\sqrt{u_{1}}}$ 乘以 $\frac{1}{2}$ 。

$\int \frac{1}{\sqrt{u_{1}} \cdot 2} d u_{1} = \int 3 v d v$

解题步骤 2.2.2.2

将 $2$ 移到 $\sqrt{u_{1}}$ 的左侧。

$\int \frac{1}{2 \sqrt{u_{1}}} d u_{1} = \int 3 v d v$

解题步骤 2.2.3

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $u_{1}$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{\sqrt{u_{1}}} d u_{1} = \int 3 v d v$

解题步骤 2.2.4

应用指数的基本规则。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.2.4.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{u_{1}}$ 重写成 ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{{u_{1}}^{\frac{1}{2}}} d u_{1} = \int 3 v d v$

解题步骤 2.2.4.2

通过将 ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ 乘以 $- 1$ 次幂来将其移出分母。

$\frac{1}{2} \int {({u_{1}}^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u_{1} = \int 3 v d v$

解题步骤 2.2.4.3

将 ${({u_{1}}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.2.4.3.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{1}{2} \int {u_{1}}^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u_{1} = \int 3 v d v$

解题步骤 2.2.4.3.2

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $- 1$ 。

$\frac{1}{2} \int {u_{1}}^{\frac{- 1}{2}} d u_{1} = \int 3 v d v$

解题步骤 2.2.4.3.3

将负号移到分数的前面。

$\frac{1}{2} \int {u_{1}}^{- \frac{1}{2}} d u_{1} = \int 3 v d v$

解题步骤 2.2.5

根据幂法则， ${u_{1}}^{- \frac{1}{2}}$ 对 $u_{1}$ 的积分是 $2 {u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{1}{2} (2 {u_{1}}^{\frac{1}{2}} + C_{1}) = \int 3 v d v$

解题步骤 2.2.6

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.2.6.1

将 $\frac{1}{2} (2 {u_{1}}^{\frac{1}{2}} + C_{1})$ 重写为 $\frac{1}{2} \cdot 2 {u_{1}}^{\frac{1}{2}} + C_{1}$ 。

$\frac{1}{2} \cdot 2 {u_{1}}^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int 3 v d v$

解题步骤 2.2.6.2

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.2.6.2.1

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\frac{2}{2} {u_{1}}^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int 3 v d v$

解题步骤 2.2.6.2.2

约去 $2$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.2.6.2.2.1

约去公因数。

$\frac{2}{2} {u_{1}}^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int 3 v d v$

解题步骤 2.2.6.2.2.2

重写表达式。

$1 {u_{1}}^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int 3 v d v$

解题步骤 2.2.6.2.3

将 ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ 乘以 $1$ 。

${u_{1}}^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int 3 v d v$

解题步骤 2.2.7

使用 $1 + u^{2}$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

${(1 + u^{2})}^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int 3 v d v$

解题步骤 2.3

对右边积分。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.3.1

由于 $3$ 对于 $v$ 是常数，所以将 $3$ 移到积分外。

${(1 + u^{2})}^{\frac{1}{2}} + C_{1} = 3 \int v d v$

解题步骤 2.3.2

根据幂法则， $v$ 对 $v$ 的积分是 $\frac{1}{2} v^{2}$ 。

${(1 + u^{2})}^{\frac{1}{2}} + C_{1} = 3 (\frac{1}{2} v^{2} + C_{2})$

解题步骤 2.3.3

化简答案。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.3.3.1

将 $3 (\frac{1}{2} v^{2} + C_{2})$ 重写为 $3 (\frac{1}{2}) v^{2} + C_{2}$ 。

${(1 + u^{2})}^{\frac{1}{2}} + C_{1} = 3 (\frac{1}{2}) v^{2} + C_{2}$

解题步骤 2.3.3.2

组合 $3$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

${(1 + u^{2})}^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \frac{3}{2} v^{2} + C_{2}$

解题步骤 2.4

将右边的积分常数分组为 $K$ 。

${(1 + u^{2})}^{\frac{1}{2}} = \frac{3}{2} v^{2} + K$

解题步骤 3

求解 $u$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.1

将方程两边同时进行 $2$ 次方运算以消去左边的分数指数。

${({(1 + u^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(\frac{3}{2} v^{2} + K)}^{2}$

解题步骤 3.2

化简指数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.2.1

化简左边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.2.1.1

化简 ${({(1 + u^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.2.1.1.1

将 ${({(1 + u^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 中的指数相乘。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.2.1.1.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

${(1 + u^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\frac{3}{2} v^{2} + K)}^{2}$

解题步骤 3.2.1.1.1.2

约去 $2$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.2.1.1.1.2.1

约去公因数。

${(1 + u^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\frac{3}{2} v^{2} + K)}^{2}$

解题步骤 3.2.1.1.1.2.2

重写表达式。

${(1 + u^{2})}^{1} = {(\frac{3}{2} v^{2} + K)}^{2}$

解题步骤 3.2.1.1.2

化简。

$1 + u^{2} = {(\frac{3}{2} v^{2} + K)}^{2}$

解题步骤 3.2.2

化简右边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.2.2.1

化简 ${(\frac{3}{2} v^{2} + K)}^{2}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.2.2.1.1

合并分数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.2.2.1.1.1

组合 $\frac{3}{2}$ 和 $v^{2}$ 。

$1 + u^{2} = {(\frac{3 v^{2}}{2} + K)}^{2}$

解题步骤 3.2.2.1.1.2

将 ${(\frac{3 v^{2}}{2} + K)}^{2}$ 重写为 $(\frac{3 v^{2}}{2} + K) (\frac{3 v^{2}}{2} + K)$ 。

$1 + u^{2} = (\frac{3 v^{2}}{2} + K) (\frac{3 v^{2}}{2} + K)$

解题步骤 3.2.2.1.2

使用 FOIL 方法展开 $(\frac{3 v^{2}}{2} + K) (\frac{3 v^{2}}{2} + K)$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.2.2.1.2.1

运用分配律。

$1 + u^{2} = \frac{3 v^{2}}{2} (\frac{3 v^{2}}{2} + K) + K (\frac{3 v^{2}}{2} + K)$

解题步骤 3.2.2.1.2.2

运用分配律。

$1 + u^{2} = \frac{3 v^{2}}{2} \cdot \frac{3 v^{2}}{2} + \frac{3 v^{2}}{2} K + K (\frac{3 v^{2}}{2} + K)$

解题步骤 3.2.2.1.2.3

运用分配律。

$1 + u^{2} = \frac{3 v^{2}}{2} \cdot \frac{3 v^{2}}{2} + \frac{3 v^{2}}{2} K + K \frac{3 v^{2}}{2} + K \cdot K$

解题步骤 3.2.2.1.3

化简并合并同类项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.2.2.1.3.1

化简每一项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.2.2.1.3.1.1

合并。

$1 + u^{2} = \frac{3 v^{2} (3 v^{2})}{2 \cdot 2} + \frac{3 v^{2}}{2} K + K \frac{3 v^{2}}{2} + K \cdot K$

解题步骤 3.2.2.1.3.1.2

通过指数相加将 $v^{2}$ 乘以 $v^{2}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.2.2.1.3.1.2.1

移动 $v^{2}$ 。

$1 + u^{2} = \frac{3 (v^{2} v^{2}) \cdot 3}{2 \cdot 2} + \frac{3 v^{2}}{2} K + K \frac{3 v^{2}}{2} + K \cdot K$

解题步骤 3.2.2.1.3.1.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$1 + u^{2} = \frac{3 v^{2 + 2} \cdot 3}{2 \cdot 2} + \frac{3 v^{2}}{2} K + K \frac{3 v^{2}}{2} + K \cdot K$

解题步骤 3.2.2.1.3.1.2.3

将 $2$ 和 $2$ 相加。

$1 + u^{2} = \frac{3 v^{4} \cdot 3}{2 \cdot 2} + \frac{3 v^{2}}{2} K + K \frac{3 v^{2}}{2} + K \cdot K$

解题步骤 3.2.2.1.3.1.3

将 $3$ 乘以 $3$ 。

$1 + u^{2} = \frac{9 v^{4}}{2 \cdot 2} + \frac{3 v^{2}}{2} K + K \frac{3 v^{2}}{2} + K \cdot K$

解题步骤 3.2.2.1.3.1.4

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$1 + u^{2} = \frac{9 v^{4}}{4} + \frac{3 v^{2}}{2} K + K \frac{3 v^{2}}{2} + K \cdot K$

解题步骤 3.2.2.1.3.1.5

组合 $\frac{3 v^{2}}{2}$ 和 $K$ 。

$1 + u^{2} = \frac{9 v^{4}}{4} + \frac{3 v^{2} K}{2} + K \frac{3 v^{2}}{2} + K \cdot K$

解题步骤 3.2.2.1.3.1.6

组合 $K$ 和 $\frac{3 v^{2}}{2}$ 。

$1 + u^{2} = \frac{9 v^{4}}{4} + \frac{3 v^{2} K}{2} + \frac{K (3 v^{2})}{2} + K (K)$

解题步骤 3.2.2.1.3.1.7

将 $3$ 移到 $K$ 的左侧。

$1 + u^{2} = \frac{9 v^{4}}{4} + \frac{3 v^{2} K}{2} + \frac{3 \cdot K v^{2}}{2} + K \cdot K$

解题步骤 3.2.2.1.3.1.8

将 $K$ 乘以 $K$ 。

$1 + u^{2} = \frac{9 v^{4}}{4} + \frac{3 v^{2} K}{2} + \frac{3 K v^{2}}{2} + K^{2}$

解题步骤 3.2.2.1.3.2

将 $\frac{3 v^{2} K}{2}$ 和 $\frac{3 K v^{2}}{2}$ 相加。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.2.2.1.3.2.1

移动 $v^{2}$ 。

$1 + u^{2} = \frac{9 v^{4}}{4} + \frac{3 K v^{2}}{2} + \frac{3 K v^{2}}{2} + K^{2}$

解题步骤 3.2.2.1.3.2.2

将 $\frac{3 K v^{2}}{2}$ 和 $\frac{3 K v^{2}}{2}$ 相加。

$1 + u^{2} = \frac{9 v^{4}}{4} + 2 \frac{3 K v^{2}}{2} + K^{2}$

解题步骤 3.2.2.1.4

约去 $2$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.2.2.1.4.1

约去公因数。

$1 + u^{2} = \frac{9 v^{4}}{4} + 2 \frac{3 K v^{2}}{2} + K^{2}$

解题步骤 3.2.2.1.4.2

重写表达式。

$1 + u^{2} = \frac{9 v^{4}}{4} + 3 K v^{2} + K^{2}$

解题步骤 3.3

求解 $u$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.3.1

从等式两边同时减去 $1$ 。

$u^{2} = \frac{9 v^{4}}{4} + 3 K v^{2} + K^{2} - 1$

解题步骤 3.3.2

取方程两边的指定根来消去方程左边的指数。

$u = \pm \sqrt{\frac{9 v^{4}}{4} + 3 K v^{2} + K^{2} - 1}$

解题步骤 3.3.3

化简 $\pm \sqrt{\frac{9 v^{4}}{4} + 3 K v^{2} + K^{2} - 1}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.3.3.1

使用完全平方法则进行因式分解。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.3.3.1.1

将 $9 v^{4}$ 重写为 ${(3 v^{2})}^{2}$ 。

$u = \pm \sqrt{\frac{{(3 v^{2})}^{2}}{4} + 3 K v^{2} + K^{2} - 1}$

解题步骤 3.3.3.1.2

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$u = \pm \sqrt{\frac{{(3 v^{2})}^{2}}{2^{2}} + 3 K v^{2} + K^{2} - 1}$

解题步骤 3.3.3.1.3

将 $\frac{{(3 v^{2})}^{2}}{2^{2}}$ 重写为 ${(\frac{3 v^{2}}{2})}^{2}$ 。

$u = \pm \sqrt{{(\frac{3 v^{2}}{2})}^{2} + 3 K v^{2} + K^{2} - 1}$

解题步骤 3.3.3.1.4

请检查中间项是否为第一项被平方数和第三项被平方数的乘积的两倍。

$3 K v^{2} = 2 \cdot \frac{3 v^{2}}{2} \cdot K$

解题步骤 3.3.3.1.5

重写多项式。

$u = \pm \sqrt{{(\frac{3 v^{2}}{2})}^{2} + 2 \cdot \frac{3 v^{2}}{2} \cdot K + K^{2} - 1}$

解题步骤 3.3.3.1.6

使用完全平方三项式法则对 $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ 进行因式分解，其中 $a = \frac{3 v^{2}}{2}$ 和 $b = K$ 。

$u = \pm \sqrt{{(\frac{3 v^{2}}{2} + K)}^{2} - 1}$

解题步骤 3.3.3.2

将 $1$ 重写为 $1^{2}$ 。

$u = \pm \sqrt{{(\frac{3 v^{2}}{2} + K)}^{2} - 1^{2}}$

解题步骤 3.3.3.3

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = \frac{3 v^{2}}{2} + K$ 和 $b = 1$ 。

$u = \pm \sqrt{(\frac{3 v^{2}}{2} + K + 1) (\frac{3 v^{2}}{2} + K - 1)}$

解题步骤 3.3.4

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.3.4.1

首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。