微积分学示例

$y \sin^{2} (x) d y - (y d) x = 0$

解题步骤 1

在等式两边都加上 $y d x$ 。

$y \sin^{2} (x) d y = y d x$

解题步骤 2

两边同时乘以 $\frac{1}{\sin^{2} (x) y}$ 。

$\frac{1}{\sin^{2} (x) y} (y \sin^{2} (x)) d y = \frac{1}{\sin^{2} (x) y} y d x$

解题步骤 3

化简。

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解题步骤 3.1

约去 $y \sin^{2} (x)$ 的公因数。

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解题步骤 3.1.1

从 $\sin^{2} (x) y$ 中分解出因数 $y \sin^{2} (x)$ 。

$\frac{1}{y \sin^{2} (x) (1)} (y \sin^{2} (x)) d y = \frac{1}{\sin^{2} (x) y} y d x$

解题步骤 3.1.2

约去公因数。

$\frac{1}{y \sin^{2} (x) \cdot 1} (y \sin^{2} (x)) d y = \frac{1}{\sin^{2} (x) y} y d x$

解题步骤 3.1.3

重写表达式。

$1 d y = \frac{1}{\sin^{2} (x) y} y d x$

解题步骤 3.2

约去 $y$ 的公因数。

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解题步骤 3.2.1

从 $\sin^{2} (x) y$ 中分解出因数 $y$ 。

$1 d y = \frac{1}{y \sin^{2} (x)} y d x$

解题步骤 3.2.2

约去公因数。

$1 d y = \frac{1}{y \sin^{2} (x)} y d x$

解题步骤 3.2.3

重写表达式。

$1 d y = \frac{1}{\sin^{2} (x)} d x$

解题步骤 3.3

将 $1$ 重写为 $1^{2}$ 。

$1 d y = \frac{1^{2}}{\sin^{2} (x)} d x$

解题步骤 3.4

将 $\frac{1^{2}}{\sin^{2} (x)}$ 重写为 ${(\frac{1}{\sin (x)})}^{2}$ 。

$1 d y = {(\frac{1}{\sin (x)})}^{2} d x$

解题步骤 3.5

将 $\frac{1}{\sin (x)}$ 转换成 $\csc (x)$ 。

$1 d y = \csc^{2} (x) d x$

解题步骤 4

对两边积分。

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解题步骤 4.1

在两边建立积分。

$\int d y = \int \csc^{2} (x) d x$

解题步骤 4.2

应用常数不变法则。

$y + C_{1} = \int \csc^{2} (x) d x$

解题步骤 4.3

因为 $- \cot (x)$ 的导数为 $\csc^{2} (x)$ ，所以 $\csc^{2} (x)$ 的积分为 $- \cot (x)$ 。

$y + C_{1} = - \cot (x) + C_{2}$

解题步骤 4.4

将右边的积分常数分组为 $K$ 。

$y = - \cot (x) + K$

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