微积分学示例

$\frac{d y}{d x} = \frac{4 x^{3} + e^{x}}{5 y^{4}}$

解题步骤 1

分离变量。

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解题步骤 1.1

两边同时乘以 $y^{4}$ 。

$y^{4} \frac{d y}{d x} = y^{4} \frac{4 x^{3} + e^{x}}{5 y^{4}}$

解题步骤 1.2

约去 $y^{4}$ 的公因数。

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解题步骤 1.2.1

从 $5 y^{4}$ 中分解出因数 $y^{4}$ 。

$y^{4} \frac{d y}{d x} = y^{4} \frac{4 x^{3} + e^{x}}{y^{4} \cdot 5}$

解题步骤 1.2.2

约去公因数。

$y^{4} \frac{d y}{d x} = y^{4} \frac{4 x^{3} + e^{x}}{y^{4} \cdot 5}$

解题步骤 1.2.3

重写表达式。

$y^{4} \frac{d y}{d x} = \frac{4 x^{3} + e^{x}}{5}$

解题步骤 1.3

重写该方程。

$y^{4} d y = \frac{4 x^{3} + e^{x}}{5} d x$

解题步骤 2

对两边积分。

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解题步骤 2.1

在两边建立积分。

$\int y^{4} d y = \int \frac{4 x^{3} + e^{x}}{5} d x$

解题步骤 2.2

根据幂法则， $y^{4}$ 对 $y$ 的积分是 $\frac{1}{5} y^{5}$ 。

$\frac{1}{5} y^{5} + C_{1} = \int \frac{4 x^{3} + e^{x}}{5} d x$

解题步骤 2.3

对右边积分。

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解题步骤 2.3.1

由于 $\frac{1}{5}$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $\frac{1}{5}$ 移到积分外。

$\frac{1}{5} y^{5} + C_{1} = \frac{1}{5} \int 4 x^{3} + e^{x} d x$

解题步骤 2.3.2

将单个积分拆分为多个积分。

$\frac{1}{5} y^{5} + C_{1} = \frac{1}{5} (\int 4 x^{3} d x + \int e^{x} d x)$

解题步骤 2.3.3

由于 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $4$ 移到积分外。

$\frac{1}{5} y^{5} + C_{1} = \frac{1}{5} (4 \int x^{3} d x + \int e^{x} d x)$

解题步骤 2.3.4

根据幂法则， $x^{3}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{4} x^{4}$ 。

$\frac{1}{5} y^{5} + C_{1} = \frac{1}{5} (4 (\frac{1}{4} x^{4} + C_{2}) + \int e^{x} d x)$

解题步骤 2.3.5

$e^{x}$ 对 $x$ 的积分为 $e^{x}$ 。

$\frac{1}{5} y^{5} + C_{1} = \frac{1}{5} (4 (\frac{1}{4} x^{4} + C_{2}) + e^{x} + C_{3})$

解题步骤 2.3.6

化简。

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解题步骤 2.3.6.1

组合 $\frac{1}{4}$ 和 $x^{4}$ 。

$\frac{1}{5} y^{5} + C_{1} = \frac{1}{5} (4 (\frac{x^{4}}{4} + C_{2}) + e^{x} + C_{3})$

解题步骤 2.3.6.2

化简。

$\frac{1}{5} y^{5} + C_{1} = \frac{1}{5} (x^{4} + e^{x}) + C_{4}$

解题步骤 2.4

将右边的积分常数分组为 $K$ 。

$\frac{1}{5} y^{5} = \frac{1}{5} (x^{4} + e^{x}) + K$

解题步骤 3

求解 $y$ 。

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解题步骤 3.1

等式两边同时乘以 $5$ 。

$5 (\frac{1}{5} y^{5}) = 5 (\frac{1}{5} (x^{4} + e^{x}) + K)$

解题步骤 3.2

化简方程的两边。

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解题步骤 3.2.1

化简左边。

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解题步骤 3.2.1.1

化简 $5 (\frac{1}{5} y^{5})$ 。

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解题步骤 3.2.1.1.1

组合 $\frac{1}{5}$ 和 $y^{5}$ 。

$5 \frac{y^{5}}{5} = 5 (\frac{1}{5} (x^{4} + e^{x}) + K)$

解题步骤 3.2.1.1.2

约去 $5$ 的公因数。

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解题步骤 3.2.1.1.2.1

约去公因数。

$5 \frac{y^{5}}{5} = 5 (\frac{1}{5} (x^{4} + e^{x}) + K)$

解题步骤 3.2.1.1.2.2

重写表达式。

$y^{5} = 5 (\frac{1}{5} (x^{4} + e^{x}) + K)$

解题步骤 3.2.2

化简右边。

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解题步骤 3.2.2.1

化简 $5 (\frac{1}{5} (x^{4} + e^{x}) + K)$ 。

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解题步骤 3.2.2.1.1

化简每一项。

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解题步骤 3.2.2.1.1.1

运用分配律。

$y^{5} = 5 (\frac{1}{5} x^{4} + \frac{1}{5} e^{x} + K)$

解题步骤 3.2.2.1.1.2

组合 $\frac{1}{5}$ 和 $x^{4}$ 。

$y^{5} = 5 (\frac{x^{4}}{5} + \frac{1}{5} e^{x} + K)$

解题步骤 3.2.2.1.1.3

组合 $\frac{1}{5}$ 和 $e^{x}$ 。

$y^{5} = 5 (\frac{x^{4}}{5} + \frac{e^{x}}{5} + K)$

解题步骤 3.2.2.1.2

运用分配律。

$y^{5} = 5 \frac{x^{4}}{5} + 5 \frac{e^{x}}{5} + 5 K$

解题步骤 3.2.2.1.3

化简。

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解题步骤 3.2.2.1.3.1

约去 $5$ 的公因数。

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解题步骤 3.2.2.1.3.1.1

约去公因数。

$y^{5} = 5 \frac{x^{4}}{5} + 5 \frac{e^{x}}{5} + 5 K$

解题步骤 3.2.2.1.3.1.2

重写表达式。

$y^{5} = x^{4} + 5 \frac{e^{x}}{5} + 5 K$

解题步骤 3.2.2.1.3.2

约去 $5$ 的公因数。

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解题步骤 3.2.2.1.3.2.1

约去公因数。

$y^{5} = x^{4} + 5 \frac{e^{x}}{5} + 5 K$

解题步骤 3.2.2.1.3.2.2

重写表达式。

$y^{5} = x^{4} + e^{x} + 5 K$

解题步骤 3.3

取方程两边的指定根来消去方程左边的指数。

$y = \sqrt[5]{x^{4} + e^{x} + 5 K}$

解题步骤 4

化简积分常数。

$y = \sqrt[5]{x^{4} + e^{x} + K}$

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