微积分学示例

$x (y + 2) d y = (\ln (x) + 1) d x$

解题步骤 1

两边同时乘以 $\frac{1}{x}$ 。

$\frac{1}{x} (x (y + 2)) d y = \frac{1}{x} (\ln (x) + 1) d x$

解题步骤 2

化简。

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解题步骤 2.1

约去 $x$ 的公因数。

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解题步骤 2.1.1

约去公因数。

$\frac{1}{x} (x (y + 2)) d y = \frac{1}{x} (\ln (x) + 1) d x$

解题步骤 2.1.2

重写表达式。

$(y + 2) d y = \frac{1}{x} (\ln (x) + 1) d x$

解题步骤 2.2

将 $\frac{1}{x}$ 乘以 $\ln (x) + 1$ 。

$(y + 2) d y = \frac{\ln (x) + 1}{x} d x$

解题步骤 3

对两边积分。

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解题步骤 3.1

在两边建立积分。

$\int y + 2 d y = \int \frac{\ln (x) + 1}{x} d x$

解题步骤 3.2

对左边积分。

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解题步骤 3.2.1

将单个积分拆分为多个积分。

$\int y d y + \int 2 d y = \int \frac{\ln (x) + 1}{x} d x$

解题步骤 3.2.2

根据幂法则， $y$ 对 $y$ 的积分是 $\frac{1}{2} y^{2}$ 。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} + \int 2 d y = \int \frac{\ln (x) + 1}{x} d x$

解题步骤 3.2.3

应用常数不变法则。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} + 2 y + C_{2} = \int \frac{\ln (x) + 1}{x} d x$

解题步骤 3.2.4

化简。

$\frac{1}{2} y^{2} + 2 y + C_{3} = \int \frac{\ln (x) + 1}{x} d x$

解题步骤 3.3

对右边积分。

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解题步骤 3.3.1

将分数分解成多个分数。

$\frac{1}{2} y^{2} + 2 y + C_{3} = \int \frac{\ln (x)}{x} + \frac{1}{x} d x$

解题步骤 3.3.2

将单个积分拆分为多个积分。

$\frac{1}{2} y^{2} + 2 y + C_{3} = \int \frac{\ln (x)}{x} d x + \int \frac{1}{x} d x$

解题步骤 3.3.3

使 $u = \ln (x)$ 。然后使 $d u = \frac{1}{x} d x$ ，以便 $x d u = d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 3.3.3.1

设 $u = \ln (x)$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 3.3.3.1.1

对 $\ln (x)$ 求导。

$\frac{d}{d x} [\ln (x)]$

解题步骤 3.3.3.1.2

$\ln (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\frac{1}{x}$ 。

$\frac{1}{x}$

解题步骤 3.3.3.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$\frac{1}{2} y^{2} + 2 y + C_{3} = \int u d u + \int \frac{1}{x} d x$

解题步骤 3.3.4

根据幂法则， $u$ 对 $u$ 的积分是 $\frac{1}{2} u^{2}$ 。

$\frac{1}{2} y^{2} + 2 y + C_{3} = \frac{1}{2} u^{2} + C_{4} + \int \frac{1}{x} d x$

解题步骤 3.3.5

$\frac{1}{x}$ 对 $x$ 的积分为 $\ln (| x |)$ 。

$\frac{1}{2} y^{2} + 2 y + C_{3} = \frac{1}{2} u^{2} + C_{4} + \ln (| x |) + C_{5}$

解题步骤 3.3.6

化简。

$\frac{1}{2} y^{2} + 2 y + C_{3} = \frac{1}{2} u^{2} + \ln (| x |) + C_{6}$

解题步骤 3.3.7

使用 $\ln (x)$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{1}{2} y^{2} + 2 y + C_{3} = \frac{1}{2} \ln^{2} (x) + \ln (| x |) + C_{6}$

解题步骤 3.4

将右边的积分常数分组为 $C$ 。

$\frac{1}{2} y^{2} + 2 y = \frac{1}{2} \ln^{2} (x) + \ln (| x |) + C$

解题步骤 4

求解 $y$ 。

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解题步骤 4.1

化简方程中的表达式。

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解题步骤 4.1.1

化简左边。

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解题步骤 4.1.1.1

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $y^{2}$ 。

$\frac{y^{2}}{2} + 2 y = \frac{1}{2} \ln^{2} (x) + \ln (| x |) + C$

解题步骤 4.1.2

化简右边。

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解题步骤 4.1.2.1

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $\ln^{2} (x)$ 。

$\frac{y^{2}}{2} + 2 y = \frac{\ln^{2} (x)}{2} + \ln (| x |) + C$

解题步骤 4.2

将 $\frac{y^{2}}{2} + 2 y = \frac{\ln^{2} (x)}{2} + \ln (| x |) + C$ 中的每一项乘以 $2$ 以消去分数。

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解题步骤 4.2.1

将 $\frac{y^{2}}{2} + 2 y = \frac{\ln^{2} (x)}{2} + \ln (| x |) + C$ 中的每一项乘以 $2$ 。

$\frac{y^{2}}{2} \cdot 2 + 2 y \cdot 2 = \frac{\ln^{2} (x)}{2} \cdot 2 + \ln (| x |) \cdot 2 + C \cdot 2$

解题步骤 4.2.2

化简左边。

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解题步骤 4.2.2.1

化简每一项。

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解题步骤 4.2.2.1.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.2.2.1.1.1

约去公因数。

$\frac{y^{2}}{2} \cdot 2 + 2 y \cdot 2 = \frac{\ln^{2} (x)}{2} \cdot 2 + \ln (| x |) \cdot 2 + C \cdot 2$

解题步骤 4.2.2.1.1.2

重写表达式。

$y^{2} + 2 y \cdot 2 = \frac{\ln^{2} (x)}{2} \cdot 2 + \ln (| x |) \cdot 2 + C \cdot 2$

解题步骤 4.2.2.1.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$y^{2} + 4 y = \frac{\ln^{2} (x)}{2} \cdot 2 + \ln (| x |) \cdot 2 + C \cdot 2$

解题步骤 4.2.3

化简右边。

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解题步骤 4.2.3.1

化简每一项。

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解题步骤 4.2.3.1.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.2.3.1.1.1

约去公因数。

$y^{2} + 4 y = \frac{\ln^{2} (x)}{2} \cdot 2 + \ln (| x |) \cdot 2 + C \cdot 2$

解题步骤 4.2.3.1.1.2

重写表达式。

$y^{2} + 4 y = \ln^{2} (x) + \ln (| x |) \cdot 2 + C \cdot 2$

解题步骤 4.2.3.1.2

将 $2$ 移到 $\ln (| x |)$ 的左侧。

$y^{2} + 4 y = \ln^{2} (x) + 2 \cdot \ln (| x |) + C \cdot 2$

解题步骤 4.2.3.1.3

将 $2$ 移到 $C$ 的左侧。

$y^{2} + 4 y = \ln^{2} (x) + 2 \ln (| x |) + 2 C$

解题步骤 4.3

化简右边。

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解题步骤 4.3.1

化简每一项。

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解题步骤 4.3.1.1

通过将 ( RATIONALNUMBER1) 移入对数中来化简 $2 \ln (| x |)$ 。

$y^{2} + 4 y = \ln^{2} (x) + \ln ({| x |}^{2}) + 2 C$

解题步骤 4.3.1.2

去掉 ${| x |}^{2}$ 的绝对值符号，因为偶次幂的求幂结果恒为正。

$y^{2} + 4 y = \ln^{2} (x) + \ln (x^{2}) + 2 C$

解题步骤 4.4

将所有包含对数的项移到等式左边。

$- \ln (x^{2}) = - y^{2} - 4 y + \ln^{2} (x) + 2 C$

解题步骤 4.5

将方程重写为 $- y^{2} - 4 y + \ln^{2} (x) + 2 C = - \ln (x^{2})$ 。

$- y^{2} - 4 y + \ln^{2} (x) + 2 C = - \ln (x^{2})$

解题步骤 4.6

在等式两边都加上 $\ln (x^{2})$ 。

$- y^{2} - 4 y + \ln^{2} (x) + 2 C + \ln (x^{2}) = 0$

解题步骤 4.7

使用二次公式求解。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

解题步骤 4.8

将 $a = - 1$ 、 $b = - 4$ 和 $c = \ln^{2} (x) + 2 C + \ln (x^{2})$ 的值代入二次公式中并求解 $y$ 。

$\frac{4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot (- 1 \cdot (\ln^{2} (x) + 2 C + \ln (x^{2})))}}{2 \cdot - 1}$

解题步骤 4.9

化简。

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解题步骤 4.9.1

化简分子。

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解题步骤 4.9.1.1

从 ${(- 4)}^{2} - 4 \cdot - 1 \cdot (\ln^{2} (x) + 2 C + \ln (x^{2}))$ 中分解出因数 $- 4$ 。

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解题步骤 4.9.1.1.1

从 ${(- 4)}^{2}$ 中分解出因数 $- 4$ 。

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 \cdot - 4 - 4 \cdot - 1 \cdot (\ln^{2} (x) + 2 C + \ln (x^{2}))}}{2 \cdot - 1}$

解题步骤 4.9.1.1.2

从 $- 4 \cdot - 1 \cdot (\ln^{2} (x) + 2 C + \ln (x^{2}))$ 中分解出因数 $- 4$ 。

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 \cdot - 4 - 4 (- 1 \cdot (\ln^{2} (x) + 2 C + \ln (x^{2})))}}{2 \cdot - 1}$

解题步骤 4.9.1.1.3

从 $- 4 \cdot - 4 - 4 (- 1 \cdot (\ln^{2} (x) + 2 C + \ln (x^{2})))$ 中分解出因数 $- 4$ 。

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- 4 - 1 \cdot (\ln^{2} (x) + 2 C + \ln (x^{2})))}}{2 \cdot - 1}$

解题步骤 4.9.1.2

从 $- 4 - 1 \cdot (\ln^{2} (x) + 2 C + \ln (x^{2}))$ 中分解出因数 $- 1$ 。

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解题步骤 4.9.1.2.1

将 $- 4$ 和 $- 1 \cdot (\ln^{2} (x) + 2 C + \ln (x^{2}))$ 重新排序。

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- 1 (\ln^{2} (x) + 2 C + \ln (x^{2})) - 4)}}{2 \cdot - 1}$

解题步骤 4.9.1.2.2

将 $- 4$ 重写为 $- 1 (4)$ 。

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- 1 (\ln^{2} (x) + 2 C + \ln (x^{2})) - 1 \cdot 4)}}{2 \cdot - 1}$

解题步骤 4.9.1.2.3

从 $- 1 (\ln^{2} (x) + 2 C + \ln (x^{2})) - 1 (4)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- 1 (\ln^{2} (x) + 2 C + \ln (x^{2}) + 4))}}{2 \cdot - 1}$

解题步骤 4.9.1.2.4

将 $- 1 (\ln^{2} (x) + 2 C + \ln (x^{2}) + 4)$ 重写为 $- (\ln^{2} (x) + 2 C + \ln (x^{2}) + 4)$ 。

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- (\ln^{2} (x) + 2 C + \ln (x^{2}) + 4))}}{2 \cdot - 1}$

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 \cdot (- 1 (\ln^{2} (x) + 2 C + \ln (x^{2}) + 4))}}{2 \cdot - 1}$

解题步骤 4.9.1.3

合并指数。

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解题步骤 4.9.1.3.1

提取负因数。

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- (- 4 (\ln^{2} (x) + 2 C + \ln (x^{2}) + 4))}}{2 \cdot - 1}$

解题步骤 4.9.1.3.2

将 $- 4$ 乘以 $- 1$ 。

$y = \frac{4 \pm \sqrt{4 (\ln^{2} (x) + 2 C + \ln (x^{2}) + 4)}}{2 \cdot - 1}$

解题步骤 4.9.1.4

将 $4 (\ln^{2} (x) + 2 C + \ln (x^{2}) + 4)$ 重写为 $2^{2} (\ln^{2} (x) + 2 C + \ln (x^{2}) + 2^{2})$ 。

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解题步骤 4.9.1.4.1

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$y = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} (\ln^{2} (x) + 2 C + \ln (x^{2}) + 4)}}{2 \cdot - 1}$

解题步骤 4.9.1.4.2

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$y = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} (\ln^{2} (x) + 2 C + \ln (x^{2}) + 2^{2})}}{2 \cdot - 1}$

解题步骤 4.9.1.5

从根式下提出各项。

$y = \frac{4 \pm 2 \sqrt{\ln^{2} (x) + 2 C + \ln (x^{2}) + 2^{2}}}{2 \cdot - 1}$

解题步骤 4.9.1.6

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$y = \frac{4 \pm 2 \sqrt{\ln^{2} (x) + 2 C + \ln (x^{2}) + 4}}{2 \cdot - 1}$

解题步骤 4.9.2

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$y = \frac{4 \pm 2 \sqrt{\ln^{2} (x) + 2 C + \ln (x^{2}) + 4}}{- 2}$

解题步骤 4.9.3

化简 $\frac{4 \pm 2 \sqrt{\ln^{2} (x) + 2 C + \ln (x^{2}) + 4}}{- 2}$ 。

$y = \frac{2 \pm \sqrt{\ln^{2} (x) + 2 C + \ln (x^{2}) + 4}}{- 1}$

解题步骤 4.9.4

移动 $\frac{2 \pm \sqrt{\ln^{2} (x) + 2 C + \ln (x^{2}) + 4}}{- 1}$ 中分母的负号。

$y = - 1 \cdot (2 \pm \sqrt{\ln^{2} (x) + 2 C + \ln (x^{2}) + 4})$

解题步骤 4.9.5

将 $- 1 \cdot (2 \pm \sqrt{\ln^{2} (x) + 2 C + \ln (x^{2}) + 4})$ 重写为 $- (2 \pm \sqrt{\ln^{2} (x) + 2 C + \ln (x^{2}) + 4})$ 。

$y = - (2 \pm \sqrt{\ln^{2} (x) + 2 C + \ln (x^{2}) + 4})$

解题步骤 4.10

最终答案为两个解的组合。

$y = - 2 - \sqrt{\ln^{2} (x) + 2 C + \ln (x^{2}) + 4}$

$y = - 2 + \sqrt{\ln^{2} (x) + 2 C + \ln (x^{2}) + 4}$

$y = - 2 - \sqrt{\ln^{2} (x) + 2 C + \ln (x^{2}) + 4}$

$y = - 2 + \sqrt{\ln^{2} (x) + 2 C + \ln (x^{2}) + 4}$

解题步骤 5

化简积分常数。

$y = - 2 - \sqrt{\ln^{2} (x) + C + \ln (x^{2}) + 4}$

$y = - 2 + \sqrt{\ln^{2} (x) + C + \ln (x^{2}) + 4}$

微积分学 示例

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