微积分学示例

$\frac{y - 1}{- y - 1} \cdot \frac{d y}{d x} = \frac{1}{1 + x^{2}}$

解题步骤 1

重写该方程。

$\frac{y - 1}{- y - 1} d y = \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

解题步骤 2

对两边积分。

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解题步骤 2.1

在两边建立积分。

$\int \frac{y - 1}{- y - 1} d y = \int \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

解题步骤 2.2

对左边积分。

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解题步骤 2.2.1

用 $y - 1$ 除以 $- y - 1$ 。

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解题步骤 2.2.1.1

建立要用于相除的多项式。如果不是对于所有指数都有对应的项，则插入带 $0$ 值的项。

$y$

$1$

$y$

$1$

解题步骤 2.2.1.2

将被除数中的最高阶项 $y$ 除以除数中的最高阶项 $- y$ 。

				-	$1$
-	$y$	-	$1$		$y$	-	$1$

解题步骤 2.2.1.3

将新的商式项乘以除数。

				-	$1$
-	$y$	-	$1$		$y$	-	$1$
				+	$y$	+	$1$

解题步骤 2.2.1.4

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $y + 1$ 中的所有符号

				-	$1$
-	$y$	-	$1$		$y$	-	$1$
				-	$y$	-	$1$

解题步骤 2.2.1.5

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

				-	$1$
-	$y$	-	$1$		$y$	-	$1$
				-	$y$	-	$1$
						-	$2$

解题步骤 2.2.1.6

最终答案为商加上余数除以除数。

$\int - 1 - \frac{2}{- y - 1} d y = \int \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

解题步骤 2.2.2

将单个积分拆分为多个积分。

$\int - 1 d y + \int - \frac{2}{- y - 1} d y = \int \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

解题步骤 2.2.3

应用常数不变法则。

$- y + C_{1} + \int - \frac{2}{- y - 1} d y = \int \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

解题步骤 2.2.4

由于 $- 1$ 对于 $y$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$- y + C_{1} - \int \frac{2}{- y - 1} d y = \int \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

解题步骤 2.2.5

由于 $2$ 对于 $y$ 是常数，所以将 $2$ 移到积分外。

$- y + C_{1} - (2 \int \frac{1}{- y - 1} d y) = \int \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

解题步骤 2.2.6

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$- y + C_{1} - 2 \int \frac{1}{- y - 1} d y = \int \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

解题步骤 2.2.7

使 $u = - y - 1$ 。然后使 $d u = - d y$ ，以便 $- d u = d y$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 2.2.7.1

设 $u = - y - 1$ 。求 $\frac{d u}{d y}$ 。

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解题步骤 2.2.7.1.1

重写。

$\frac{- 1}{1}$

解题步骤 2.2.7.1.2

用 $- 1$ 除以 $1$ 。

$- 1$

解题步骤 2.2.7.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$- y + C_{1} - 2 \int \frac{- 1}{u} d u = \int \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

解题步骤 2.2.8

将负号移到分数的前面。

$- y + C_{1} - 2 \int - \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

解题步骤 2.2.9

由于 $- 1$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$- y + C_{1} - 2 (- \int \frac{1}{u} d u) = \int \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

解题步骤 2.2.10

将 $- 1$ 乘以 $- 2$ 。

$- y + C_{1} + 2 \int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

解题步骤 2.2.11

$\frac{1}{u}$ 对 $u$ 的积分为 $\ln (| u |)$ 。

$- y + C_{1} + 2 (\ln (| u |) + C_{2}) = \int \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

解题步骤 2.2.12

化简。

$- y + 2 \ln (| u |) + C_{3} = \int \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

解题步骤 2.2.13

使用 $- y - 1$ 替换所有出现的 $u$ 。

$- y + 2 \ln (| - y - 1 |) + C_{3} = \int \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

解题步骤 2.3

对右边积分。

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解题步骤 2.3.1

将 $1$ 重写为 $1^{2}$ 。

$- y + 2 \ln (| - y - 1 |) + C_{3} = \int \frac{1}{1^{2} + x^{2}} d x$

解题步骤 2.3.2

$\frac{1}{1^{2} + x^{2}}$ 对 $x$ 的积分为 $\arctan (x) + C_{4}$ 。

$- y + 2 \ln (| - y - 1 |) + C_{3} = \arctan (x) + C_{4}$

解题步骤 2.4

将右边的积分常数分组为 $C$ 。

$- y + 2 \ln (| - y - 1 |) = \arctan (x) + C$

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