微积分学示例

$(y^{2} + 1) d x + x^{2} y^{2} d y = 0$

解题步骤 1

以数学表达式书写该问题。

$(y^{2} + 1) d x + x^{2} y^{2} d y = 0$

解题步骤 2

从等式两边同时减去 $(y^{2} + 1) d x$ 。

$x^{2} y^{2} d y = - (y^{2} + 1) d x$

解题步骤 3

两边同时乘以 $\frac{1}{x^{2} (y^{2} + 1)}$ 。

$\frac{1}{x^{2} (y^{2} + 1)} (x^{2} y^{2}) d y = \frac{1}{x^{2} (y^{2} + 1)} (- (y^{2} + 1)) d x$

解题步骤 4

化简。

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解题步骤 4.1

约去 $x^{2}$ 的公因数。

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解题步骤 4.1.1

从 $x^{2} y^{2}$ 中分解出因数 $x^{2}$ 。

$\frac{1}{x^{2} (y^{2} + 1)} (x^{2} (y^{2})) d y = \frac{1}{x^{2} (y^{2} + 1)} (- (y^{2} + 1)) d x$

解题步骤 4.1.2

约去公因数。

$\frac{1}{x^{2} (y^{2} + 1)} (x^{2} y^{2}) d y = \frac{1}{x^{2} (y^{2} + 1)} (- (y^{2} + 1)) d x$

解题步骤 4.1.3

重写表达式。

$\frac{1}{y^{2} + 1} y^{2} d y = \frac{1}{x^{2} (y^{2} + 1)} (- (y^{2} + 1)) d x$

解题步骤 4.2

组合 $\frac{1}{y^{2} + 1}$ 和 $y^{2}$ 。

$\frac{y^{2}}{y^{2} + 1} d y = \frac{1}{x^{2} (y^{2} + 1)} (- (y^{2} + 1)) d x$

解题步骤 4.3

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{y^{2}}{y^{2} + 1} d y = - \frac{1}{x^{2} (y^{2} + 1)} (y^{2} + 1) d x$

解题步骤 4.4

约去 $y^{2} + 1$ 的公因数。

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解题步骤 4.4.1

将 $- \frac{1}{x^{2} (y^{2} + 1)}$ 中前置负号移到分子中。

$\frac{y^{2}}{y^{2} + 1} d y = \frac{- 1}{x^{2} (y^{2} + 1)} (y^{2} + 1) d x$

解题步骤 4.4.2

从 $x^{2} (y^{2} + 1)$ 中分解出因数 $y^{2} + 1$ 。

$\frac{y^{2}}{y^{2} + 1} d y = \frac{- 1}{(y^{2} + 1) x^{2}} (y^{2} + 1) d x$

解题步骤 4.4.3

约去公因数。

$\frac{y^{2}}{y^{2} + 1} d y = \frac{- 1}{(y^{2} + 1) x^{2}} (y^{2} + 1) d x$

解题步骤 4.4.4

重写表达式。

$\frac{y^{2}}{y^{2} + 1} d y = \frac{- 1}{x^{2}} d x$

解题步骤 4.5

将负号移到分数的前面。

$\frac{y^{2}}{y^{2} + 1} d y = - \frac{1}{x^{2}} d x$

解题步骤 5

对两边积分。

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解题步骤 5.1

在两边建立积分。

$\int \frac{y^{2}}{y^{2} + 1} d y = \int - \frac{1}{x^{2}} d x$

解题步骤 5.2

对左边积分。

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解题步骤 5.2.1

用 $y^{2}$ 除以 $y^{2} + 1$ 。

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解题步骤 5.2.1.1

建立要用于相除的多项式。如果不是对于所有指数都有对应的项，则插入带 $0$ 值的项。

$y^{2}$

$0 y$

$1$

$y^{2}$

$0 y$

$0$

解题步骤 5.2.1.2

将被除数中的最高阶项 $y^{2}$ 除以除数中的最高阶项 $y^{2}$ 。

							$1$
	$y^{2}$	+	$0 y$	+	$1$		$y^{2}$	+	$0 y$	+	$0$

解题步骤 5.2.1.3

将新的商式项乘以除数。

						$1$
$y^{2}$	+	$0 y$	+	$1$		$y^{2}$	+	$0 y$	+	$0$
					+	$y^{2}$	+	$0$	+	$1$

解题步骤 5.2.1.4

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $y^{2} + 0 + 1$ 中的所有符号

						$1$
$y^{2}$	+	$0 y$	+	$1$		$y^{2}$	+	$0 y$	+	$0$
					-	$y^{2}$	-	$0$	-	$1$

解题步骤 5.2.1.5

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

						$1$
$y^{2}$	+	$0 y$	+	$1$		$y^{2}$	+	$0 y$	+	$0$
					-	$y^{2}$	-	$0$	-	$1$
									-	$1$

解题步骤 5.2.1.6

最终答案为商加上余数除以除数。

$\int 1 - \frac{1}{y^{2} + 1} d y = \int - \frac{1}{x^{2}} d x$

解题步骤 5.2.2

将单个积分拆分为多个积分。

$\int d y + \int - \frac{1}{y^{2} + 1} d y = \int - \frac{1}{x^{2}} d x$

解题步骤 5.2.3

应用常数不变法则。

$y + C_{1} + \int - \frac{1}{y^{2} + 1} d y = \int - \frac{1}{x^{2}} d x$

解题步骤 5.2.4

由于 $- 1$ 对于 $y$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$y + C_{1} - \int \frac{1}{y^{2} + 1} d y = \int - \frac{1}{x^{2}} d x$

解题步骤 5.2.5

化简表达式。

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解题步骤 5.2.5.1

将 $y^{2}$ 和 $1$ 重新排序。

$y + C_{1} - \int \frac{1}{1 + y^{2}} d y = \int - \frac{1}{x^{2}} d x$

解题步骤 5.2.5.2

将 $1$ 重写为 $1^{2}$ 。

$y + C_{1} - \int \frac{1}{1^{2} + y^{2}} d y = \int - \frac{1}{x^{2}} d x$

解题步骤 5.2.6

$\frac{1}{1^{2} + y^{2}}$ 对 $y$ 的积分为 $\arctan (y) + C_{2}$ 。

$y + C_{1} - (\arctan (y) + C_{2}) = \int - \frac{1}{x^{2}} d x$

解题步骤 5.2.7

化简。

$y - \arctan (y) + C_{3} = \int - \frac{1}{x^{2}} d x$

解题步骤 5.3

对右边积分。

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解题步骤 5.3.1

由于 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$y - \arctan (y) + C_{3} = - \int \frac{1}{x^{2}} d x$

解题步骤 5.3.2

应用指数的基本规则。

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解题步骤 5.3.2.1

通过将 $x^{2}$ 乘以 $- 1$ 次幂来将其移出分母。

$y - \arctan (y) + C_{3} = - \int {(x^{2})}^{- 1} d x$

解题步骤 5.3.2.2

将 ${(x^{2})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 5.3.2.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$y - \arctan (y) + C_{3} = - \int x^{2 \cdot - 1} d x$

解题步骤 5.3.2.2.2

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$y - \arctan (y) + C_{3} = - \int x^{- 2} d x$

解题步骤 5.3.3

根据幂法则， $x^{- 2}$ 对 $x$ 的积分是 $- x^{- 1}$ 。

$y - \arctan (y) + C_{3} = - (- x^{- 1} + C_{4})$

解题步骤 5.3.4

化简答案。

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解题步骤 5.3.4.1

将 $- (- x^{- 1} + C_{4})$ 重写为 $- - \frac{1}{x} + C_{4}$ 。

$y - \arctan (y) + C_{3} = - - \frac{1}{x} + C_{4}$

解题步骤 5.3.4.2

化简。

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解题步骤 5.3.4.2.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$y - \arctan (y) + C_{3} = 1 \frac{1}{x} + C_{4}$

解题步骤 5.3.4.2.2

将 $\frac{1}{x}$ 乘以 $1$ 。

$y - \arctan (y) + C_{3} = \frac{1}{x} + C_{4}$

解题步骤 5.4

将右边的积分常数分组为 $K$ 。

$y - \arctan (y) = \frac{1}{x} + K$

微积分学 示例

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