微积分学示例

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{2 \sqrt{x}} + 7$ , $y (4) = - 5$

解题步骤 1

重写该方程。

$d y = (\frac{1}{2 \sqrt{x}} + 7) d x$

解题步骤 2

对两边积分。

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解题步骤 2.1

在两边建立积分。

$\int d y = \int \frac{1}{2 \sqrt{x}} + 7 d x$

解题步骤 2.2

应用常数不变法则。

$y + C_{1} = \int \frac{1}{2 \sqrt{x}} + 7 d x$

解题步骤 2.3

对右边积分。

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解题步骤 2.3.1

将单个积分拆分为多个积分。

$y + C_{1} = \int \frac{1}{2 \sqrt{x}} d x + \int 7 d x$

解题步骤 2.3.2

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$y + C_{1} = \frac{1}{2} \int \frac{1}{\sqrt{x}} d x + \int 7 d x$

解题步骤 2.3.3

应用指数的基本规则。

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解题步骤 2.3.3.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{x}$ 重写成 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

$y + C_{1} = \frac{1}{2} \int \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} d x + \int 7 d x$

解题步骤 2.3.3.2

通过将 $x^{\frac{1}{2}}$ 乘以 $- 1$ 次幂来将其移出分母。

$y + C_{1} = \frac{1}{2} \int {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d x + \int 7 d x$

解题步骤 2.3.3.3

将 ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 2.3.3.3.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$y + C_{1} = \frac{1}{2} \int x^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d x + \int 7 d x$

解题步骤 2.3.3.3.2

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $- 1$ 。

$y + C_{1} = \frac{1}{2} \int x^{\frac{- 1}{2}} d x + \int 7 d x$

解题步骤 2.3.3.3.3

将负号移到分数的前面。

$y + C_{1} = \frac{1}{2} \int x^{- \frac{1}{2}} d x + \int 7 d x$

解题步骤 2.3.4

根据幂法则， $x^{- \frac{1}{2}}$ 对 $x$ 的积分是 $2 x^{\frac{1}{2}}$ 。

$y + C_{1} = \frac{1}{2} (2 x^{\frac{1}{2}} + C_{2}) + \int 7 d x$

解题步骤 2.3.5

应用常数不变法则。

$y + C_{1} = \frac{1}{2} (2 x^{\frac{1}{2}} + C_{2}) + 7 x + C_{3}$

解题步骤 2.3.6

化简。

$y + C_{1} = x^{\frac{1}{2}} + 7 x + C_{4}$

解题步骤 2.3.7

重新排序项。

$y + C_{1} = 7 x + x^{\frac{1}{2}} + C_{4}$

解题步骤 2.4

将右边的积分常数分组为 $K$ 。

$y = 7 x + x^{\frac{1}{2}} + K$

解题步骤 3

使用初始条件，通过将 $4$ 代入 $x$ ，将 $- 5$ 代入 $y$ ，在 $y = 7 x + x^{\frac{1}{2}} + K$ 中求 $K$ 的值。

$- 5 = 7 \cdot 4 + 4^{\frac{1}{2}} + K$

解题步骤 4

求解 $K$ 。

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解题步骤 4.1

将方程重写为 $7 \cdot 4 + 4^{\frac{1}{2}} + K = - 5$ 。

$7 \cdot 4 + 4^{\frac{1}{2}} + K = - 5$

解题步骤 4.2

化简 $7 \cdot 4 + 4^{\frac{1}{2}} + K$ 。

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解题步骤 4.2.1

化简每一项。

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解题步骤 4.2.1.1

将 $7$ 乘以 $4$ 。

$28 + 4^{\frac{1}{2}} + K = - 5$

解题步骤 4.2.1.2

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$28 + {(2^{2})}^{\frac{1}{2}} + K = - 5$

解题步骤 4.2.1.3

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$28 + 2^{2 (\frac{1}{2})} + K = - 5$

解题步骤 4.2.1.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.2.1.4.1

约去公因数。

$28 + 2^{2 (\frac{1}{2})} + K = - 5$

解题步骤 4.2.1.4.2

重写表达式。

$28 + 2^{1} + K = - 5$

解题步骤 4.2.1.5

计算指数。

$28 + 2 + K = - 5$

解题步骤 4.2.2

将 $28$ 和 $2$ 相加。

$30 + K = - 5$

解题步骤 4.3

将所有不包含 $K$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 4.3.1

从等式两边同时减去 $30$ 。

$K = - 5 - 30$

解题步骤 4.3.2

从 $- 5$ 中减去 $30$ 。

$K = - 35$

解题步骤 5

代入 $- 35$ 替换 $y = 7 x + x^{\frac{1}{2}} + K$ 中的 $K$ 并化简。

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解题步骤 5.1

代入 $- 35$ 替换 $K$ 。

$y = 7 x + x^{\frac{1}{2}} - 35$

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