微积分学示例

$x e^{y} d y + (\frac{x^{2} + 1}{y}) d x = 0$

解题步骤 1

从等式两边同时减去 $\frac{x^{2} + 1}{y} d x$ 。

$x e^{y} d y = - \frac{x^{2} + 1}{y} d x$

解题步骤 2

两边同时乘以 $\frac{y}{x}$ 。

$\frac{y}{x} (x e^{y}) d y = \frac{y}{x} (- \frac{x^{2} + 1}{y}) d x$

解题步骤 3

化简。

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解题步骤 3.1

约去 $x$ 的公因数。

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解题步骤 3.1.1

从 $x e^{y}$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{y}{x} (x (e^{y})) d y = \frac{y}{x} (- \frac{x^{2} + 1}{y}) d x$

解题步骤 3.1.2

约去公因数。

$\frac{y}{x} (x e^{y}) d y = \frac{y}{x} (- \frac{x^{2} + 1}{y}) d x$

解题步骤 3.1.3

重写表达式。

$y e^{y} d y = \frac{y}{x} (- \frac{x^{2} + 1}{y}) d x$

解题步骤 3.2

使用乘法的交换性质重写。

$y e^{y} d y = - \frac{y}{x} \cdot \frac{x^{2} + 1}{y} d x$

解题步骤 3.3

约去 $y$ 的公因数。

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解题步骤 3.3.1

将 $- \frac{y}{x}$ 中前置负号移到分子中。

$y e^{y} d y = \frac{- y}{x} \cdot \frac{x^{2} + 1}{y} d x$

解题步骤 3.3.2

从 $- y$ 中分解出因数 $y$ 。

$y e^{y} d y = \frac{y \cdot - 1}{x} \cdot \frac{x^{2} + 1}{y} d x$

解题步骤 3.3.3

约去公因数。

$y e^{y} d y = \frac{y \cdot - 1}{x} \cdot \frac{x^{2} + 1}{y} d x$

解题步骤 3.3.4

重写表达式。

$y e^{y} d y = \frac{- 1}{x} (x^{2} + 1) d x$

解题步骤 3.4

将负号移到分数的前面。

$y e^{y} d y = - \frac{1}{x} (x^{2} + 1) d x$

解题步骤 3.5

运用分配律。

$y e^{y} d y = (- \frac{1}{x} x^{2} - \frac{1}{x} \cdot 1) d x$

解题步骤 3.6

约去 $x$ 的公因数。

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解题步骤 3.6.1

将 $- \frac{1}{x}$ 中前置负号移到分子中。

$y e^{y} d y = (\frac{- 1}{x} x^{2} - \frac{1}{x} \cdot 1) d x$

解题步骤 3.6.2

从 $x^{2}$ 中分解出因数 $x$ 。

$y e^{y} d y = (\frac{- 1}{x} (x \cdot x) - \frac{1}{x} \cdot 1) d x$

解题步骤 3.6.3

约去公因数。

$y e^{y} d y = (\frac{- 1}{x} (x \cdot x) - \frac{1}{x} \cdot 1) d x$

解题步骤 3.6.4

重写表达式。

$y e^{y} d y = (- x - \frac{1}{x} \cdot 1) d x$

解题步骤 3.7

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$y e^{y} d y = (- x - \frac{1}{x}) d x$

解题步骤 4

对两边积分。

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解题步骤 4.1

在两边建立积分。

$\int y e^{y} d y = \int - x - \frac{1}{x} d x$

解题步骤 4.2

对左边积分。

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解题步骤 4.2.1

利用公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ 来分部求积分，其中 $u = y$ ， $d v = e^{y}$ 。

$y e^{y} - \int e^{y} d y = \int - x - \frac{1}{x} d x$

解题步骤 4.2.2

$e^{y}$ 对 $y$ 的积分为 $e^{y}$ 。

$y e^{y} - (e^{y} + C_{1}) = \int - x - \frac{1}{x} d x$

解题步骤 4.2.3

化简。

$y e^{y} - e^{y} + C_{1} = \int - x - \frac{1}{x} d x$

解题步骤 4.2.4

重新排序项。

$e^{y} y - e^{y} + C_{1} = \int - x - \frac{1}{x} d x$

解题步骤 4.3

对右边积分。

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解题步骤 4.3.1

将单个积分拆分为多个积分。

$e^{y} y - e^{y} + C_{1} = \int - x d x + \int - \frac{1}{x} d x$

解题步骤 4.3.2

由于 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$e^{y} y - e^{y} + C_{1} = - \int x d x + \int - \frac{1}{x} d x$

解题步骤 4.3.3

根据幂法则， $x$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{2} x^{2}$ 。

$e^{y} y - e^{y} + C_{1} = - (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2}) + \int - \frac{1}{x} d x$

解题步骤 4.3.4

由于 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$e^{y} y - e^{y} + C_{1} = - (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2}) - \int \frac{1}{x} d x$

解题步骤 4.3.5

$\frac{1}{x}$ 对 $x$ 的积分为 $\ln (| x |)$ 。

$e^{y} y - e^{y} + C_{1} = - (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2}) - (\ln (| x |) + C_{3})$

解题步骤 4.3.6

化简。

$e^{y} y - e^{y} + C_{1} = - \frac{1}{2} x^{2} - \ln (| x |) + C_{4}$

解题步骤 4.4

将右边的积分常数分组为 $C$ 。

$e^{y} y - e^{y} = - \frac{1}{2} x^{2} - \ln (| x |) + C$

微积分学 示例

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