微积分学示例

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{\sqrt{4 x - 3}}$

解题步骤 1

重写该方程。

$d y = \frac{1}{\sqrt{4 x - 3}} d x$

解题步骤 2

对两边积分。

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解题步骤 2.1

在两边建立积分。

$\int d y = \int \frac{1}{\sqrt{4 x - 3}} d x$

解题步骤 2.2

应用常数不变法则。

$y + C_{1} = \int \frac{1}{\sqrt{4 x - 3}} d x$

解题步骤 2.3

对右边积分。

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解题步骤 2.3.1

使 $u = 4 x - 3$ 。然后使 $d u = 4 d x$ ，以便 $\frac{1}{4} d u = d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 2.3.1.1

设 $u = 4 x - 3$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 2.3.1.1.1

对 $4 x - 3$ 求导。

$\frac{d}{d x} [4 x - 3]$

解题步骤 2.3.1.1.2

根据加法法则， $4 x - 3$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ 。

$\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

解题步骤 2.3.1.1.3

计算 $\frac{d}{d x} [4 x]$ 。

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解题步骤 2.3.1.1.3.1

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4 x$ 对 $x$ 的导数是 $4 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

解题步骤 2.3.1.1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 3]$

解题步骤 2.3.1.1.3.3

将 $4$ 乘以 $1$ 。

$4 + \frac{d}{d x} [- 3]$

解题步骤 2.3.1.1.4

使用常数法则求导。

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解题步骤 2.3.1.1.4.1

因为 $- 3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 3$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$4 + 0$

解题步骤 2.3.1.1.4.2

将 $4$ 和 $0$ 相加。

$4$

解题步骤 2.3.1.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$y + C_{1} = \int \frac{1}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{4} d u$

解题步骤 2.3.2

化简。

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解题步骤 2.3.2.1

将 $\frac{1}{\sqrt{u}}$ 乘以 $\frac{1}{4}$ 。

$y + C_{1} = \int \frac{1}{\sqrt{u} \cdot 4} d u$

解题步骤 2.3.2.2

将 $4$ 移到 $\sqrt{u}$ 的左侧。

$y + C_{1} = \int \frac{1}{4 \sqrt{u}} d u$

解题步骤 2.3.3

由于 $\frac{1}{4}$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $\frac{1}{4}$ 移到积分外。

$y + C_{1} = \frac{1}{4} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

解题步骤 2.3.4

应用指数的基本规则。

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解题步骤 2.3.4.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{u}$ 重写成 $u^{\frac{1}{2}}$ 。

$y + C_{1} = \frac{1}{4} \int \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

解题步骤 2.3.4.2

通过将 $u^{\frac{1}{2}}$ 乘以 $- 1$ 次幂来将其移出分母。

$y + C_{1} = \frac{1}{4} \int {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

解题步骤 2.3.4.3

将 ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 2.3.4.3.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$y + C_{1} = \frac{1}{4} \int u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

解题步骤 2.3.4.3.2

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $- 1$ 。

$y + C_{1} = \frac{1}{4} \int u^{\frac{- 1}{2}} d u$

解题步骤 2.3.4.3.3

将负号移到分数的前面。

$y + C_{1} = \frac{1}{4} \int u^{- \frac{1}{2}} d u$

解题步骤 2.3.5

根据幂法则， $u^{- \frac{1}{2}}$ 对 $u$ 的积分是 $2 u^{\frac{1}{2}}$ 。

$y + C_{1} = \frac{1}{4} (2 u^{\frac{1}{2}} + C_{2})$

解题步骤 2.3.6

化简。

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解题步骤 2.3.6.1

将 $\frac{1}{4} (2 u^{\frac{1}{2}} + C_{2})$ 重写为 $\frac{1}{4} \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$ 。

$y + C_{1} = \frac{1}{4} \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

解题步骤 2.3.6.2

化简。

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解题步骤 2.3.6.2.1

组合 $\frac{1}{4}$ 和 $2$ 。

$y + C_{1} = \frac{2}{4} u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

解题步骤 2.3.6.2.2

约去 $2$ 和 $4$ 的公因数。

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解题步骤 2.3.6.2.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$y + C_{1} = \frac{2 (1)}{4} u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

解题步骤 2.3.6.2.2.2

约去公因数。

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解题步骤 2.3.6.2.2.2.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$y + C_{1} = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2} u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

解题步骤 2.3.6.2.2.2.2

约去公因数。

$y + C_{1} = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2} u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

解题步骤 2.3.6.2.2.2.3

重写表达式。

$y + C_{1} = \frac{1}{2} u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

解题步骤 2.3.7

使用 $4 x - 3$ 替换所有出现的 $u$ 。

$y + C_{1} = \frac{1}{2} {(4 x - 3)}^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

解题步骤 2.4

将右边的积分常数分组为 $K$ 。

$y = \frac{1}{2} {(4 x - 3)}^{\frac{1}{2}} + K$

微积分学 示例

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