微积分学示例

$\frac{d y}{d x} = x y^{\frac{1}{3}}$

解题步骤 1

分离变量。

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解题步骤 1.1

两边同时乘以 $\frac{1}{y^{\frac{1}{3}}}$ 。

$\frac{1}{y^{\frac{1}{3}}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{\frac{1}{3}}} (x y^{\frac{1}{3}})$

解题步骤 1.2

约去 $y^{\frac{1}{3}}$ 的公因数。

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解题步骤 1.2.1

从 $x y^{\frac{1}{3}}$ 中分解出因数 $y^{\frac{1}{3}}$ 。

$\frac{1}{y^{\frac{1}{3}}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{\frac{1}{3}}} (y^{\frac{1}{3}} x)$

解题步骤 1.2.2

约去公因数。

$\frac{1}{y^{\frac{1}{3}}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{\frac{1}{3}}} (y^{\frac{1}{3}} x)$

解题步骤 1.2.3

重写表达式。

$\frac{1}{y^{\frac{1}{3}}} \frac{d y}{d x} = x$

解题步骤 1.3

重写该方程。

$\frac{1}{y^{\frac{1}{3}}} d y = x d x$

解题步骤 2

对两边积分。

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解题步骤 2.1

在两边建立积分。

$\int \frac{1}{y^{\frac{1}{3}}} d y = \int x d x$

解题步骤 2.2

对左边积分。

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解题步骤 2.2.1

应用指数的基本规则。

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解题步骤 2.2.1.1

通过将 $y^{\frac{1}{3}}$ 乘以 $- 1$ 次幂来将其移出分母。

$\int {(y^{\frac{1}{3}})}^{- 1} d y = \int x d x$

解题步骤 2.2.1.2

将 ${(y^{\frac{1}{3}})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 2.2.1.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\int y^{\frac{1}{3} \cdot - 1} d y = \int x d x$

解题步骤 2.2.1.2.2

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $- 1$ 。

$\int y^{\frac{- 1}{3}} d y = \int x d x$

解题步骤 2.2.1.2.3

将负号移到分数的前面。

$\int y^{- \frac{1}{3}} d y = \int x d x$

解题步骤 2.2.2

根据幂法则， $y^{- \frac{1}{3}}$ 对 $y$ 的积分是 $\frac{3}{2} y^{\frac{2}{3}}$ 。

$\frac{3}{2} y^{\frac{2}{3}} + C_{1} = \int x d x$

解题步骤 2.3

根据幂法则， $x$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{2} x^{2}$ 。

$\frac{3}{2} y^{\frac{2}{3}} + C_{1} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{2}$

解题步骤 2.4

将右边的积分常数分组为 $K$ 。

$\frac{3}{2} y^{\frac{2}{3}} = \frac{1}{2} x^{2} + K$

解题步骤 3

求解 $y$ 。

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解题步骤 3.1

等式两边同时乘以 $\frac{2}{3}$ 。

$\frac{2}{3} (\frac{3}{2} y^{\frac{2}{3}}) = \frac{2}{3} (\frac{1}{2} x^{2} + K)$

解题步骤 3.2

化简方程的两边。

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解题步骤 3.2.1

化简左边。

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解题步骤 3.2.1.1

化简 $\frac{2}{3} (\frac{3}{2} y^{\frac{2}{3}})$ 。

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解题步骤 3.2.1.1.1

组合 $\frac{3}{2}$ 和 $y^{\frac{2}{3}}$ 。

$\frac{2}{3} \cdot \frac{3 y^{\frac{2}{3}}}{2} = \frac{2}{3} (\frac{1}{2} x^{2} + K)$

解题步骤 3.2.1.1.2

合并。

$\frac{2 (3 y^{\frac{2}{3}})}{3 \cdot 2} = \frac{2}{3} (\frac{1}{2} x^{2} + K)$

解题步骤 3.2.1.1.3

约去公因数。

$\frac{2 (3 y^{\frac{2}{3}})}{3 \cdot 2} = \frac{2}{3} (\frac{1}{2} x^{2} + K)$

解题步骤 3.2.1.1.4

重写表达式。

$\frac{3 y^{\frac{2}{3}}}{3} = \frac{2}{3} (\frac{1}{2} x^{2} + K)$

解题步骤 3.2.1.1.5

约去公因数。

$\frac{3 y^{\frac{2}{3}}}{3} = \frac{2}{3} (\frac{1}{2} x^{2} + K)$

解题步骤 3.2.1.1.6

用 $y^{\frac{2}{3}}$ 除以 $1$ 。

$y^{\frac{2}{3}} = \frac{2}{3} (\frac{1}{2} x^{2} + K)$

解题步骤 3.2.2

化简右边。

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解题步骤 3.2.2.1

化简 $\frac{2}{3} (\frac{1}{2} x^{2} + K)$ 。

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解题步骤 3.2.2.1.1

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $x^{2}$ 。

$y^{\frac{2}{3}} = \frac{2}{3} (\frac{x^{2}}{2} + K)$

解题步骤 3.2.2.1.2

运用分配律。

$y^{\frac{2}{3}} = \frac{2}{3} \cdot \frac{x^{2}}{2} + \frac{2}{3} K$

解题步骤 3.2.2.1.3

合并。

$y^{\frac{2}{3}} = \frac{2 x^{2}}{3 \cdot 2} + \frac{2}{3} K$

解题步骤 3.2.2.1.4

组合 $\frac{2}{3}$ 和 $K$ 。

$y^{\frac{2}{3}} = \frac{2 x^{2}}{3 \cdot 2} + \frac{2 K}{3}$

解题步骤 3.2.2.1.5

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.2.2.1.5.1

约去公因数。

$y^{\frac{2}{3}} = \frac{2 x^{2}}{3 \cdot 2} + \frac{2 K}{3}$

解题步骤 3.2.2.1.5.2

重写表达式。

$y^{\frac{2}{3}} = \frac{x^{2}}{3} + \frac{2 K}{3}$

解题步骤 3.3

将方程两边同时进行 $\frac{3}{2}$ 次方运算以消去左边的分数指数。

${(y^{\frac{2}{3}})}^{\frac{3}{2}} = \pm {(\frac{x^{2}}{3} + \frac{2 K}{3})}^{\frac{3}{2}}$

解题步骤 3.4

化简左边。

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解题步骤 3.4.1

化简 ${(y^{\frac{2}{3}})}^{\frac{3}{2}}$ 。

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解题步骤 3.4.1.1

将 ${(y^{\frac{2}{3}})}^{\frac{3}{2}}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 3.4.1.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$y^{\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2}} = \pm {(\frac{x^{2}}{3} + \frac{2 K}{3})}^{\frac{3}{2}}$

解题步骤 3.4.1.1.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.4.1.1.2.1

约去公因数。

$y^{\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2}} = \pm {(\frac{x^{2}}{3} + \frac{2 K}{3})}^{\frac{3}{2}}$

解题步骤 3.4.1.1.2.2

重写表达式。

$y^{\frac{1}{3} \cdot 3} = \pm {(\frac{x^{2}}{3} + \frac{2 K}{3})}^{\frac{3}{2}}$

解题步骤 3.4.1.1.3

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 3.4.1.1.3.1

约去公因数。

$y^{\frac{1}{3} \cdot 3} = \pm {(\frac{x^{2}}{3} + \frac{2 K}{3})}^{\frac{3}{2}}$

解题步骤 3.4.1.1.3.2

重写表达式。

$y^{1} = \pm {(\frac{x^{2}}{3} + \frac{2 K}{3})}^{\frac{3}{2}}$

解题步骤 3.4.1.2

化简。

$y = \pm {(\frac{x^{2}}{3} + \frac{2 K}{3})}^{\frac{3}{2}}$

解题步骤 3.5

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

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解题步骤 3.5.1

首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。

$y = {(\frac{x^{2}}{3} + \frac{2 K}{3})}^{\frac{3}{2}}$

解题步骤 3.5.2

下一步，使用 $\pm$ 的负值来求第二个解。

$y = - {(\frac{x^{2}}{3} + \frac{2 K}{3})}^{\frac{3}{2}}$

解题步骤 3.5.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$y = {(\frac{x^{2}}{3} + \frac{2 K}{3})}^{\frac{3}{2}}$

$y = - {(\frac{x^{2}}{3} + \frac{2 K}{3})}^{\frac{3}{2}}$

$y = {(\frac{x^{2}}{3} + \frac{2 K}{3})}^{\frac{3}{2}}$

$y = - {(\frac{x^{2}}{3} + \frac{2 K}{3})}^{\frac{3}{2}}$

$y = {(\frac{x^{2}}{3} + \frac{2 K}{3})}^{\frac{3}{2}}$

$y = - {(\frac{x^{2}}{3} + \frac{2 K}{3})}^{\frac{3}{2}}$

解题步骤 4

化简积分常数。

$y = {(\frac{x^{2}}{3} + K)}^{\frac{3}{2}}$

$y = - {(\frac{x^{2}}{3} + K)}^{\frac{3}{2}}$

微积分学 示例

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