微积分学示例

$\frac{d^{2} y}{d x^{2}} = - \frac{1}{x^{3}}$

解题步骤 1

两边对 $x$ 积分。

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解题步骤 1.1

一阶导数等于二阶导数对 $x$ 的积分。

$\frac{d y}{d x} = \int - \frac{1}{x^{3}} d x$

解题步骤 1.2

由于 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$\frac{d y}{d x} = - \int \frac{1}{x^{3}} d x$

解题步骤 1.3

应用指数的基本规则。

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解题步骤 1.3.1

通过将 $x^{3}$ 乘以 $- 1$ 次幂来将其移出分母。

$\frac{d y}{d x} = - \int {(x^{3})}^{- 1} d x$

解题步骤 1.3.2

将 ${(x^{3})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 1.3.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{d y}{d x} = - \int x^{3 \cdot - 1} d x$

解题步骤 1.3.2.2

将 $3$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{d y}{d x} = - \int x^{- 3} d x$

解题步骤 1.4

根据幂法则， $x^{- 3}$ 对 $x$ 的积分是 $- \frac{1}{2} x^{- 2}$ 。

$\frac{d y}{d x} = - (- \frac{1}{2} x^{- 2} + C_{1})$

解题步骤 1.5

化简答案。

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解题步骤 1.5.1

化简。

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解题步骤 1.5.1.1

组合 $x^{- 2}$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$\frac{d y}{d x} = - (- \frac{x^{- 2}}{2} + C_{1})$

解题步骤 1.5.1.2

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 $x^{- 2}$ 移动到分母。

$\frac{d y}{d x} = - (- \frac{1}{2 x^{2}} + C_{1})$

解题步骤 1.5.2

化简。

$\frac{d y}{d x} = - - \frac{1}{2 x^{2}} + C_{1}$

解题步骤 1.5.3

化简。

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解题步骤 1.5.3.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{d y}{d x} = 1 \frac{1}{2 x^{2}} + C_{1}$

解题步骤 1.5.3.2

将 $\frac{1}{2 x^{2}}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{2 x^{2}} + C_{1}$

解题步骤 2

重写该方程。

$d y = (\frac{1}{2 x^{2}} + C_{1}) d x$

解题步骤 3

对两边积分。

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解题步骤 3.1

在两边建立积分。

$\int d y = \int \frac{1}{2 x^{2}} + C_{1} d x$

解题步骤 3.2

应用常数不变法则。

$y + C_{2} = \int \frac{1}{2 x^{2}} + C_{1} d x$

解题步骤 3.3

对右边积分。

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解题步骤 3.3.1

将单个积分拆分为多个积分。

$y + C_{2} = \int \frac{1}{2 x^{2}} d x + \int C_{1} d x$

解题步骤 3.3.2

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$y + C_{2} = \frac{1}{2} \int \frac{1}{x^{2}} d x + \int C_{1} d x$

解题步骤 3.3.3

应用指数的基本规则。

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解题步骤 3.3.3.1

通过将 $x^{2}$ 乘以 $- 1$ 次幂来将其移出分母。

$y + C_{2} = \frac{1}{2} \int {(x^{2})}^{- 1} d x + \int C_{1} d x$

解题步骤 3.3.3.2

将 ${(x^{2})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 3.3.3.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$y + C_{2} = \frac{1}{2} \int x^{2 \cdot - 1} d x + \int C_{1} d x$

解题步骤 3.3.3.2.2

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$y + C_{2} = \frac{1}{2} \int x^{- 2} d x + \int C_{1} d x$

解题步骤 3.3.4

根据幂法则， $x^{- 2}$ 对 $x$ 的积分是 $- x^{- 1}$ 。

$y + C_{2} = \frac{1}{2} (- x^{- 1} + C_{3}) + \int C_{1} d x$

解题步骤 3.3.5

应用常数不变法则。

$y + C_{2} = \frac{1}{2} (- x^{- 1} + C_{3}) + C_{1} x + C_{4}$

解题步骤 3.3.6

化简。

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解题步骤 3.3.6.1

化简。

$y + C_{2} = \frac{1}{2} (- \frac{1}{x}) + C_{1} x + C_{5}$

解题步骤 3.3.6.2

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $\frac{1}{x}$ 。

$y + C_{2} = - \frac{1}{2 x} + C_{1} x + C_{5}$

解题步骤 3.3.7

重新排序项。

$y + C_{2} = C_{1} x - \frac{1}{2 x} + C_{5}$

解题步骤 3.4

将右边的积分常数分组为 $D$ 。

$y = C x - \frac{1}{2 x} + D$

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