微积分学示例

$\frac{d x}{d y} = \frac{x^{2} + 1}{2 - 2 y}$

解题步骤 1

分离变量。

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解题步骤 1.1

两边同时乘以 $\frac{1}{x^{2} + 1}$ 。

$\frac{1}{x^{2} + 1} \frac{d x}{d y} = \frac{1}{x^{2} + 1} \cdot \frac{x^{2} + 1}{2 - 2 y}$

解题步骤 1.2

化简。

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解题步骤 1.2.1

约去 $x^{2} + 1$ 的公因数。

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解题步骤 1.2.1.1

约去公因数。

$\frac{1}{x^{2} + 1} \frac{d x}{d y} = \frac{1}{x^{2} + 1} \cdot \frac{x^{2} + 1}{2 - 2 y}$

解题步骤 1.2.1.2

重写表达式。

$\frac{1}{x^{2} + 1} \frac{d x}{d y} = \frac{1}{2 - 2 y}$

解题步骤 1.2.2

从 $2 - 2 y$ 中分解出因数 $2$ 。

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解题步骤 1.2.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{1}{x^{2} + 1} \frac{d x}{d y} = \frac{1}{2 (1) - 2 y}$

解题步骤 1.2.2.2

从 $- 2 y$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{1}{x^{2} + 1} \frac{d x}{d y} = \frac{1}{2 (1) + 2 (- y)}$

解题步骤 1.2.2.3

从 $2 (1) + 2 (- y)$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{1}{x^{2} + 1} \frac{d x}{d y} = \frac{1}{2 (1 - y)}$

解题步骤 1.3

重写该方程。

$\frac{1}{x^{2} + 1} d x = \frac{1}{2 (1 - y)} d y$

解题步骤 2

对两边积分。

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解题步骤 2.1

在两边建立积分。

$\int \frac{1}{x^{2} + 1} d x = \int \frac{1}{2 (1 - y)} d y$

解题步骤 2.2

对左边积分。

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解题步骤 2.2.1

化简表达式。

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解题步骤 2.2.1.1

将 $x^{2}$ 和 $1$ 重新排序。

$\int \frac{1}{1 + x^{2}} d x = \int \frac{1}{2 (1 - y)} d y$

解题步骤 2.2.1.2

将 $1$ 重写为 $1^{2}$ 。

$\int \frac{1}{1^{2} + x^{2}} d x = \int \frac{1}{2 (1 - y)} d y$

解题步骤 2.2.2

$\frac{1}{1^{2} + x^{2}}$ 对 $x$ 的积分为 $\arctan (x) + C_{1}$ 。

$\arctan (x) + C_{1} = \int \frac{1}{2 (1 - y)} d y$

解题步骤 2.3

对右边积分。

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解题步骤 2.3.1

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $y$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$\arctan (x) + C_{1} = \frac{1}{2} \int \frac{1}{1 - y} d y$

解题步骤 2.3.2

使 $u = 1 - y$ 。然后使 $d u = - d y$ ，以便 $- d u = d y$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 2.3.2.1

设 $u = 1 - y$ 。求 $\frac{d u}{d y}$ 。

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解题步骤 2.3.2.1.1

重写。

$\frac{- 1}{1}$

解题步骤 2.3.2.1.2

用 $- 1$ 除以 $1$ 。

$- 1$

解题步骤 2.3.2.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$\arctan (x) + C_{1} = \frac{1}{2} \int \frac{- 1}{u} d u$

解题步骤 2.3.3

将负号移到分数的前面。

$\arctan (x) + C_{1} = \frac{1}{2} \int - \frac{1}{u} d u$

解题步骤 2.3.4

由于 $- 1$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$\arctan (x) + C_{1} = \frac{1}{2} (- \int \frac{1}{u} d u)$

解题步骤 2.3.5

$\frac{1}{u}$ 对 $u$ 的积分为 $\ln (| u |)$ 。

$\arctan (x) + C_{1} = \frac{1}{2} (- (\ln (| u |) + C_{2}))$

解题步骤 2.3.6

化简。

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解题步骤 2.3.6.1

化简。

$\arctan (x) + C_{1} = \frac{1}{2} (- \ln (| u |)) + C_{2}$

解题步骤 2.3.6.2

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $\ln (| u |)$ 。

$\arctan (x) + C_{1} = - \frac{\ln (| u |)}{2} + C_{2}$

解题步骤 2.3.7

使用 $1 - y$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\arctan (x) + C_{1} = - \frac{\ln (| 1 - y |)}{2} + C_{2}$

解题步骤 2.3.8

重新排序项。

$\arctan (x) + C_{1} = - \frac{1}{2} \ln (| 1 - y |) + C_{2}$

解题步骤 2.4

将右边的积分常数分组为 $C$ 。

$\arctan (x) = - \frac{1}{2} \ln (| 1 - y |) + C$

解题步骤 3

求解 $x$ 。

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解题步骤 3.1

取方程两边的反正切的逆函数来从反正切内提出 $x$ 。

$x = \tan (- \frac{1}{2} \cdot \ln (| 1 - y |) + C)$

解题步骤 3.2

化简右边。

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解题步骤 3.2.1

乘以 $- \frac{1}{2} \ln (| 1 - y |)$ 。

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解题步骤 3.2.1.1

将 $\ln (| 1 - y |)$ 和 $\frac{1}{2}$ 重新排序。

$x = \tan (- (\frac{1}{2} \ln (| 1 - y |)) + C)$

解题步骤 3.2.1.2

通过将 ( RATIONALNUMBER1) 移入对数中来化简 $\frac{1}{2} \ln (| 1 - y |)$ 。

$x = \tan (- \ln ({| 1 - y |}^{\frac{1}{2}}) + C)$

微积分学 示例

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