微积分学示例

$\frac{d y}{d x} = 8 x \sqrt{16 - y^{2}}$

解题步骤 1

分离变量。

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解题步骤 1.1

两边同时乘以 $\frac{1}{\sqrt{16 - y^{2}}}$ 。

$\frac{1}{\sqrt{16 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{\sqrt{16 - y^{2}}} (8 x \sqrt{16 - y^{2}})$

解题步骤 1.2

化简。

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解题步骤 1.2.1

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{1}{\sqrt{16 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = 8 \frac{1}{\sqrt{16 - y^{2}}} (x \sqrt{16 - y^{2}})$

解题步骤 1.2.2

化简分母。

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解题步骤 1.2.2.1

将 $16$ 重写为 $4^{2}$ 。

$\frac{1}{\sqrt{16 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = 8 \frac{1}{\sqrt{4^{2} - y^{2}}} (x \sqrt{16 - y^{2}})$

解题步骤 1.2.2.2

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = 4$ 和 $b = y$ 。

$\frac{1}{\sqrt{16 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = 8 \frac{1}{\sqrt{(4 + y) (4 - y)}} (x \sqrt{16 - y^{2}})$

解题步骤 1.2.3

将 $\frac{1}{\sqrt{(4 + y) (4 - y)}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{(4 + y) (4 - y)}}{\sqrt{(4 + y) (4 - y)}}$ 。

$\frac{1}{\sqrt{16 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = 8 (\frac{1}{\sqrt{(4 + y) (4 - y)}} \cdot \frac{\sqrt{(4 + y) (4 - y)}}{\sqrt{(4 + y) (4 - y)}}) (x \sqrt{16 - y^{2}})$

解题步骤 1.2.4

合并和化简分母。

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解题步骤 1.2.4.1

将 $\frac{1}{\sqrt{(4 + y) (4 - y)}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{(4 + y) (4 - y)}}{\sqrt{(4 + y) (4 - y)}}$ 。

$\frac{1}{\sqrt{16 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = 8 \frac{\sqrt{(4 + y) (4 - y)}}{\sqrt{(4 + y) (4 - y)} \sqrt{(4 + y) (4 - y)}} (x \sqrt{16 - y^{2}})$

解题步骤 1.2.4.2

对 $\sqrt{(4 + y) (4 - y)}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{1}{\sqrt{16 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = 8 \frac{\sqrt{(4 + y) (4 - y)}}{{\sqrt{(4 + y) (4 - y)}}^{1} \sqrt{(4 + y) (4 - y)}} (x \sqrt{16 - y^{2}})$

解题步骤 1.2.4.3

对 $\sqrt{(4 + y) (4 - y)}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{1}{\sqrt{16 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = 8 \frac{\sqrt{(4 + y) (4 - y)}}{{\sqrt{(4 + y) (4 - y)}}^{1} {\sqrt{(4 + y) (4 - y)}}^{1}} (x \sqrt{16 - y^{2}})$

解题步骤 1.2.4.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{1}{\sqrt{16 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = 8 \frac{\sqrt{(4 + y) (4 - y)}}{{\sqrt{(4 + y) (4 - y)}}^{1 + 1}} (x \sqrt{16 - y^{2}})$

解题步骤 1.2.4.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{1}{\sqrt{16 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = 8 \frac{\sqrt{(4 + y) (4 - y)}}{{\sqrt{(4 + y) (4 - y)}}^{2}} (x \sqrt{16 - y^{2}})$

解题步骤 1.2.4.6

将 ${\sqrt{(4 + y) (4 - y)}}^{2}$ 重写为 $(4 + y) (4 - y)$ 。

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解题步骤 1.2.4.6.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{(4 + y) (4 - y)}$ 重写成 ${((4 + y) (4 - y))}^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{1}{\sqrt{16 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = 8 \frac{\sqrt{(4 + y) (4 - y)}}{{({((4 + y) (4 - y))}^{\frac{1}{2}})}^{2}} (x \sqrt{16 - y^{2}})$

解题步骤 1.2.4.6.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{1}{\sqrt{16 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = 8 \frac{\sqrt{(4 + y) (4 - y)}}{{((4 + y) (4 - y))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}} (x \sqrt{16 - y^{2}})$

解题步骤 1.2.4.6.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\frac{1}{\sqrt{16 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = 8 \frac{\sqrt{(4 + y) (4 - y)}}{{((4 + y) (4 - y))}^{\frac{2}{2}}} (x \sqrt{16 - y^{2}})$

解题步骤 1.2.4.6.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 1.2.4.6.4.1

约去公因数。

$\frac{1}{\sqrt{16 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = 8 \frac{\sqrt{(4 + y) (4 - y)}}{{((4 + y) (4 - y))}^{\frac{2}{2}}} (x \sqrt{16 - y^{2}})$

解题步骤 1.2.4.6.4.2

重写表达式。

$\frac{1}{\sqrt{16 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = 8 \frac{\sqrt{(4 + y) (4 - y)}}{{((4 + y) (4 - y))}^{1}} (x \sqrt{16 - y^{2}})$

解题步骤 1.2.4.6.5

化简。

$\frac{1}{\sqrt{16 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = 8 \frac{\sqrt{(4 + y) (4 - y)}}{(4 + y) (4 - y)} (x \sqrt{16 - y^{2}})$

解题步骤 1.2.5

组合 $8$ 和 $\frac{\sqrt{(4 + y) (4 - y)}}{(4 + y) (4 - y)}$ 。

$\frac{1}{\sqrt{16 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{8 \sqrt{(4 + y) (4 - y)}}{(4 + y) (4 - y)} (x \sqrt{16 - y^{2}})$

解题步骤 1.2.6

将 $16$ 重写为 $4^{2}$ 。

$\frac{1}{\sqrt{16 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{8 \sqrt{(4 + y) (4 - y)}}{(4 + y) (4 - y)} (x \sqrt{4^{2} - y^{2}})$

解题步骤 1.2.7

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = 4$ 和 $b = y$ 。

$\frac{1}{\sqrt{16 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{8 \sqrt{(4 + y) (4 - y)}}{(4 + y) (4 - y)} (x \sqrt{(4 + y) (4 - y)})$

解题步骤 1.2.8

乘以 $\frac{8 \sqrt{(4 + y) (4 - y)}}{(4 + y) (4 - y)} (x \sqrt{(4 + y) (4 - y)})$ 。

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解题步骤 1.2.8.1

组合 $x$ 和 $\frac{8 \sqrt{(4 + y) (4 - y)}}{(4 + y) (4 - y)}$ 。

$\frac{1}{\sqrt{16 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{x (8 \sqrt{(4 + y) (4 - y)})}{(4 + y) (4 - y)} \sqrt{(4 + y) (4 - y)}$

解题步骤 1.2.8.2

组合 $\frac{x (8 \sqrt{(4 + y) (4 - y)})}{(4 + y) (4 - y)}$ 和 $\sqrt{(4 + y) (4 - y)}$ 。

$\frac{1}{\sqrt{16 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{x (8 \sqrt{(4 + y) (4 - y)}) \sqrt{(4 + y) (4 - y)}}{(4 + y) (4 - y)}$

解题步骤 1.2.8.3

对 $\sqrt{(4 + y) (4 - y)}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{1}{\sqrt{16 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{x (8 ({\sqrt{(4 + y) (4 - y)}}^{1} \sqrt{(4 + y) (4 - y)}))}{(4 + y) (4 - y)}$

解题步骤 1.2.8.4

对 $\sqrt{(4 + y) (4 - y)}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{1}{\sqrt{16 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{x (8 ({\sqrt{(4 + y) (4 - y)}}^{1} {\sqrt{(4 + y) (4 - y)}}^{1}))}{(4 + y) (4 - y)}$

解题步骤 1.2.8.5

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{1}{\sqrt{16 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{x (8 {\sqrt{(4 + y) (4 - y)}}^{1 + 1})}{(4 + y) (4 - y)}$

解题步骤 1.2.8.6

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{1}{\sqrt{16 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{x (8 {\sqrt{(4 + y) (4 - y)}}^{2})}{(4 + y) (4 - y)}$

解题步骤 1.2.9

化简分子。

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解题步骤 1.2.9.1

将 ${\sqrt{(4 + y) (4 - y)}}^{2}$ 重写为 $(4 + y) (4 - y)$ 。

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解题步骤 1.2.9.1.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{(4 + y) (4 - y)}$ 重写成 ${((4 + y) (4 - y))}^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{1}{\sqrt{16 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot 8 {({((4 + y) (4 - y))}^{\frac{1}{2}})}^{2}}{(4 + y) (4 - y)}$

解题步骤 1.2.9.1.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{1}{\sqrt{16 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot 8 {((4 + y) (4 - y))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{(4 + y) (4 - y)}$

解题步骤 1.2.9.1.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\frac{1}{\sqrt{16 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot 8 {((4 + y) (4 - y))}^{\frac{2}{2}}}{(4 + y) (4 - y)}$

解题步骤 1.2.9.1.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 1.2.9.1.4.1

约去公因数。

$\frac{1}{\sqrt{16 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot 8 {((4 + y) (4 - y))}^{\frac{2}{2}}}{(4 + y) (4 - y)}$

解题步骤 1.2.9.1.4.2

重写表达式。

$\frac{1}{\sqrt{16 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot 8 {((4 + y) (4 - y))}^{1}}{(4 + y) (4 - y)}$

解题步骤 1.2.9.1.5

化简。

$\frac{1}{\sqrt{16 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot 8 ((4 + y) (4 - y))}{(4 + y) (4 - y)}$

解题步骤 1.2.9.2

使用 FOIL 方法展开 $(4 + y) (4 - y)$ 。

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解题步骤 1.2.9.2.1

运用分配律。

$\frac{1}{\sqrt{16 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot 8 (4 (4 - y) + y (4 - y))}{(4 + y) (4 - y)}$

解题步骤 1.2.9.2.2

运用分配律。

$\frac{1}{\sqrt{16 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot 8 (4 \cdot 4 + 4 (- y) + y (4 - y))}{(4 + y) (4 - y)}$

解题步骤 1.2.9.2.3

运用分配律。

$\frac{1}{\sqrt{16 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot 8 (4 \cdot 4 + 4 (- y) + y \cdot 4 + y (- y))}{(4 + y) (4 - y)}$

解题步骤 1.2.9.3

化简并合并同类项。

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解题步骤 1.2.9.3.1

化简每一项。

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解题步骤 1.2.9.3.1.1

将 $4$ 乘以 $4$ 。

$\frac{1}{\sqrt{16 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot 8 (16 + 4 (- y) + y \cdot 4 + y (- y))}{(4 + y) (4 - y)}$

解题步骤 1.2.9.3.1.2

将 $- 1$ 乘以 $4$ 。

$\frac{1}{\sqrt{16 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot 8 (16 - 4 y + y \cdot 4 + y (- y))}{(4 + y) (4 - y)}$

解题步骤 1.2.9.3.1.3

将 $4$ 移到 $y$ 的左侧。

$\frac{1}{\sqrt{16 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot 8 (16 - 4 y + 4 \cdot y + y (- y))}{(4 + y) (4 - y)}$

解题步骤 1.2.9.3.1.4

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{1}{\sqrt{16 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot 8 (16 - 4 y + 4 y - y \cdot y)}{(4 + y) (4 - y)}$

解题步骤 1.2.9.3.1.5

通过指数相加将 $y$ 乘以 $y$ 。

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解题步骤 1.2.9.3.1.5.1

移动 $y$ 。

$\frac{1}{\sqrt{16 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot 8 (16 - 4 y + 4 y - (y \cdot y))}{(4 + y) (4 - y)}$

解题步骤 1.2.9.3.1.5.2

将 $y$ 乘以 $y$ 。

$\frac{1}{\sqrt{16 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot 8 (16 - 4 y + 4 y - y^{2})}{(4 + y) (4 - y)}$

解题步骤 1.2.9.3.2

将 $- 4 y$ 和 $4 y$ 相加。

$\frac{1}{\sqrt{16 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot 8 (16 + 0 - y^{2})}{(4 + y) (4 - y)}$

解题步骤 1.2.9.3.3

将 $16$ 和 $0$ 相加。

$\frac{1}{\sqrt{16 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot 8 (16 - y^{2})}{(4 + y) (4 - y)}$

解题步骤 1.2.9.4

将 $16$ 重写为 $4^{2}$ 。

$\frac{1}{\sqrt{16 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot 8 (4^{2} - y^{2})}{(4 + y) (4 - y)}$

解题步骤 1.2.9.5

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = 4$ 和 $b = y$ 。

$\frac{1}{\sqrt{16 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot 8 (4 + y) (4 - y)}{(4 + y) (4 - y)}$

解题步骤 1.2.10

约去 $4 + y$ 的公因数。

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解题步骤 1.2.10.1

约去公因数。

$\frac{1}{\sqrt{16 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot 8 (4 + y) (4 - y)}{(4 + y) (4 - y)}$

解题步骤 1.2.10.2

重写表达式。

$\frac{1}{\sqrt{16 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot 8 (4 - y)}{4 - y}$

解题步骤 1.2.11

约去 $4 - y$ 的公因数。

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解题步骤 1.2.11.1

约去公因数。

$\frac{1}{\sqrt{16 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot 8 (4 - y)}{4 - y}$

解题步骤 1.2.11.2

用 $x \cdot 8$ 除以 $1$ 。

$\frac{1}{\sqrt{16 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = x \cdot 8$

解题步骤 1.2.12

将 $8$ 移到 $x$ 的左侧。

$\frac{1}{\sqrt{16 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = 8 x$

解题步骤 1.3

重写该方程。

$\frac{1}{\sqrt{16 - y^{2}}} d y = 8 x d x$

解题步骤 2

对两边积分。

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解题步骤 2.1

在两边建立积分。

$\int \frac{1}{\sqrt{16 - y^{2}}} d y = \int 8 x d x$

解题步骤 2.2

对左边积分。

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解题步骤 2.2.1

将 $16$ 重写为 $4^{2}$ 。

$\int \frac{1}{\sqrt{4^{2} - y^{2}}} d y = \int 8 x d x$

解题步骤 2.2.2

$\frac{1}{\sqrt{4^{2} - y^{2}}}$ 对 $y$ 的积分为 $\arcsin (\frac{y}{4})$

$\arcsin (\frac{y}{4}) + C_{1} = \int 8 x d x$

解题步骤 2.2.3

将 $\arcsin (\frac{y}{4}) + C_{1}$ 重写为 $\arcsin (\frac{1}{4} y) + C_{1}$ 。

$\arcsin (\frac{1}{4} y) + C_{1} = \int 8 x d x$

解题步骤 2.3

对右边积分。

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解题步骤 2.3.1

由于 $8$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $8$ 移到积分外。

$\arcsin (\frac{1}{4} y) + C_{1} = 8 \int x d x$

解题步骤 2.3.2

根据幂法则， $x$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{2} x^{2}$ 。

$\arcsin (\frac{1}{4} y) + C_{1} = 8 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2})$

解题步骤 2.3.3

化简答案。

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解题步骤 2.3.3.1

将 $8 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2})$ 重写为 $8 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{2}$ 。

$\arcsin (\frac{1}{4} y) + C_{1} = 8 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{2}$

解题步骤 2.3.3.2

化简。

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解题步骤 2.3.3.2.1

组合 $8$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$\arcsin (\frac{1}{4} y) + C_{1} = \frac{8}{2} x^{2} + C_{2}$

解题步骤 2.3.3.2.2

约去 $8$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.3.3.2.2.1

从 $8$ 中分解出因数 $2$ 。

$\arcsin (\frac{1}{4} y) + C_{1} = \frac{2 \cdot 4}{2} x^{2} + C_{2}$

解题步骤 2.3.3.2.2.2

约去公因数。

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解题步骤 2.3.3.2.2.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$\arcsin (\frac{1}{4} y) + C_{1} = \frac{2 \cdot 4}{2 (1)} x^{2} + C_{2}$

解题步骤 2.3.3.2.2.2.2

约去公因数。

$\arcsin (\frac{1}{4} y) + C_{1} = \frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 1} x^{2} + C_{2}$

解题步骤 2.3.3.2.2.2.3

重写表达式。

$\arcsin (\frac{1}{4} y) + C_{1} = \frac{4}{1} x^{2} + C_{2}$

解题步骤 2.3.3.2.2.2.4

用 $4$ 除以 $1$ 。

$\arcsin (\frac{1}{4} y) + C_{1} = 4 x^{2} + C_{2}$

解题步骤 2.4

将右边的积分常数分组为 $K$ 。

$\arcsin (\frac{1}{4} y) = 4 x^{2} + K$

解题步骤 3

求解 $y$ 。

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解题步骤 3.1

取方程两边的反正弦逆函数以提取反正弦内的 $y$ 。

$\frac{1}{4} y = \sin (4 x^{2} + K)$

解题步骤 3.2

化简左边。

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解题步骤 3.2.1

组合 $\frac{1}{4}$ 和 $y$ 。

$\frac{y}{4} = \sin (4 x^{2} + K)$

解题步骤 3.3

等式两边同时乘以 $4$ 。

$4 \frac{y}{4} = 4 \sin (4 x^{2} + K)$

解题步骤 3.4

化简左边。

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解题步骤 3.4.1

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 3.4.1.1

约去公因数。

$4 \frac{y}{4} = 4 \sin (4 x^{2} + K)$

解题步骤 3.4.1.2

重写表达式。

$y = 4 \sin (4 x^{2} + K)$

微积分学 示例

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