微积分学示例

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{3} - 21 x}{5 + 4 x - x^{2}} x^{3}$

解题步骤 1

重写该方程。

$d y = \frac{x^{3} - 21 x}{5 + 4 x - x^{2}} x^{3} d x$

解题步骤 2

对两边积分。

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解题步骤 2.1

在两边建立积分。

$\int d y = \int \frac{x^{3} - 21 x}{5 + 4 x - x^{2}} x^{3} d x$

解题步骤 2.2

应用常数不变法则。

$y + C_{1} = \int \frac{x^{3} - 21 x}{5 + 4 x - x^{2}} x^{3} d x$

解题步骤 2.3

对右边积分。

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解题步骤 2.3.1

组合 $\frac{x^{3} - 21 x}{5 + 4 x - x^{2}}$ 和 $x^{3}$ 。

$y + C_{1} = \int \frac{(x^{3} - 21 x) x^{3}}{5 + 4 x - x^{2}} d x$

解题步骤 2.3.2

运用分配律。

$y + C_{1} = \int \frac{x^{3} x^{3} - 21 x \cdot x^{3}}{5 + 4 x - x^{2}} d x$

解题步骤 2.3.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$y + C_{1} = \int \frac{x^{3 + 3} - 21 x \cdot x^{3}}{5 + 4 x - x^{2}} d x$

解题步骤 2.3.4

将 $3$ 和 $3$ 相加。

$y + C_{1} = \int \frac{x^{6} - 21 x \cdot x^{3}}{5 + 4 x - x^{2}} d x$

解题步骤 2.3.5

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$y + C_{1} = \int \frac{x^{6} - 21 (x^{1} x^{3})}{5 + 4 x - x^{2}} d x$

解题步骤 2.3.6

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$y + C_{1} = \int \frac{x^{6} - 21 x^{1 + 3}}{5 + 4 x - x^{2}} d x$

解题步骤 2.3.7

将 $1$ 和 $3$ 相加。

$y + C_{1} = \int \frac{x^{6} - 21 x^{4}}{5 + 4 x - x^{2}} d x$

解题步骤 2.3.8

将 $5$ 和 $4 x$ 重新排序。

$y + C_{1} = \int \frac{x^{6} - 21 x^{4}}{4 x + 5 - x^{2}} d x$

解题步骤 2.3.9

移动 $5$ 。

$y + C_{1} = \int \frac{x^{6} - 21 x^{4}}{4 x - x^{2} + 5} d x$

解题步骤 2.3.10

将 $4 x$ 和 $- x^{2}$ 重新排序。

$y + C_{1} = \int \frac{x^{6} - 21 x^{4}}{- x^{2} + 4 x + 5} d x$

解题步骤 2.3.11

用 $x^{6} - 21 x^{4}$ 除以 $- x^{2} + 4 x + 5$ 。

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解题步骤 2.3.11.1

建立要用于相除的多项式。如果不是对于所有指数都有对应的项，则插入带 $0$ 值的项。

$x^{2}$

$4 x$

$5$

$x^{6}$

$0 x^{5}$

$21 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

解题步骤 2.3.11.2

将被除数中的最高阶项 $x^{6}$ 除以除数中的最高阶项 $- x^{2}$ 。

$x^{4}$

$x^{2}$

$4 x$

$5$

$x^{6}$

$0 x^{5}$

$21 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

解题步骤 2.3.11.3

将新的商式项乘以除数。

$x^{4}$

$x^{2}$

$4 x$

$5$

$x^{6}$

$0 x^{5}$

$21 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{6}$

$4 x^{5}$

$5 x^{4}$

解题步骤 2.3.11.4

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $x^{6} - 4 x^{5} - 5 x^{4}$ 中的所有符号

$x^{4}$

$x^{2}$

$4 x$

$5$

$x^{6}$

$0 x^{5}$

$21 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{6}$

$4 x^{5}$

$5 x^{4}$

解题步骤 2.3.11.5

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

$x^{4}$

$x^{2}$

$4 x$

$5$

$x^{6}$

$0 x^{5}$

$21 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{6}$

$4 x^{5}$

$5 x^{4}$

$4 x^{5}$

$16 x^{4}$

解题步骤 2.3.11.6

从原来的被除数向下提取下一项到当前被除数中。

$x^{4}$

$x^{2}$

$4 x$

$5$

$x^{6}$

$0 x^{5}$

$21 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{6}$

$4 x^{5}$

$5 x^{4}$

$4 x^{5}$

$16 x^{4}$

$0 x^{3}$

解题步骤 2.3.11.7

将被除数中的最高阶项 $4 x^{5}$ 除以除数中的最高阶项 $- x^{2}$ 。

$x^{4}$

$4 x^{3}$

$x^{2}$

$4 x$

$5$

$x^{6}$

$0 x^{5}$

$21 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{6}$

$4 x^{5}$

$5 x^{4}$

$4 x^{5}$

$16 x^{4}$

$0 x^{3}$

解题步骤 2.3.11.8

将新的商式项乘以除数。

$x^{4}$

$4 x^{3}$

$x^{2}$

$4 x$

$5$

$x^{6}$

$0 x^{5}$

$21 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{6}$

$4 x^{5}$

$5 x^{4}$

$4 x^{5}$

$16 x^{4}$

$0 x^{3}$

$4 x^{5}$

$16 x^{4}$

$20 x^{3}$

解题步骤 2.3.11.9

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $4 x^{5} - 16 x^{4} - 20 x^{3}$ 中的所有符号

$x^{4}$

$4 x^{3}$

$x^{2}$

$4 x$

$5$

$x^{6}$

$0 x^{5}$

$21 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{6}$

$4 x^{5}$

$5 x^{4}$

$4 x^{5}$

$16 x^{4}$

$0 x^{3}$

$4 x^{5}$

$16 x^{4}$

$20 x^{3}$

解题步骤 2.3.11.10

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

$x^{4}$

$4 x^{3}$

$x^{2}$

$4 x$

$5$

$x^{6}$

$0 x^{5}$

$21 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{6}$

$4 x^{5}$

$5 x^{4}$

$4 x^{5}$

$16 x^{4}$

$0 x^{3}$

$4 x^{5}$

$16 x^{4}$

$20 x^{3}$

解题步骤 2.3.11.11

从原来的被除数向下提取下一项到当前被除数中

$x^{4}$

$4 x^{3}$

$x^{2}$

$4 x$

$5$

$x^{6}$

$0 x^{5}$

$21 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{6}$

$4 x^{5}$

$5 x^{4}$

$4 x^{5}$

$16 x^{4}$

$0 x^{3}$

$4 x^{5}$

$16 x^{4}$

$20 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

解题步骤 2.3.11.12

将被除数中的最高阶项 $20 x^{3}$ 除以除数中的最高阶项 $- x^{2}$ 。

$x^{4}$

$4 x^{3}$

$0 x^{2}$

$20 x$

$x^{2}$

$4 x$

$5$

$x^{6}$

$0 x^{5}$

$21 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{6}$

$4 x^{5}$

$5 x^{4}$

$4 x^{5}$

$16 x^{4}$

$0 x^{3}$

$4 x^{5}$

$16 x^{4}$

$20 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

解题步骤 2.3.11.13

将新的商式项乘以除数。

$x^{4}$

$4 x^{3}$

$0 x^{2}$

$20 x$

$x^{2}$

$4 x$

$5$

$x^{6}$

$0 x^{5}$

$21 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{6}$

$4 x^{5}$

$5 x^{4}$

$4 x^{5}$

$16 x^{4}$

$0 x^{3}$

$4 x^{5}$

$16 x^{4}$

$20 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$20 x^{3}$

$80 x^{2}$

$100 x$

解题步骤 2.3.11.14

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $20 x^{3} - 80 x^{2} - 100 x$ 中的所有符号

$x^{4}$

$4 x^{3}$

$0 x^{2}$

$20 x$

$x^{2}$

$4 x$

$5$

$x^{6}$

$0 x^{5}$

$21 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{6}$

$4 x^{5}$

$5 x^{4}$

$4 x^{5}$

$16 x^{4}$

$0 x^{3}$

$4 x^{5}$

$16 x^{4}$

$20 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$20 x^{3}$

$80 x^{2}$

$100 x$

解题步骤 2.3.11.15

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

$x^{4}$

$4 x^{3}$

$0 x^{2}$

$20 x$

$x^{2}$

$4 x$

$5$

$x^{6}$

$0 x^{5}$

$21 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{6}$

$4 x^{5}$

$5 x^{4}$

$4 x^{5}$

$16 x^{4}$

$0 x^{3}$

$4 x^{5}$

$16 x^{4}$

$20 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$20 x^{3}$

$80 x^{2}$

$100 x$

$80 x^{2}$

$100 x$

解题步骤 2.3.11.16

从原来的被除数向下提取下一项到当前被除数中。

$x^{4}$

$4 x^{3}$

$0 x^{2}$

$20 x$

$x^{2}$

$4 x$

$5$

$x^{6}$

$0 x^{5}$

$21 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{6}$

$4 x^{5}$

$5 x^{4}$

$4 x^{5}$

$16 x^{4}$

$0 x^{3}$

$4 x^{5}$

$16 x^{4}$

$20 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$20 x^{3}$

$80 x^{2}$

$100 x$

$80 x^{2}$

$100 x$

$0$

解题步骤 2.3.11.17

将被除数中的最高阶项 $80 x^{2}$ 除以除数中的最高阶项 $- x^{2}$ 。

$x^{4}$

$4 x^{3}$

$0 x^{2}$

$20 x$

$80$

$x^{2}$

$4 x$

$5$

$x^{6}$

$0 x^{5}$

$21 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{6}$

$4 x^{5}$

$5 x^{4}$

$4 x^{5}$

$16 x^{4}$

$0 x^{3}$

$4 x^{5}$

$16 x^{4}$

$20 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$20 x^{3}$

$80 x^{2}$

$100 x$

$80 x^{2}$

$100 x$

$0$

解题步骤 2.3.11.18

将新的商式项乘以除数。

$x^{4}$

$4 x^{3}$

$0 x^{2}$

$20 x$

$80$

$x^{2}$

$4 x$

$5$

$x^{6}$

$0 x^{5}$

$21 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{6}$

$4 x^{5}$

$5 x^{4}$

$4 x^{5}$

$16 x^{4}$

$0 x^{3}$

$4 x^{5}$

$16 x^{4}$

$20 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$20 x^{3}$

$80 x^{2}$

$100 x$

$80 x^{2}$

$100 x$

$0$

$80 x^{2}$

$320 x$

$400$

解题步骤 2.3.11.19

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $80 x^{2} - 320 x - 400$ 中的所有符号

$x^{4}$

$4 x^{3}$

$0 x^{2}$

$20 x$

$80$

$x^{2}$

$4 x$

$5$

$x^{6}$

$0 x^{5}$

$21 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{6}$

$4 x^{5}$

$5 x^{4}$

$4 x^{5}$

$16 x^{4}$

$0 x^{3}$

$4 x^{5}$

$16 x^{4}$

$20 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$20 x^{3}$

$80 x^{2}$

$100 x$

$80 x^{2}$

$100 x$

$0$

$80 x^{2}$

$320 x$

$400$

解题步骤 2.3.11.20

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

$x^{4}$

$4 x^{3}$

$0 x^{2}$

$20 x$

$80$

$x^{2}$

$4 x$

$5$

$x^{6}$

$0 x^{5}$

$21 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{6}$

$4 x^{5}$

$5 x^{4}$

$4 x^{5}$

$16 x^{4}$

$0 x^{3}$

$4 x^{5}$

$16 x^{4}$

$20 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$20 x^{3}$

$80 x^{2}$

$100 x$

$80 x^{2}$

$100 x$

$0$

$80 x^{2}$

$320 x$

$400$

$420 x$

$400$

解题步骤 2.3.11.21

最终答案为商加上余数除以除数。

$y + C_{1} = \int - x^{4} - 4 x^{3} - 20 x - 80 + \frac{420 x + 400}{- x^{2} + 4 x + 5} d x$

解题步骤 2.3.12

将单个积分拆分为多个积分。

$y + C_{1} = \int - x^{4} d x + \int - 4 x^{3} d x + \int - 20 x d x + \int - 80 d x + \int \frac{420 x + 400}{- x^{2} + 4 x + 5} d x$

解题步骤 2.3.13

由于 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$y + C_{1} = - \int x^{4} d x + \int - 4 x^{3} d x + \int - 20 x d x + \int - 80 d x + \int \frac{420 x + 400}{- x^{2} + 4 x + 5} d x$

解题步骤 2.3.14

根据幂法则， $x^{4}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{5} x^{5}$ 。

$y + C_{1} = - (\frac{1}{5} x^{5} + C_{2}) + \int - 4 x^{3} d x + \int - 20 x d x + \int - 80 d x + \int \frac{420 x + 400}{- x^{2} + 4 x + 5} d x$

解题步骤 2.3.15

由于 $- 4$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 4$ 移到积分外。

$y + C_{1} = - (\frac{1}{5} x^{5} + C_{2}) - 4 \int x^{3} d x + \int - 20 x d x + \int - 80 d x + \int \frac{420 x + 400}{- x^{2} + 4 x + 5} d x$

解题步骤 2.3.16

根据幂法则， $x^{3}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{4} x^{4}$ 。

$y + C_{1} = - (\frac{1}{5} x^{5} + C_{2}) - 4 (\frac{1}{4} x^{4} + C_{3}) + \int - 20 x d x + \int - 80 d x + \int \frac{420 x + 400}{- x^{2} + 4 x + 5} d x$

解题步骤 2.3.17

由于 $- 20$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 20$ 移到积分外。

$y + C_{1} = - (\frac{1}{5} x^{5} + C_{2}) - 4 (\frac{1}{4} x^{4} + C_{3}) - 20 \int x d x + \int - 80 d x + \int \frac{420 x + 400}{- x^{2} + 4 x + 5} d x$

解题步骤 2.3.18

根据幂法则， $x$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{2} x^{2}$ 。

$y + C_{1} = - (\frac{1}{5} x^{5} + C_{2}) - 4 (\frac{1}{4} x^{4} + C_{3}) - 20 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{4}) + \int - 80 d x + \int \frac{420 x + 400}{- x^{2} + 4 x + 5} d x$

解题步骤 2.3.19

应用常数不变法则。

$y + C_{1} = - (\frac{1}{5} x^{5} + C_{2}) - 4 (\frac{1}{4} x^{4} + C_{3}) - 20 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{4}) - 80 x + C_{5} + \int \frac{420 x + 400}{- x^{2} + 4 x + 5} d x$

解题步骤 2.3.20

化简。

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解题步骤 2.3.20.1

组合 $\frac{1}{5}$ 和 $x^{5}$ 。

$y + C_{1} = - (\frac{x^{5}}{5} + C_{2}) - 4 (\frac{1}{4} x^{4} + C_{3}) - 20 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{4}) - 80 x + C_{5} + \int \frac{420 x + 400}{- x^{2} + 4 x + 5} d x$

解题步骤 2.3.20.2

组合 $\frac{1}{4}$ 和 $x^{4}$ 。

$y + C_{1} = - (\frac{x^{5}}{5} + C_{2}) - 4 (\frac{x^{4}}{4} + C_{3}) - 20 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{4}) - 80 x + C_{5} + \int \frac{420 x + 400}{- x^{2} + 4 x + 5} d x$

解题步骤 2.3.21

用部分分式分解写出分数。

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解题步骤 2.3.21.1

分解分数并乘以公分母。

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解题步骤 2.3.21.1.1

对分数进行因式分解。

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解题步骤 2.3.21.1.1.1

从 $420 x + 400$ 中分解出因数 $20$ 。

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解题步骤 2.3.21.1.1.1.1

从 $420 x$ 中分解出因数 $20$ 。

$\frac{20 (21 x) + 400}{- x^{2} + 4 x + 5}$

解题步骤 2.3.21.1.1.1.2

从 $400$ 中分解出因数 $20$ 。

$\frac{20 (21 x) + 20 (20)}{- x^{2} + 4 x + 5}$

解题步骤 2.3.21.1.1.1.3

从 $20 (21 x) + 20 (20)$ 中分解出因数 $20$ 。

$\frac{20 (21 x + 20)}{- x^{2} + 4 x + 5}$

解题步骤 2.3.21.1.1.2

分组因式分解。

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解题步骤 2.3.21.1.1.2.1

对于 $a x^{2} + b x + c$ 形式的多项式，将其中间项重写为两项之和，这两项的乘积为 $a \cdot c = - 1 \cdot 5 = - 5$ 并且它们的和为 $b = 4$ 。

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解题步骤 2.3.21.1.1.2.1.1

从 $4 x$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{20 (21 x + 20)}{- x^{2} + 4 (x) + 5}$

解题步骤 2.3.21.1.1.2.1.2

把 $4$ 重写为 $- 1$ 加 $5$

$\frac{20 (21 x + 20)}{- x^{2} + (- 1 + 5) x + 5}$

解题步骤 2.3.21.1.1.2.1.3

运用分配律。

$\frac{20 (21 x + 20)}{- x^{2} - 1 x + 5 x + 5}$

解题步骤 2.3.21.1.1.2.2

从每组中因式分解出最大公因数。

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解题步骤 2.3.21.1.1.2.2.1

将首两项和最后两项分成两组。

$\frac{20 (21 x + 20)}{(- x^{2} - 1 x) + 5 x + 5}$

解题步骤 2.3.21.1.1.2.2.2

从每组中因式分解出最大公因数 (GCF)。

$\frac{20 (21 x + 20)}{x (- x - 1) - 5 (- x - 1)}$

解题步骤 2.3.21.1.1.2.3

通过因式分解出最大公因数 $- x - 1$ 来因式分解多项式。

$\frac{20 (21 x + 20)}{(- x - 1) (x - 5)}$

解题步骤 2.3.21.1.2

对于分母中的每一个因式，使用该因式为分母、未知值为分子来创建一个新的分数。由于分母中的因式是线性的，在它的位置 $A$ 上放置单个变量。

$\frac{A}{- x - 1}$

解题步骤 2.3.21.1.3

对于分母中的每一个因式，使用该因式为分母、未知值为分子来创建一个新的分数。由于分母中的因式是线性的，在它的位置 $B$ 上放置单个变量。

$\frac{A}{- x - 1} + \frac{B}{x - 5}$

解题步骤 2.3.21.1.4

将方程中的每个分数乘以原表达式中的分母。在本例中，分母为 $(- x - 1) (x - 5)$ 。

$\frac{20 (21 x + 20) (- x - 1) (x - 5)}{(- x - 1) (x - 5)} = \frac{(A) (- x - 1) (x - 5)}{- x - 1} + \frac{(B) (- x - 1) (x - 5)}{x - 5}$

解题步骤 2.3.21.1.5

约去 $- x - 1$ 的公因数。

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解题步骤 2.3.21.1.5.1

约去公因数。

$\frac{20 (21 x + 20) (- x - 1) (x - 5)}{(- x - 1) (x - 5)} = \frac{(A) (- x - 1) (x - 5)}{- x - 1} + \frac{(B) (- x - 1) (x - 5)}{x - 5}$

解题步骤 2.3.21.1.5.2

重写表达式。

$\frac{20 (21 x + 20) (x - 5)}{x - 5} = \frac{(A) (- x - 1) (x - 5)}{- x - 1} + \frac{(B) (- x - 1) (x - 5)}{x - 5}$

解题步骤 2.3.21.1.6

约去 $x - 5$ 的公因数。

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解题步骤 2.3.21.1.6.1

约去公因数。

$\frac{20 (21 x + 20) (x - 5)}{x - 5} = \frac{(A) (- x - 1) (x - 5)}{- x - 1} + \frac{(B) (- x - 1) (x - 5)}{x - 5}$

解题步骤 2.3.21.1.6.2

用 $20 (21 x + 20)$ 除以 $1$ 。

$20 (21 x + 20) = \frac{(A) (- x - 1) (x - 5)}{- x - 1} + \frac{(B) (- x - 1) (x - 5)}{x - 5}$

解题步骤 2.3.21.1.7

运用分配律。

$20 (21 x) + 20 \cdot 20 = \frac{(A) (- x - 1) (x - 5)}{- x - 1} + \frac{(B) (- x - 1) (x - 5)}{x - 5}$

解题步骤 2.3.21.1.8

乘。

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解题步骤 2.3.21.1.8.1

将 $21$ 乘以 $20$ 。

$420 x + 20 \cdot 20 = \frac{(A) (- x - 1) (x - 5)}{- x - 1} + \frac{(B) (- x - 1) (x - 5)}{x - 5}$

解题步骤 2.3.21.1.8.2

将 $20$ 乘以 $20$ 。

$420 x + 400 = \frac{(A) (- x - 1) (x - 5)}{- x - 1} + \frac{(B) (- x - 1) (x - 5)}{x - 5}$

解题步骤 2.3.21.1.9

化简每一项。

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解题步骤 2.3.21.1.9.1

约去 $- x - 1$ 的公因数。

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解题步骤 2.3.21.1.9.1.1

约去公因数。

$420 x + 400 = \frac{A (- x - 1) (x - 5)}{- x - 1} + \frac{(B) (- x - 1) (x - 5)}{x - 5}$

解题步骤 2.3.21.1.9.1.2

用 $(A) (x - 5)$ 除以 $1$ 。

$420 x + 400 = (A) (x - 5) + \frac{(B) (- x - 1) (x - 5)}{x - 5}$

解题步骤 2.3.21.1.9.2

运用分配律。

$420 x + 400 = A x + A \cdot - 5 + \frac{(B) (- x - 1) (x - 5)}{x - 5}$

解题步骤 2.3.21.1.9.3

将 $- 5$ 移到 $A$ 的左侧。

$420 x + 400 = A x - 5 \cdot A + \frac{(B) (- x - 1) (x - 5)}{x - 5}$

解题步骤 2.3.21.1.9.4

约去 $x - 5$ 的公因数。

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解题步骤 2.3.21.1.9.4.1

约去公因数。

$420 x + 400 = A x - 5 A + \frac{(B) (- x - 1) (x - 5)}{x - 5}$

解题步骤 2.3.21.1.9.4.2

用 $(B) (- x - 1)$ 除以 $1$ 。

$420 x + 400 = A x - 5 A + (B) (- x - 1)$

解题步骤 2.3.21.1.9.5

运用分配律。

$420 x + 400 = A x - 5 A + B (- x) + B \cdot - 1$

解题步骤 2.3.21.1.9.6

使用乘法的交换性质重写。

$420 x + 400 = A x - 5 A - B x + B \cdot - 1$

解题步骤 2.3.21.1.9.7

将 $- 1$ 移到 $B$ 的左侧。

$420 x + 400 = A x - 5 A - B x - 1 \cdot B$

解题步骤 2.3.21.1.9.8

将 $- 1 B$ 重写为 $- B$ 。

$420 x + 400 = A x - 5 A - B x - B$

解题步骤 2.3.21.1.10

化简表达式。

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解题步骤 2.3.21.1.10.1

移动 $B$ 。

$420 x + 400 = A x - 5 A - x B - B$

解题步骤 2.3.21.1.10.2

移动 $- 5 A$ 。

$420 x + 400 = A x - x B - 5 A - B$

解题步骤 2.3.21.2

为部分分式变量创建方程, 并使用它们建立方程组。

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解题步骤 2.3.21.2.1

使方程两边 $x$ 的系数相等，从而为部分分式变量创建一个等式。要使等式成立，等式两边的相应系数必须相等。

$420 = A - 1 B$

解题步骤 2.3.21.2.2

使方程两边不含 $x$ 的各项系数相等，从而为部分分式变量创建一个等式。要使等式成立，等式两边的相应系数必须相等。

$400 = - 5 A - 1 B$

解题步骤 2.3.21.2.3

建立方程组以求部分分式的系数。

$420 = A - 1 B$

$400 = - 5 A - 1 B$

$420 = A - 1 B$

$400 = - 5 A - 1 B$

解题步骤 2.3.21.3

求解方程组。

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解题步骤 2.3.21.3.1

在 $420 = A - 1 B$ 中求解 $A$ 。

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解题步骤 2.3.21.3.1.1

将方程重写为 $A - 1 B = 420$ 。

$A - 1 B = 420$

$400 = - 5 A - 1 B$

解题步骤 2.3.21.3.1.2

将 $- 1 B$ 重写为 $- B$ 。

$A - B = 420$

$400 = - 5 A - 1 B$

解题步骤 2.3.21.3.1.3

在等式两边都加上 $B$ 。

$A = 420 + B$

$400 = - 5 A - 1 B$

$A = 420 + B$

$400 = - 5 A - 1 B$

解题步骤 2.3.21.3.2

将每个方程中所有出现的 $A$ 替换成 $420 + B$ 。

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解题步骤 2.3.21.3.2.1

使用 $420 + B$ 替换 $400 = - 5 A - 1 B$ 中所有出现的 $A$ .

$400 = - 5 (420 + B) - 1 B$

$A = 420 + B$

解题步骤 2.3.21.3.2.2

化简右边。

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解题步骤 2.3.21.3.2.2.1

化简 $- 5 (420 + B) - 1 B$ 。

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解题步骤 2.3.21.3.2.2.1.1

化简每一项。

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解题步骤 2.3.21.3.2.2.1.1.1

运用分配律。

$400 = - 5 \cdot 420 - 5 B - 1 B$

$A = 420 + B$

解题步骤 2.3.21.3.2.2.1.1.2

将 $- 5$ 乘以 $420$ 。

$400 = - 2100 - 5 B - 1 B$

$A = 420 + B$

解题步骤 2.3.21.3.2.2.1.1.3

将 $- 1 B$ 重写为 $- B$ 。

$400 = - 2100 - 5 B - B$

$A = 420 + B$

$400 = - 2100 - 5 B - B$

$A = 420 + B$

解题步骤 2.3.21.3.2.2.1.2

从 $- 5 B$ 中减去 $B$ 。

$400 = - 2100 - 6 B$

$A = 420 + B$

$400 = - 2100 - 6 B$

$A = 420 + B$

$400 = - 2100 - 6 B$

$A = 420 + B$

$400 = - 2100 - 6 B$

$A = 420 + B$

解题步骤 2.3.21.3.3

在 $400 = - 2100 - 6 B$ 中求解 $B$ 。

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解题步骤 2.3.21.3.3.1

将方程重写为 $- 2100 - 6 B = 400$ 。

$- 2100 - 6 B = 400$

$A = 420 + B$

解题步骤 2.3.21.3.3.2

将所有不包含 $B$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 2.3.21.3.3.2.1

在等式两边都加上 $2100$ 。

$- 6 B = 400 + 2100$

$A = 420 + B$

解题步骤 2.3.21.3.3.2.2

将 $400$ 和 $2100$ 相加。

$- 6 B = 2500$

$A = 420 + B$

$- 6 B = 2500$

$A = 420 + B$

解题步骤 2.3.21.3.3.3

将 $- 6 B = 2500$ 中的每一项除以 $- 6$ 并化简。

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解题步骤 2.3.21.3.3.3.1

将 $- 6 B = 2500$ 中的每一项都除以 $- 6$ 。

$\frac{- 6 B}{- 6} = \frac{2500}{- 6}$

$A = 420 + B$

解题步骤 2.3.21.3.3.3.2

化简左边。

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解题步骤 2.3.21.3.3.3.2.1

约去 $- 6$ 的公因数。

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解题步骤 2.3.21.3.3.3.2.1.1

约去公因数。

$\frac{- 6 B}{- 6} = \frac{2500}{- 6}$

$A = 420 + B$

解题步骤 2.3.21.3.3.3.2.1.2

用 $B$ 除以 $1$ 。

$B = \frac{2500}{- 6}$

$A = 420 + B$

$B = \frac{2500}{- 6}$

$A = 420 + B$

$B = \frac{2500}{- 6}$

$A = 420 + B$

解题步骤 2.3.21.3.3.3.3

化简右边。

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解题步骤 2.3.21.3.3.3.3.1

约去 $2500$ 和 $- 6$ 的公因数。

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解题步骤 2.3.21.3.3.3.3.1.1

从 $2500$ 中分解出因数 $2$ 。

$B = \frac{2 (1250)}{- 6}$

$A = 420 + B$

解题步骤 2.3.21.3.3.3.3.1.2

约去公因数。

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解题步骤 2.3.21.3.3.3.3.1.2.1

从 $- 6$ 中分解出因数 $2$ 。

$B = \frac{2 \cdot 1250}{2 \cdot - 3}$

$A = 420 + B$

解题步骤 2.3.21.3.3.3.3.1.2.2

约去公因数。

$B = \frac{2 \cdot 1250}{2 \cdot - 3}$

$A = 420 + B$

解题步骤 2.3.21.3.3.3.3.1.2.3

重写表达式。

$B = \frac{1250}{- 3}$

$A = 420 + B$

$B = \frac{1250}{- 3}$

$A = 420 + B$

$B = \frac{1250}{- 3}$

$A = 420 + B$

解题步骤 2.3.21.3.3.3.3.2

将负号移到分数的前面。

$B = - \frac{1250}{3}$

$A = 420 + B$

$B = - \frac{1250}{3}$

$A = 420 + B$

$B = - \frac{1250}{3}$

$A = 420 + B$

$B = - \frac{1250}{3}$

$A = 420 + B$

解题步骤 2.3.21.3.4

将每个方程中所有出现的 $B$ 替换成 $- \frac{1250}{3}$ 。

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解题步骤 2.3.21.3.4.1

使用 $- \frac{1250}{3}$ 替换 $A = 420 + B$ 中所有出现的 $B$ .

$A = 420 - \frac{1250}{3}$

$B = - \frac{1250}{3}$

解题步骤 2.3.21.3.4.2

化简 $A = 420 - \frac{1250}{3}$ 。

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解题步骤 2.3.21.3.4.2.1

化简左边。

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解题步骤 2.3.21.3.4.2.1.1

去掉圆括号。

$A = 420 - \frac{1250}{3}$

$B = - \frac{1250}{3}$

$A = 420 - \frac{1250}{3}$

$B = - \frac{1250}{3}$

解题步骤 2.3.21.3.4.2.2

化简右边。

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解题步骤 2.3.21.3.4.2.2.1

化简 $420 - \frac{1250}{3}$ 。

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解题步骤 2.3.21.3.4.2.2.1.1

要将 $420$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$A = 420 \cdot \frac{3}{3} - \frac{1250}{3}$

$B = - \frac{1250}{3}$

解题步骤 2.3.21.3.4.2.2.1.2

组合 $420$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$A = \frac{420 \cdot 3}{3} - \frac{1250}{3}$

$B = - \frac{1250}{3}$

解题步骤 2.3.21.3.4.2.2.1.3

在公分母上合并分子。

$A = \frac{420 \cdot 3 - 1250}{3}$

$B = - \frac{1250}{3}$

解题步骤 2.3.21.3.4.2.2.1.4

化简分子。

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解题步骤 2.3.21.3.4.2.2.1.4.1

将 $420$ 乘以 $3$ 。

$A = \frac{1260 - 1250}{3}$

$B = - \frac{1250}{3}$

解题步骤 2.3.21.3.4.2.2.1.4.2

从 $1260$ 中减去 $1250$ 。

$A = \frac{10}{3}$

$B = - \frac{1250}{3}$

$A = \frac{10}{3}$

$B = - \frac{1250}{3}$

$A = \frac{10}{3}$

$B = - \frac{1250}{3}$

$A = \frac{10}{3}$

$B = - \frac{1250}{3}$

$A = \frac{10}{3}$

$B = - \frac{1250}{3}$

$A = \frac{10}{3}$

$B = - \frac{1250}{3}$

解题步骤 2.3.21.3.5

列出所有解。

$A = \frac{10}{3}, B = - \frac{1250}{3}$

解题步骤 2.3.21.4

将 $\frac{A}{- x - 1} + \frac{B}{x - 5}$ 中的每个部分分式的系数替换为求得的 $A$ 和 $B$ 的值。

$\frac{\frac{10}{3}}{- x - 1} + \frac{- \frac{1250}{3}}{x - 5}$

解题步骤 2.3.21.5

化简。

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解题步骤 2.3.21.5.1

将分子乘以分母的倒数。

$\frac{10}{3} \cdot \frac{1}{- x - 1} + \frac{- \frac{1250}{3}}{x - 5}$

解题步骤 2.3.21.5.2

将 $\frac{10}{3}$ 乘以 $\frac{1}{- x - 1}$ 。

$\frac{10}{3 (- x - 1)} + \frac{- \frac{1250}{3}}{x - 5}$

解题步骤 2.3.21.5.3

从 $- x$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{10}{3 (- (x) - 1)} + \frac{- \frac{1250}{3}}{x - 5}$

解题步骤 2.3.21.5.4

将 $- 1$ 重写为 $- 1 (1)$ 。

$\frac{10}{3 (- (x) - 1 \cdot 1)} + \frac{- \frac{1250}{3}}{x - 5}$

解题步骤 2.3.21.5.5

从 $- (x) - 1 (1)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{10}{3 (- (x + 1))} + \frac{- \frac{1250}{3}}{x - 5}$

解题步骤 2.3.21.5.6

重写负数。

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解题步骤 2.3.21.5.6.1

将 $- (x + 1)$ 重写为 $- 1 (x + 1)$ 。

$\frac{10}{3 (- 1 (x + 1))} + \frac{- \frac{1250}{3}}{x - 5}$

解题步骤 2.3.21.5.6.2

将负号移到分数的前面。

$- \frac{10}{3 (x + 1)} + \frac{- \frac{1250}{3}}{x - 5}$

解题步骤 2.3.21.5.7

将分子乘以分母的倒数。

$- \frac{10}{3 (x + 1)} - \frac{1250}{3} \cdot \frac{1}{x - 5}$

解题步骤 2.3.21.5.8

将 $\frac{1}{x - 5}$ 乘以 $\frac{1250}{3}$ 。

$- \frac{10}{3 (x + 1)} - \frac{1250}{(x - 5) \cdot 3}$

解题步骤 2.3.21.5.9

将 $3$ 移到 $x - 5$ 的左侧。

$y + C_{1} = - (\frac{x^{5}}{5} + C_{2}) - 4 (\frac{x^{4}}{4} + C_{3}) - 20 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{4}) - 80 x + C_{5} + \int - \frac{10}{3 (x + 1)} - \frac{1250}{3 (x - 5)} d x$

解题步骤 2.3.22

将单个积分拆分为多个积分。

$y + C_{1} = - (\frac{x^{5}}{5} + C_{2}) - 4 (\frac{x^{4}}{4} + C_{3}) - 20 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{4}) - 80 x + C_{5} + \int - \frac{10}{3 (x + 1)} d x + \int - \frac{1250}{3 (x - 5)} d x$

解题步骤 2.3.23

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $x^{2}$ 。

$y + C_{1} = - (\frac{x^{5}}{5} + C_{2}) - 4 (\frac{x^{4}}{4} + C_{3}) - 20 (\frac{x^{2}}{2} + C_{4}) - 80 x + C_{5} + \int - \frac{10}{3 (x + 1)} d x + \int - \frac{1250}{3 (x - 5)} d x$

解题步骤 2.3.24

由于 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$y + C_{1} = - (\frac{x^{5}}{5} + C_{2}) - 4 (\frac{x^{4}}{4} + C_{3}) - 20 (\frac{x^{2}}{2} + C_{4}) - 80 x + C_{5} - \int \frac{10}{3 (x + 1)} d x + \int - \frac{1250}{3 (x - 5)} d x$

解题步骤 2.3.25

由于 $\frac{10}{3}$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $\frac{10}{3}$ 移到积分外。

$y + C_{1} = - (\frac{x^{5}}{5} + C_{2}) - 4 (\frac{x^{4}}{4} + C_{3}) - 20 (\frac{x^{2}}{2} + C_{4}) - 80 x + C_{5} - (\frac{10}{3} \int \frac{1}{x + 1} d x) + \int - \frac{1250}{3 (x - 5)} d x$

解题步骤 2.3.26

使 $u_{1} = x + 1$ 。然后使 $d u_{1} = d x$ 。使用 $u_{1}$ 和 $d$ $u_{1}$ 进行重写。

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解题步骤 2.3.26.1

设 $u_{1} = x + 1$ 。求 $\frac{d u_{1}}{d x}$ 。

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解题步骤 2.3.26.1.1

对 $x + 1$ 求导。

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

解题步骤 2.3.26.1.2

根据加法法则， $x + 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ 。

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 2.3.26.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 2.3.26.1.4

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$1 + 0$

解题步骤 2.3.26.1.5

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$1$

解题步骤 2.3.26.2

使用 $u_{1}$ 和 $d u_{1}$ 重写该问题。

$y + C_{1} = - (\frac{x^{5}}{5} + C_{2}) - 4 (\frac{x^{4}}{4} + C_{3}) - 20 (\frac{x^{2}}{2} + C_{4}) - 80 x + C_{5} - \frac{10}{3} \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} + \int - \frac{1250}{3 (x - 5)} d x$

解题步骤 2.3.27

$\frac{1}{u_{1}}$ 对 $u_{1}$ 的积分为 $\ln (| u_{1} |)$ 。

$y + C_{1} = - (\frac{x^{5}}{5} + C_{2}) - 4 (\frac{x^{4}}{4} + C_{3}) - 20 (\frac{x^{2}}{2} + C_{4}) - 80 x + C_{5} - \frac{10}{3} (\ln (| u_{1} |) + C_{6}) + \int - \frac{1250}{3 (x - 5)} d x$

解题步骤 2.3.28

由于 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$y + C_{1} = - (\frac{x^{5}}{5} + C_{2}) - 4 (\frac{x^{4}}{4} + C_{3}) - 20 (\frac{x^{2}}{2} + C_{4}) - 80 x + C_{5} - \frac{10}{3} (\ln (| u_{1} |) + C_{6}) - \int \frac{1250}{3 (x - 5)} d x$

解题步骤 2.3.29

由于 $\frac{1250}{3}$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $\frac{1250}{3}$ 移到积分外。

$y + C_{1} = - (\frac{x^{5}}{5} + C_{2}) - 4 (\frac{x^{4}}{4} + C_{3}) - 20 (\frac{x^{2}}{2} + C_{4}) - 80 x + C_{5} - \frac{10}{3} (\ln (| u_{1} |) + C_{6}) - (\frac{1250}{3} \int \frac{1}{x - 5} d x)$

解题步骤 2.3.30

使 $u_{2} = x - 5$ 。然后使 $d u_{2} = d x$ 。使用 $u_{2}$ 和 $d$ $u_{2}$ 进行重写。

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解题步骤 2.3.30.1

设 $u_{2} = x - 5$ 。求 $\frac{d u_{2}}{d x}$ 。

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解题步骤 2.3.30.1.1

对 $x - 5$ 求导。

$\frac{d}{d x} [x - 5]$

解题步骤 2.3.30.1.2

根据加法法则， $x - 5$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ 。

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]$

解题步骤 2.3.30.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$1 + \frac{d}{d x} [- 5]$

解题步骤 2.3.30.1.4

因为 $- 5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 5$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$1 + 0$

解题步骤 2.3.30.1.5

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$1$

解题步骤 2.3.30.2

使用 $u_{2}$ 和 $d u_{2}$ 重写该问题。

$y + C_{1} = - (\frac{x^{5}}{5} + C_{2}) - 4 (\frac{x^{4}}{4} + C_{3}) - 20 (\frac{x^{2}}{2} + C_{4}) - 80 x + C_{5} - \frac{10}{3} (\ln (| u_{1} |) + C_{6}) - \frac{1250}{3} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

解题步骤 2.3.31

$\frac{1}{u_{2}}$ 对 $u_{2}$ 的积分为 $\ln (| u_{2} |)$ 。

$y + C_{1} = - (\frac{x^{5}}{5} + C_{2}) - 4 (\frac{x^{4}}{4} + C_{3}) - 20 (\frac{x^{2}}{2} + C_{4}) - 80 x + C_{5} - \frac{10}{3} (\ln (| u_{1} |) + C_{6}) - \frac{1250}{3} (\ln (| u_{2} |) + C_{7})$

解题步骤 2.3.32

化简。

$y + C_{1} = - \frac{x^{5}}{5} - x^{4} - 10 x^{2} - 80 x - \frac{10 \ln (| u_{1} |)}{3} - \frac{1250}{3} \ln (| u_{2} |) + C_{8}$

解题步骤 2.3.33

代回替换每一个积分法替换变量。

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解题步骤 2.3.33.1

使用 $x + 1$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$y + C_{1} = - \frac{x^{5}}{5} - x^{4} - 10 x^{2} - 80 x - \frac{10 \ln (| x + 1 |)}{3} - \frac{1250}{3} \ln (| u_{2} |) + C_{8}$

解题步骤 2.3.33.2

使用 $x - 5$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$y + C_{1} = - \frac{x^{5}}{5} - x^{4} - 10 x^{2} - 80 x - \frac{10 \ln (| x + 1 |)}{3} - \frac{1250}{3} \ln (| x - 5 |) + C_{8}$

解题步骤 2.3.34

重新排序项。

$y + C_{1} = - \frac{1}{5} x^{5} - x^{4} - 10 x^{2} - 80 x - \frac{10}{3} \ln (| x + 1 |) - \frac{1250}{3} \ln (| x - 5 |) + C_{8}$

解题步骤 2.3.35

重新排序项。

$y + C_{1} = - x^{4} - 10 x^{2} - \frac{1}{5} x^{5} - \frac{10}{3} \ln (| x + 1 |) - \frac{1250}{3} \ln (| x - 5 |) - 80 x + C_{8}$

解题步骤 2.4

将右边的积分常数分组为 $C$ 。

$y = - x^{4} - 10 x^{2} - \frac{1}{5} x^{5} - \frac{10}{3} \ln (| x + 1 |) - \frac{1250}{3} \ln (| x - 5 |) - 80 x + C$

微积分学 示例

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