微积分学示例

$\frac{d A}{d r} = A b^{2} \cos (b r)$ , $A (0) = b^{3}$

解题步骤 1

将微分方程重写为 $\frac{d A}{d r} + M (r) A = Q (r)$ 。

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解题步骤 1.1

将方程重写为 $M (r) \frac{d A}{d r} + P (r) A = Q (r)$ 。

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解题步骤 1.1.1

从等式两边同时减去 $A b^{2} \cos (b r)$ 。

$\frac{d A}{d r} - A b^{2} \cos (b r) = 0$

解题步骤 1.1.2

重新排序项。

$\frac{d A}{d r} - b^{2} A \cos (b r) = 0$

解题步骤 1.2

从 $- b^{2} A \cos (b r)$ 中分解出因数 $A$ 。

$\frac{d A}{d r} + A (- b^{2} \cos (b r)) = 0$

解题步骤 1.3

将 $A$ 和 $- b^{2} \cos (b r)$ 重新排序。

$\frac{d A}{d r} - b^{2} \cos (b r) A = 0$

解题步骤 2

积分因数由公式 $e^{\int P (r) d r}$ 定义，其中 $P (r) = - b^{2} \cos (b r)$ 。

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解题步骤 2.1

建立积分。

$e^{\int - b^{2} \cos (b r) d r}$

解题步骤 2.2

对 $- b^{2} \cos (b r)$ 积分。

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解题步骤 2.2.1

由于 $- b^{2}$ 对于 $r$ 是常数，所以将 $- b^{2}$ 移到积分外。

$e^{- b^{2} \int \cos (b r) d r}$

解题步骤 2.2.2

使 $u = b r$ 。然后使 $d u = b d r$ ，以便 $\frac{1}{b} d u = d r$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 2.2.2.1

设 $u = b r$ 。求 $\frac{d u}{d r}$ 。

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解题步骤 2.2.2.1.1

重写。

$1 b$

解题步骤 2.2.2.1.2

将 $b$ 乘以 $1$ 。

$b$

解题步骤 2.2.2.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$e^{- b^{2} \int \cos (u) \frac{1}{b} d u}$

解题步骤 2.2.3

组合 $\cos (u)$ 和 $\frac{1}{b}$ 。

$e^{- b^{2} \int \frac{\cos (u)}{b} d u}$

解题步骤 2.2.4

由于 $\frac{1}{b}$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $\frac{1}{b}$ 移到积分外。

$e^{- b^{2} (\frac{1}{b} \int \cos (u) d u)}$

解题步骤 2.2.5

化简。

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解题步骤 2.2.5.1

组合 $\frac{1}{b}$ 和 $b^{2}$ 。

$e^{- \frac{b^{2}}{b} \int \cos (u) d u}$

解题步骤 2.2.5.2

约去 $b^{2}$ 和 $b$ 的公因数。

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解题步骤 2.2.5.2.1

从 $b^{2}$ 中分解出因数 $b$ 。

$e^{- \frac{b \cdot b}{b} \int \cos (u) d u}$

解题步骤 2.2.5.2.2

约去公因数。

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解题步骤 2.2.5.2.2.1

对 $b$ 进行 $1$ 次方运算。

$e^{- \frac{b \cdot b}{b^{1}} \int \cos (u) d u}$

解题步骤 2.2.5.2.2.2

从 $b^{1}$ 中分解出因数 $b$ 。

$e^{- \frac{b \cdot b}{b \cdot 1} \int \cos (u) d u}$

解题步骤 2.2.5.2.2.3

约去公因数。

$e^{- \frac{b \cdot b}{b \cdot 1} \int \cos (u) d u}$

解题步骤 2.2.5.2.2.4

重写表达式。

$e^{- \frac{b}{1} \int \cos (u) d u}$

解题步骤 2.2.5.2.2.5

用 $b$ 除以 $1$ 。

$e^{- b \int \cos (u) d u}$

解题步骤 2.2.6

$\cos (u)$ 对 $u$ 的积分为 $\sin (u)$ 。

$e^{- b (\sin (u) + C)}$

解题步骤 2.2.7

化简。

$e^{- b \sin (u) + C}$

解题步骤 2.2.8

使用 $b r$ 替换所有出现的 $u$ 。

$e^{- b \sin (b r) + C}$

解题步骤 2.3

去掉积分常数。

$e^{- b \sin (b r)}$

解题步骤 3

每一项乘以积分因数 $e^{- b \sin (b r)}$ 。

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解题步骤 3.1

每一项乘以 $e^{- b \sin (b r)}$ 。

$e^{- b \sin (b r)} \frac{d A}{d r} + e^{- b \sin (b r)} (- b^{2} \cos (b r) A) = e^{- b \sin (b r)} \cdot 0$

解题步骤 3.2

使用乘法的交换性质重写。

$e^{- b \sin (b r)} \frac{d A}{d r} - e^{- b \sin (b r)} b^{2} \cos (b r) A = e^{- b \sin (b r)} \cdot 0$

解题步骤 3.3

将 $e^{- b \sin (b r)}$ 乘以 $0$ 。

$e^{- b \sin (b r)} \frac{d A}{d r} - e^{- b \sin (b r)} b^{2} \cos (b r) A = 0$

解题步骤 3.4

将 $e^{- b \sin (b r)} \frac{d A}{d r} - e^{- b \sin (b r)} b^{2} \cos (b r) A = 0$ 中的因式重新排序。

$e^{- b \sin (b r)} \frac{d A}{d r} - b^{2} A e^{- b \sin (b r)} \cos (b r) = 0$

解题步骤 4

将左边重写为对积求导的结果。

$\frac{d}{d r} [e^{- b \sin (b r)} A] = 0$

解题步骤 5

在两边建立积分。

$\int \frac{d}{d r} [e^{- b \sin (b r)} A] d r = \int 0 d r$

解题步骤 6

对左边积分。

$e^{- b \sin (b r)} A = \int 0 d r$

解题步骤 7

对右边积分。

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解题步骤 7.1

$0$ 对 $r$ 的积分为 $0$ 。

$e^{- b \sin (b r)} A = 0 + C$

解题步骤 7.2

将 $0$ 和 $C$ 相加。

$e^{- b \sin (b r)} A = C$

解题步骤 8

将 $e^{- b \sin (b r)} A = C$ 中的每一项除以 $e^{- b \sin (b r)}$ 并化简。

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解题步骤 8.1

将 $e^{- b \sin (b r)} A = C$ 中的每一项都除以 $e^{- b \sin (b r)}$ 。

$\frac{e^{- b \sin (b r)} A}{e^{- b \sin (b r)}} = \frac{C}{e^{- b \sin (b r)}}$

解题步骤 8.2

化简左边。

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解题步骤 8.2.1

约去 $e^{- b \sin (b r)}$ 的公因数。

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解题步骤 8.2.1.1

约去公因数。

$\frac{e^{- b \sin (b r)} A}{e^{- b \sin (b r)}} = \frac{C}{e^{- b \sin (b r)}}$

解题步骤 8.2.1.2

用 $A$ 除以 $1$ 。

$A = \frac{C}{e^{- b \sin (b r)}}$

解题步骤 9

使用初始条件，通过将 $0$ 代入 $r$ ，将 $b^{3}$ 代入 $A$ ，在 $A = \frac{C}{e^{- b \sin (b r)}}$ 中求 $C$ 的值。

$b^{3} = \frac{C}{e^{- b \sin (b \cdot 0)}}$

解题步骤 10

求解 $b$ 。

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解题步骤 10.1

两边同时乘以 $e^{- b \sin (b \cdot 0)}$ 。

$b^{3} e^{- b \sin (b \cdot 0)} = \frac{C}{e^{- b \sin (b \cdot 0)}} e^{- b \sin (b \cdot 0)}$

解题步骤 10.2

化简。

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解题步骤 10.2.1

化简左边。

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解题步骤 10.2.1.1

化简 $b^{3} e^{- b \sin (b \cdot 0)}$ 。

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解题步骤 10.2.1.1.1

将 $b$ 乘以 $0$ 。

$b^{3} e^{- b \sin (0)} = \frac{C}{e^{- b \sin (b \cdot 0)}} e^{- b \sin (b \cdot 0)}$

解题步骤 10.2.1.1.2

$\sin (0)$ 的准确值为 $0$ 。

$b^{3} e^{- b \cdot 0} = \frac{C}{e^{- b \sin (b \cdot 0)}} e^{- b \sin (b \cdot 0)}$

解题步骤 10.2.1.1.3

乘以 $- b \cdot 0$ 。

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解题步骤 10.2.1.1.3.1

将 $0$ 乘以 $- 1$ 。

$b^{3} e^{0 b} = \frac{C}{e^{- b \sin (b \cdot 0)}} e^{- b \sin (b \cdot 0)}$

解题步骤 10.2.1.1.3.2

将 $0$ 乘以 $b$ 。

$b^{3} e^{0} = \frac{C}{e^{- b \sin (b \cdot 0)}} e^{- b \sin (b \cdot 0)}$

解题步骤 10.2.1.1.4

任何数的 $0$ 次方都是 $1$ 。

$b^{3} \cdot 1 = \frac{C}{e^{- b \sin (b \cdot 0)}} e^{- b \sin (b \cdot 0)}$

解题步骤 10.2.1.1.5

将 $b^{3}$ 乘以 $1$ 。

$b^{3} = \frac{C}{e^{- b \sin (b \cdot 0)}} e^{- b \sin (b \cdot 0)}$

解题步骤 10.2.2

化简右边。

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解题步骤 10.2.2.1

约去 $e^{- b \sin (b \cdot 0)}$ 的公因数。

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解题步骤 10.2.2.1.1

约去公因数。

$b^{3} = \frac{C}{e^{- b \sin (b \cdot 0)}} e^{- b \sin (b \cdot 0)}$

解题步骤 10.2.2.1.2

重写表达式。

$b^{3} = C$

解题步骤 10.3

取方程两边的指定根来消去方程左边的指数。

$b = \sqrt[3]{C}$

解题步骤 11

代入 $\sqrt[3]{C}$ 替换 $A = \frac{C}{e^{- b \sin (b r)}}$ 中的 $C$ 并化简。

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解题步骤 11.1

代入 $\sqrt[3]{C}$ 替换 $b$ 。

$A = \frac{C}{e^{- \sqrt[3]{C} \sin (\sqrt[3]{C} r)}}$

微积分学 示例

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