微积分学示例

$e^{- y} (1 + \frac{d y}{d x}) = 1$

解题步骤 1

分离变量。

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解题步骤 1.1

求解 $\frac{d y}{d x}$ 。

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解题步骤 1.1.1

将 $e^{- y} (1 + \frac{d y}{d x}) = 1$ 中的每一项除以 $e^{- y}$ 并化简。

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解题步骤 1.1.1.1

将 $e^{- y} (1 + \frac{d y}{d x}) = 1$ 中的每一项都除以 $e^{- y}$ 。

$\frac{e^{- y} (1 + \frac{d y}{d x})}{e^{- y}} = \frac{1}{e^{- y}}$

解题步骤 1.1.1.2

化简左边。

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解题步骤 1.1.1.2.1

约去 $e^{- y}$ 的公因数。

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解题步骤 1.1.1.2.1.1

约去公因数。

$\frac{e^{- y} (1 + \frac{d y}{d x})}{e^{- y}} = \frac{1}{e^{- y}}$

解题步骤 1.1.1.2.1.2

用 $1 + \frac{d y}{d x}$ 除以 $1$ 。

$1 + \frac{d y}{d x} = \frac{1}{e^{- y}}$

解题步骤 1.1.2

从等式两边同时减去 $1$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{e^{- y}} - 1$

解题步骤 1.2

两边同时乘以 $\frac{1}{\frac{1}{e^{- y}} - 1}$ 。

$\frac{1}{\frac{1}{e^{- y}} - 1} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{\frac{1}{e^{- y}} - 1} (\frac{1}{e^{- y}} - 1)$

解题步骤 1.3

约去 $\frac{1}{e^{- y}} - 1$ 的公因数。

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解题步骤 1.3.1

约去公因数。

$\frac{1}{\frac{1}{e^{- y}} - 1} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{\frac{1}{e^{- y}} - 1} (\frac{1}{e^{- y}} - 1)$

解题步骤 1.3.2

重写表达式。

$\frac{1}{\frac{1}{e^{- y}} - 1} \frac{d y}{d x} = 1$

解题步骤 1.4

重写该方程。

$\frac{1}{\frac{1}{e^{- y}} - 1} d y = 1 d x$

解题步骤 2

对两边积分。

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解题步骤 2.1

在两边建立积分。

$\int \frac{1}{\frac{1}{e^{- y}} - 1} d y = \int d x$

解题步骤 2.2

对左边积分。

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解题步骤 2.2.1

化简。

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解题步骤 2.2.1.1

化简分母。

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解题步骤 2.2.1.1.1

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{e^{- y}}{e^{- y}}$ 。

$\int \frac{1}{\frac{1}{e^{- y}} - 1 \cdot \frac{e^{- y}}{e^{- y}}} d y = \int d x$

解题步骤 2.2.1.1.2

组合 $- 1$ 和 $\frac{e^{- y}}{e^{- y}}$ 。

$\int \frac{1}{\frac{1}{e^{- y}} + \frac{- e^{- y}}{e^{- y}}} d y = \int d x$

解题步骤 2.2.1.1.3

在公分母上合并分子。

$\int \frac{1}{\frac{1 - e^{- y}}{e^{- y}}} d y = \int d x$

解题步骤 2.2.1.2

将分子乘以分母的倒数。

$\int 1 \frac{e^{- y}}{1 - e^{- y}} d y = \int d x$

解题步骤 2.2.1.3

将 $\frac{e^{- y}}{1 - e^{- y}}$ 乘以 $1$ 。

$\int \frac{e^{- y}}{1 - e^{- y}} d y = \int d x$

解题步骤 2.2.2

使 $u_{2} = 1 - e^{- y}$ 。然后使 $d u_{2} = e^{- y} d y$ ，以便 $\frac{1}{e^{- y}} d u_{2} = d y$ 。使用 $u_{2}$ 和 $d$ $u_{2}$ 进行重写。

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解题步骤 2.2.2.1

设 $u_{2} = 1 - e^{- y}$ 。求 $\frac{d u_{2}}{d y}$ 。

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解题步骤 2.2.2.1.1

对 $1 - e^{- y}$ 求导。

$\frac{d}{d y} [1 - e^{- y}]$

解题步骤 2.2.2.1.2

求微分。

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解题步骤 2.2.2.1.2.1

根据加法法则， $1 - e^{- y}$ 对 $y$ 的导数是 $\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [- e^{- y}]$ 。

$\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [- e^{- y}]$

解题步骤 2.2.2.1.2.2

因为 $1$ 对于 $y$ 是常数，所以 $1$ 对 $y$ 的导数为 $0$ 。

$0 + \frac{d}{d y} [- e^{- y}]$

解题步骤 2.2.2.1.3

计算 $\frac{d}{d y} [- e^{- y}]$ 。

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解题步骤 2.2.2.1.3.1

因为 $- 1$ 对于 $y$ 是常数，所以 $- e^{- y}$ 对 $y$ 的导数是 $- \frac{d}{d y} [e^{- y}]$ 。

$0 - \frac{d}{d y} [e^{- y}]$

解题步骤 2.2.2.1.3.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ 等于 $f' (g (y)) g' (y)$ ，其中 $f (y) = e^{y}$ 且 $g (y) = - y$ 。

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解题步骤 2.2.2.1.3.2.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $- y$ 。

$0 - (\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d y} [- y])$

解题步骤 2.2.2.1.3.2.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ 等于 $a^{u_{1}} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$0 - (e^{u_{1}} \frac{d}{d y} [- y])$

解题步骤 2.2.2.1.3.2.3

使用 $- y$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$0 - (e^{- y} \frac{d}{d y} [- y])$

解题步骤 2.2.2.1.3.3

因为 $- 1$ 对于 $y$ 是常数，所以 $- y$ 对 $y$ 的导数是 $- \frac{d}{d y} [y]$ 。

$0 - (e^{- y} (- \frac{d}{d y} [y]))$

解题步骤 2.2.2.1.3.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 等于 $n y^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$0 - (e^{- y} (- 1 \cdot 1))$

解题步骤 2.2.2.1.3.5

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$0 - (e^{- y} \cdot - 1)$

解题步骤 2.2.2.1.3.6

将 $- 1$ 移到 $e^{- y}$ 的左侧。

$0 - (- 1 \cdot e^{- y})$

解题步骤 2.2.2.1.3.7

将 $- 1 e^{- y}$ 重写为 $- e^{- y}$ 。

$0 - - e^{- y}$

解题步骤 2.2.2.1.3.8

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$0 + 1 e^{- y}$

解题步骤 2.2.2.1.3.9

将 $e^{- y}$ 乘以 $1$ 。

$0 + e^{- y}$

解题步骤 2.2.2.1.4

将 $0$ 和 $e^{- y}$ 相加。

$e^{- y}$

解题步骤 2.2.2.2

使用 $u_{2}$ 和 $d u_{2}$ 重写该问题。

$\int \frac{1}{u_{2}} d u_{2} = \int d x$

解题步骤 2.2.3

$\frac{1}{u_{2}}$ 对 $u_{2}$ 的积分为 $\ln (| u_{2} |)$ 。

$\ln (| u_{2} |) + C_{1} = \int d x$

解题步骤 2.2.4

使用 $1 - e^{- y}$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$\ln (| 1 - e^{- y} |) + C_{1} = \int d x$

解题步骤 2.3

应用常数不变法则。

$\ln (| 1 - e^{- y} |) + C_{1} = x + C_{2}$

解题步骤 2.4

将右边的积分常数分组为 $C$ 。

$\ln (| 1 - e^{- y} |) = x + C$

微积分学 示例

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