微积分学示例

$(1 + x) (y d) x + (1 - y) x d y = 0$

解题步骤 1

从等式两边同时减去 $(1 + x) y d x$ 。

$(1 - y) x d y = - (1 + x) y d x$

解题步骤 2

两边同时乘以 $\frac{1}{x y}$ 。

$\frac{1}{x y} ((1 - y) x) d y = \frac{1}{x y} (- (1 + x) y) d x$

解题步骤 3

化简。

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解题步骤 3.1

约去 $x$ 的公因数。

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解题步骤 3.1.1

从 $x y$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{1}{x (y)} ((1 - y) x) d y = \frac{1}{x y} (- (1 + x) y) d x$

解题步骤 3.1.2

从 $(1 - y) x$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{1}{x (y)} (x (1 - y)) d y = \frac{1}{x y} (- (1 + x) y) d x$

解题步骤 3.1.3

约去公因数。

$\frac{1}{x y} (x (1 - y)) d y = \frac{1}{x y} (- (1 + x) y) d x$

解题步骤 3.1.4

重写表达式。

$\frac{1}{y} (1 - y) d y = \frac{1}{x y} (- (1 + x) y) d x$

解题步骤 3.2

将 $\frac{1}{y}$ 乘以 $1 - y$ 。

$\frac{1 - y}{y} d y = \frac{1}{x y} (- (1 + x) y) d x$

解题步骤 3.3

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{1 - y}{y} d y = - \frac{1}{x y} ((1 + x) y) d x$

解题步骤 3.4

约去 $y$ 的公因数。

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解题步骤 3.4.1

将 $- \frac{1}{x y}$ 中前置负号移到分子中。

$\frac{1 - y}{y} d y = \frac{- 1}{x y} ((1 + x) y) d x$

解题步骤 3.4.2

从 $x y$ 中分解出因数 $y$ 。

$\frac{1 - y}{y} d y = \frac{- 1}{y x} ((1 + x) y) d x$

解题步骤 3.4.3

从 $(1 + x) y$ 中分解出因数 $y$ 。

$\frac{1 - y}{y} d y = \frac{- 1}{y x} (y (1 + x)) d x$

解题步骤 3.4.4

约去公因数。

$\frac{1 - y}{y} d y = \frac{- 1}{y x} (y (1 + x)) d x$

解题步骤 3.4.5

重写表达式。

$\frac{1 - y}{y} d y = \frac{- 1}{x} (1 + x) d x$

解题步骤 3.5

将负号移到分数的前面。

$\frac{1 - y}{y} d y = - \frac{1}{x} (1 + x) d x$

解题步骤 3.6

运用分配律。

$\frac{1 - y}{y} d y = (- \frac{1}{x} \cdot 1 - \frac{1}{x} x) d x$

解题步骤 3.7

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1 - y}{y} d y = (- \frac{1}{x} - \frac{1}{x} x) d x$

解题步骤 3.8

约去 $x$ 的公因数。

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解题步骤 3.8.1

将 $- \frac{1}{x}$ 中前置负号移到分子中。

$\frac{1 - y}{y} d y = (- \frac{1}{x} + \frac{- 1}{x} x) d x$

解题步骤 3.8.2

约去公因数。

$\frac{1 - y}{y} d y = (- \frac{1}{x} + \frac{- 1}{x} x) d x$

解题步骤 3.8.3

重写表达式。

$\frac{1 - y}{y} d y = (- \frac{1}{x} - 1) d x$

解题步骤 4

对两边积分。

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解题步骤 4.1

在两边建立积分。

$\int \frac{1 - y}{y} d y = \int - \frac{1}{x} - 1 d x$

解题步骤 4.2

对左边积分。

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解题步骤 4.2.1

将分数分解成多个分数。

$\int \frac{1}{y} + \frac{- y}{y} d y = \int - \frac{1}{x} - 1 d x$

解题步骤 4.2.2

将单个积分拆分为多个积分。

$\int \frac{1}{y} d y + \int \frac{- y}{y} d y = \int - \frac{1}{x} - 1 d x$

解题步骤 4.2.3

约去 $y$ 的公因数。

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解题步骤 4.2.3.1

约去公因数。

$\int \frac{1}{y} d y + \int \frac{- y}{y} d y = \int - \frac{1}{x} - 1 d x$

解题步骤 4.2.3.2

用 $- 1$ 除以 $1$ 。

$\int \frac{1}{y} d y + \int - 1 d y = \int - \frac{1}{x} - 1 d x$

解题步骤 4.2.4

$\frac{1}{y}$ 对 $y$ 的积分为 $\ln (| y |)$ 。

$\ln (| y |) + C_{1} + \int - 1 d y = \int - \frac{1}{x} - 1 d x$

解题步骤 4.2.5

应用常数不变法则。

$\ln (| y |) + C_{1} - y + C_{2} = \int - \frac{1}{x} - 1 d x$

解题步骤 4.2.6

化简。

$\ln (| y |) - y + C_{3} = \int - \frac{1}{x} - 1 d x$

解题步骤 4.2.7

重新排序项。

$- y + \ln (| y |) + C_{3} = \int - \frac{1}{x} - 1 d x$

解题步骤 4.3

对右边积分。

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解题步骤 4.3.1

将单个积分拆分为多个积分。

$- y + \ln (| y |) + C_{3} = \int - \frac{1}{x} d x + \int - 1 d x$

解题步骤 4.3.2

由于 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$- y + \ln (| y |) + C_{3} = - \int \frac{1}{x} d x + \int - 1 d x$

解题步骤 4.3.3

$\frac{1}{x}$ 对 $x$ 的积分为 $\ln (| x |)$ 。

$- y + \ln (| y |) + C_{3} = - (\ln (| x |) + C_{4}) + \int - 1 d x$

解题步骤 4.3.4

应用常数不变法则。

$- y + \ln (| y |) + C_{3} = - (\ln (| x |) + C_{4}) - x + C_{5}$

解题步骤 4.3.5

化简。

$- y + \ln (| y |) + C_{3} = - \ln (| x |) - x + C_{6}$

解题步骤 4.3.6

重新排序项。

$- y + \ln (| y |) + C_{3} = - x - \ln (| x |) + C_{6}$

解题步骤 4.4

将右边的积分常数分组为 $C$ 。

$- y + \ln (| y |) = - x - \ln (| x |) + C$

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