微积分学示例

$25 \frac{d T}{d t} + T = 80 e^{- 0.04 t}$

解题步骤 1

将微分方程重写为 $\frac{d T}{d t} + M (t) T = Q (t)$ 。

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解题步骤 1.1

将 $25 \frac{d T}{d t} + T = 80 e^{- 0.04 t}$ 中的每一项都除以 $25$ 。

$\frac{25 \frac{d T}{d t}}{25} + \frac{T}{25} = \frac{80 e^{- 0.04 t}}{25}$

解题步骤 1.2

约去 $25$ 的公因数。

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解题步骤 1.2.1

约去公因数。

$\frac{25 \frac{d T}{d t}}{25} + \frac{T}{25} = \frac{80 e^{- 0.04 t}}{25}$

解题步骤 1.2.2

用 $\frac{d T}{d t}$ 除以 $1$ 。

$\frac{d T}{d t} + \frac{T}{25} = \frac{80 e^{- 0.04 t}}{25}$

解题步骤 1.3

约去 $80$ 和 $25$ 的公因数。

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解题步骤 1.3.1

从 $80 e^{- 0.04 t}$ 中分解出因数 $5$ 。

$\frac{d T}{d t} + \frac{T}{25} = \frac{5 (16 e^{- 0.04 t})}{25}$

解题步骤 1.3.2

约去公因数。

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解题步骤 1.3.2.1

从 $25$ 中分解出因数 $5$ 。

$\frac{d T}{d t} + \frac{T}{25} = \frac{5 (16 e^{- 0.04 t})}{5 (5)}$

解题步骤 1.3.2.2

约去公因数。

$\frac{d T}{d t} + \frac{T}{25} = \frac{5 (16 e^{- 0.04 t})}{5 \cdot 5}$

解题步骤 1.3.2.3

重写表达式。

$\frac{d T}{d t} + \frac{T}{25} = \frac{16 e^{- 0.04 t}}{5}$

解题步骤 1.4

重新排序项。

$\frac{d T}{d t} + \frac{1}{25} T = \frac{16}{5} e^{- 0.04 t}$

解题步骤 2

积分因数由公式 $e^{\int P (t) d t}$ 定义，其中 $P (t) = \frac{1}{25}$ 。

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解题步骤 2.1

建立积分。

$e^{\int \frac{1}{25} d t}$

解题步骤 2.2

应用常数不变法则。

$e^{\frac{1}{25} t + C}$

解题步骤 2.3

去掉积分常数。

$e^{\frac{1}{25} t}$

解题步骤 2.4

组合 $\frac{1}{25}$ 和 $t$ 。

$e^{\frac{t}{25}}$

解题步骤 3

每一项乘以积分因数 $e^{\frac{t}{25}}$ 。

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解题步骤 3.1

每一项乘以 $e^{\frac{t}{25}}$ 。

$e^{\frac{t}{25}} \frac{d T}{d t} + e^{\frac{t}{25}} (\frac{1}{25} T) = e^{\frac{t}{25}} (\frac{16}{5} e^{- 0.04 t})$

解题步骤 3.2

化简每一项。

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解题步骤 3.2.1

使用乘法的交换性质重写。

$e^{\frac{t}{25}} \frac{d T}{d t} + \frac{1}{25} e^{\frac{t}{25}} T = e^{\frac{t}{25}} (\frac{16}{5} e^{- 0.04 t})$

解题步骤 3.2.2

组合 $\frac{1}{25}$ 和 $e^{\frac{t}{25}}$ 。

$e^{\frac{t}{25}} \frac{d T}{d t} + \frac{e^{\frac{t}{25}}}{25} T = e^{\frac{t}{25}} (\frac{16}{5} e^{- 0.04 t})$

解题步骤 3.2.3

组合 $\frac{e^{\frac{t}{25}}}{25}$ 和 $T$ 。

$e^{\frac{t}{25}} \frac{d T}{d t} + \frac{e^{\frac{t}{25}} T}{25} = e^{\frac{t}{25}} (\frac{16}{5} e^{- 0.04 t})$

解题步骤 3.3

使用乘法的交换性质重写。

$e^{\frac{t}{25}} \frac{d T}{d t} + \frac{e^{\frac{t}{25}} T}{25} = \frac{16}{5} e^{\frac{t}{25}} e^{- 0.04 t}$

解题步骤 3.4

通过指数相加将 $e^{\frac{t}{25}}$ 乘以 $e^{- 0.04 t}$ 。

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解题步骤 3.4.1

移动 $e^{- 0.04 t}$ 。

$e^{\frac{t}{25}} \frac{d T}{d t} + \frac{e^{\frac{t}{25}} T}{25} = \frac{16}{5} (e^{- 0.04 t} e^{\frac{t}{25}})$

解题步骤 3.4.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$e^{\frac{t}{25}} \frac{d T}{d t} + \frac{e^{\frac{t}{25}} T}{25} = \frac{16}{5} e^{- 0.04 t + \frac{t}{25}}$

解题步骤 3.4.3

要将 $- 0.04 t$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{25}{25}$ 。

$e^{\frac{t}{25}} \frac{d T}{d t} + \frac{e^{\frac{t}{25}} T}{25} = \frac{16}{5} e^{- 0.04 t \cdot \frac{25}{25} + \frac{t}{25}}$

解题步骤 3.4.4

组合 $- 0.04 t$ 和 $\frac{25}{25}$ 。

$e^{\frac{t}{25}} \frac{d T}{d t} + \frac{e^{\frac{t}{25}} T}{25} = \frac{16}{5} e^{\frac{- 0.04 t \cdot 25}{25} + \frac{t}{25}}$

解题步骤 3.4.5

在公分母上合并分子。

$e^{\frac{t}{25}} \frac{d T}{d t} + \frac{e^{\frac{t}{25}} T}{25} = \frac{16}{5} e^{\frac{- 0.04 t \cdot 25 + t}{25}}$

解题步骤 3.4.6

化简分子。

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解题步骤 3.4.6.1

从 $- 0.04 t \cdot 25 + t$ 中分解出因数 $t$ 。

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解题步骤 3.4.6.1.1

从 $- 0.04 t \cdot 25$ 中分解出因数 $t$ 。

$e^{\frac{t}{25}} \frac{d T}{d t} + \frac{e^{\frac{t}{25}} T}{25} = \frac{16}{5} e^{\frac{t (- 0.04 \cdot 25) + t}{25}}$

解题步骤 3.4.6.1.2

对 $t$ 进行 $1$ 次方运算。

$e^{\frac{t}{25}} \frac{d T}{d t} + \frac{e^{\frac{t}{25}} T}{25} = \frac{16}{5} e^{\frac{t (- 0.04 \cdot 25) + t^{1}}{25}}$

解题步骤 3.4.6.1.3

从 $t^{1}$ 中分解出因数 $t$ 。

$e^{\frac{t}{25}} \frac{d T}{d t} + \frac{e^{\frac{t}{25}} T}{25} = \frac{16}{5} e^{\frac{t (- 0.04 \cdot 25) + t \cdot 1}{25}}$

解题步骤 3.4.6.1.4

从 $t (- 0.04 \cdot 25) + t \cdot 1$ 中分解出因数 $t$ 。

$e^{\frac{t}{25}} \frac{d T}{d t} + \frac{e^{\frac{t}{25}} T}{25} = \frac{16}{5} e^{\frac{t (- 0.04 \cdot 25 + 1)}{25}}$

解题步骤 3.4.6.2

将 $- 0.04$ 乘以 $25$ 。

$e^{\frac{t}{25}} \frac{d T}{d t} + \frac{e^{\frac{t}{25}} T}{25} = \frac{16}{5} e^{\frac{t (- 1 + 1)}{25}}$

解题步骤 3.4.6.3

将 $- 1$ 和 $1$ 相加。

$e^{\frac{t}{25}} \frac{d T}{d t} + \frac{e^{\frac{t}{25}} T}{25} = \frac{16}{5} e^{\frac{t \cdot 0}{25}}$

解题步骤 3.4.7

将 $t$ 乘以 $0$ 。

$e^{\frac{t}{25}} \frac{d T}{d t} + \frac{e^{\frac{t}{25}} T}{25} = \frac{16}{5} e^{\frac{0}{25}}$

解题步骤 3.4.8

用 $0$ 除以 $25$ 。

$e^{\frac{t}{25}} \frac{d T}{d t} + \frac{e^{\frac{t}{25}} T}{25} = \frac{16}{5} e^{0}$

解题步骤 3.5

化简 $\frac{16}{5} e^{0}$ 。

$e^{\frac{t}{25}} \frac{d T}{d t} + \frac{e^{\frac{t}{25}} T}{25} = \frac{16}{5}$

解题步骤 3.6

将 $e^{\frac{t}{25}} \frac{d T}{d t} + \frac{e^{\frac{t}{25}} T}{25} = \frac{16}{5}$ 中的因式重新排序。

$e^{\frac{t}{25}} \frac{d T}{d t} + \frac{T e^{\frac{t}{25}}}{25} = \frac{16}{5}$

解题步骤 4

将左边重写为对积求导的结果。

$\frac{d}{d t} [e^{\frac{t}{25}} T] = \frac{16}{5}$

解题步骤 5

在两边建立积分。

$\int \frac{d}{d t} [e^{\frac{t}{25}} T] d t = \int \frac{16}{5} d t$

解题步骤 6

对左边积分。

$e^{\frac{t}{25}} T = \int \frac{16}{5} d t$

解题步骤 7

应用常数不变法则。

$e^{\frac{t}{25}} T = \frac{16}{5} t + C$

解题步骤 8

将 $e^{\frac{t}{25}} T = \frac{16}{5} t + C$ 中的每一项除以 $e^{\frac{t}{25}}$ 并化简。

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解题步骤 8.1

将 $e^{\frac{t}{25}} T = \frac{16}{5} t + C$ 中的每一项都除以 $e^{\frac{t}{25}}$ 。

$\frac{e^{\frac{t}{25}} T}{e^{\frac{t}{25}}} = \frac{\frac{16}{5} t}{e^{\frac{t}{25}}} + \frac{C}{e^{\frac{t}{25}}}$

解题步骤 8.2

化简左边。

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解题步骤 8.2.1

约去 $e^{\frac{t}{25}}$ 的公因数。

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解题步骤 8.2.1.1

约去公因数。

$\frac{e^{\frac{t}{25}} T}{e^{\frac{t}{25}}} = \frac{\frac{16}{5} t}{e^{\frac{t}{25}}} + \frac{C}{e^{\frac{t}{25}}}$

解题步骤 8.2.1.2

用 $T$ 除以 $1$ 。

$T = \frac{\frac{16}{5} t}{e^{\frac{t}{25}}} + \frac{C}{e^{\frac{t}{25}}}$

解题步骤 8.3

化简右边。

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解题步骤 8.3.1

化简每一项。

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解题步骤 8.3.1.1

组合 $\frac{16}{5}$ 和 $t$ 。

$T = \frac{\frac{16 t}{5}}{e^{\frac{t}{25}}} + \frac{C}{e^{\frac{t}{25}}}$

解题步骤 8.3.1.2

将分子乘以分母的倒数。

$T = \frac{16 t}{5} \cdot \frac{1}{e^{\frac{t}{25}}} + \frac{C}{e^{\frac{t}{25}}}$

解题步骤 8.3.1.3

合并。

$T = \frac{16 t \cdot 1}{5 e^{\frac{t}{25}}} + \frac{C}{e^{\frac{t}{25}}}$

解题步骤 8.3.1.4

将 $16$ 乘以 $1$ 。

$T = \frac{16 t}{5 e^{\frac{t}{25}}} + \frac{C}{e^{\frac{t}{25}}}$

微积分学 示例

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