微积分学示例

$(x^{2} + 2 x y) d y = y^{2} d x$

解题步骤 1

重写微分方程以符合精确微分方程方法。

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解题步骤 1.1

从等式两边同时减去 $y^{2} d x$ 。

$(x^{2} + 2 x y) d y - y^{2} d x = 0$

解题步骤 1.2

重写。

$- y^{2} d x + (x^{2} + 2 x y) d y = 0$

解题步骤 2

求 $\frac{\partial M}{\partial y}$ 在 $M (x, y) = - y^{2}$ 的值。

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解题步骤 2.1

将 $M$ 相对于 $y$ 进行微分。

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [- y^{2}]$

解题步骤 2.2

因为 $- 1$ 对于 $y$ 是常数，所以 $- y^{2}$ 对 $y$ 的导数是 $- \frac{d}{d y} [y^{2}]$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = - \frac{d}{d y} [y^{2}]$

解题步骤 2.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 等于 $n y^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (2 y)$

解题步骤 2.4

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 2 y$

解题步骤 3

求 $\frac{\partial N}{\partial x}$ 在 $N (x, y) = x^{2} + 2 x y$ 的值。

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解题步骤 3.1

将 $N$ 相对于 $x$ 进行微分。

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x y]$

解题步骤 3.2

求微分。

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解题步骤 3.2.1

根据加法法则， $x^{2} + 2 x y$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x y]$ 。

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x y]$

解题步骤 3.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x + \frac{d}{d x} [2 x y]$

解题步骤 3.3

计算 $\frac{d}{d x} [2 x y]$ 。

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解题步骤 3.3.1

因为 $2 y$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x y$ 对 $x$ 的导数是 $2 y \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x + 2 y \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 3.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x + 2 y \cdot 1$

解题步骤 3.3.3

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x + 2 y$

解题步骤 4

判断 $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ 。

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解题步骤 4.1

将 $- 2 y$ 代入 $\frac{\partial M}{\partial y}$ ，将 $2 x + 2 y$ 代入 $\frac{\partial N}{\partial x}$ 。

$- 2 y = 2 x + 2 y$

解题步骤 4.2

因为左边不等于右边，所以该方程不是恒等式。

$- 2 y = 2 x + 2 y$ 不是恒等式。

解题步骤 5

求质因数分解 $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ 。

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解题步骤 5.1

代入 $- 2 y$ 替换 $\frac{\partial M}{\partial y}$ 。

$\frac{- 2 y - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}$

解题步骤 5.2

代入 $2 x + 2 y$ 替换 $\frac{\partial N}{\partial x}$ 。

$\frac{- 2 y - (2 x + 2 y)}{N}$

解题步骤 5.3

代入 $x^{2} + 2 x y$ 替换 $N$ 。

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解题步骤 5.3.1

代入 $x^{2} + 2 x y$ 替换 $N$ 。

$\frac{- 2 y - (2 x + 2 y)}{x^{2} + 2 x y}$

解题步骤 5.3.2

化简分子。

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解题步骤 5.3.2.1

运用分配律。

$\frac{- 2 y - (2 x) - (2 y)}{x^{2} + 2 x y}$

解题步骤 5.3.2.2

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{- 2 y - 2 x - (2 y)}{x^{2} + 2 x y}$

解题步骤 5.3.2.3

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{- 2 y - 2 x - 2 y}{x^{2} + 2 x y}$

解题步骤 5.3.2.4

从 $- 2 y$ 中减去 $2 y$ 。

$\frac{- 2 x - 4 y}{x^{2} + 2 x y}$

解题步骤 5.3.2.5

从 $- 2 x - 4 y$ 中分解出因数 $2$ 。

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解题步骤 5.3.2.5.1

从 $- 2 x$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (- x) - 4 y}{x^{2} + 2 x y}$

解题步骤 5.3.2.5.2

从 $- 4 y$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (- x) + 2 (- 2 y)}{x^{2} + 2 x y}$

解题步骤 5.3.2.5.3

从 $2 (- x) + 2 (- 2 y)$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (- x - 2 y)}{x^{2} + 2 x y}$

解题步骤 5.3.3

从 $x^{2} + 2 x y$ 中分解出因数 $x$ 。

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解题步骤 5.3.3.1

从 $x^{2}$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{2 (- x - 2 y)}{x \cdot x + 2 x y}$

解题步骤 5.3.3.2

从 $2 x y$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{2 (- x - 2 y)}{x \cdot x + x (2 y)}$

解题步骤 5.3.3.3

从 $x \cdot x + x (2 y)$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{2 (- x - 2 y)}{x (x + 2 y)}$

解题步骤 5.3.4

约去 $- x - 2 y$ 和 $x + 2 y$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.4.1

从 $- x$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{2 (- (x) - 2 y)}{x (x + 2 y)}$

解题步骤 5.3.4.2

从 $- 2 y$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{2 (- (x) - (2 y))}{x (x + 2 y)}$

解题步骤 5.3.4.3

从 $- (x) - (2 y)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{2 (- (x + 2 y))}{x (x + 2 y)}$

解题步骤 5.3.4.4

将 $- (x + 2 y)$ 重写为 $- 1 (x + 2 y)$ 。

$\frac{2 (- 1 (x + 2 y))}{x (x + 2 y)}$

解题步骤 5.3.4.5

约去公因数。

$\frac{2 (- 1 (x + 2 y))}{x (x + 2 y)}$

解题步骤 5.3.4.6

重写表达式。

$\frac{2 \cdot (- 1)}{x}$

解题步骤 5.3.5

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{- 2}{x}$

解题步骤 5.3.6

将负号移到分数的前面。

$- \frac{2}{x}$

解题步骤 5.4

求质因数分解 $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ 。

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{2}{x} d x}$

解题步骤 6

计算积分 $e^{\int - \frac{2}{x} d x}$ 。

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解题步骤 6.1

由于 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{2}{x} d x}$

解题步骤 6.2

由于 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $2$ 移到积分外。

$μ (x, y) = e^{- (2 \int \frac{1}{x} d x)}$

解题步骤 6.3

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$μ (x, y) = e^{- 2 \int \frac{1}{x} d x}$

解题步骤 6.4

$\frac{1}{x}$ 对 $x$ 的积分为 $\ln (| x |)$ 。

$μ (x, y) = e^{- 2 (\ln (| x |) + C)}$

解题步骤 6.5

化简。

$μ (x, y) = e^{- 2 \ln (| x |)} + C$

解题步骤 6.6

化简每一项。

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解题步骤 6.6.1

通过将 ( RATIONALNUMBER1) 移入对数中来化简 $- 2 \ln (| x |)$ 。

$μ (x, y) = e^{\ln ({| x |}^{- 2})} + C$

解题步骤 6.6.2

指数函数和对数函数互为反函数。

$μ (x, y) = {| x |}^{- 2} + C$

解题步骤 6.6.3

去掉 ${| x |}^{- 2}$ 的绝对值符号，因为偶次幂的求幂结果恒为正。

$μ (x, y) = x^{- 2} + C$

解题步骤 6.6.4

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$μ (x, y) = \frac{1}{x^{2}} + C$

解题步骤 7

在 $- y^{2} d x + (x^{2} + 2 x y) d y = 0$ 的两边同时乘以积分因数 $\frac{1}{x^{2}}$ 。

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解题步骤 7.1

将 $- y^{2}$ 乘以 $\frac{1}{x^{2}}$ 。

$- y^{2} \frac{1}{x^{2}} d x + (x^{2} + 2 x y) d y = 0$

解题步骤 7.2

组合 $\frac{1}{x^{2}}$ 和 $y^{2}$ 。

$- \frac{y^{2}}{x^{2}} d x + (x^{2} + 2 x y) d y = 0$

解题步骤 7.3

将 $x^{2} + 2 x y$ 乘以 $\frac{1}{x^{2}}$ 。

$- \frac{y^{2}}{x^{2}} d x + (x^{2} + 2 x y) \frac{1}{x^{2}} d y = 0$

解题步骤 7.4

将 $x^{2} + 2 x y$ 乘以 $\frac{1}{x^{2}}$ 。

$- \frac{y^{2}}{x^{2}} d x + \frac{x^{2} + 2 x y}{x^{2}} d y = 0$

解题步骤 7.5

从 $x^{2} + 2 x y$ 中分解出因数 $x$ 。

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解题步骤 7.5.1

从 $x^{2}$ 中分解出因数 $x$ 。

$- \frac{y^{2}}{x^{2}} d x + \frac{x \cdot x + 2 x y}{x^{2}} d y = 0$

解题步骤 7.5.2

从 $2 x y$ 中分解出因数 $x$ 。

$- \frac{y^{2}}{x^{2}} d x + \frac{x \cdot x + x (2 y)}{x^{2}} d y = 0$

解题步骤 7.5.3

从 $x \cdot x + x (2 y)$ 中分解出因数 $x$ 。

$- \frac{y^{2}}{x^{2}} d x + \frac{x (x + 2 y)}{x^{2}} d y = 0$

解题步骤 7.6

约去公因数。

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解题步骤 7.6.1

从 $x^{2}$ 中分解出因数 $x$ 。

$- \frac{y^{2}}{x^{2}} d x + \frac{x (x + 2 y)}{x \cdot x} d y = 0$

解题步骤 7.6.2

约去公因数。

$- \frac{y^{2}}{x^{2}} d x + \frac{x (x + 2 y)}{x \cdot x} d y = 0$

解题步骤 7.6.3

重写表达式。

$- \frac{y^{2}}{x^{2}} d x + \frac{x + 2 y}{x} d y = 0$

解题步骤 8

使 $f (x, y)$ 等于 $M (x, y)$ 的积分。

$f (x, y) = \int - \frac{y^{2}}{x^{2}} d x$

解题步骤 9

对 $M (x, y) = - \frac{y^{2}}{x^{2}}$ 积分以求 $f (x, y)$ 。

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解题步骤 9.1

由于 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$f (x, y) = - \int \frac{y^{2}}{x^{2}} d x$

解题步骤 9.2

由于 $y^{2}$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $y^{2}$ 移到积分外。

$f (x, y) = - (y^{2} \int \frac{1}{x^{2}} d x)$

解题步骤 9.3

去掉圆括号。

$f (x, y) = - y^{2} \int \frac{1}{x^{2}} d x$

解题步骤 9.4

通过将 $x^{2}$ 乘以 $- 1$ 次幂来将其移出分母。

$f (x, y) = - y^{2} \int {(x^{2})}^{- 1} d x$

解题步骤 9.5

将 ${(x^{2})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 9.5.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f (x, y) = - y^{2} \int x^{2 \cdot - 1} d x$

解题步骤 9.5.2

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$f (x, y) = - y^{2} \int x^{- 2} d x$

解题步骤 9.6

根据幂法则， $x^{- 2}$ 对 $x$ 的积分是 $- x^{- 1}$ 。

$f (x, y) = - y^{2} (- x^{- 1} + C)$

解题步骤 9.7

化简答案。

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解题步骤 9.7.1

将 $- y^{2} (- x^{- 1} + C)$ 重写为 $- y^{2} (- \frac{1}{x}) + C$ 。

$f (x, y) = - y^{2} (- \frac{1}{x}) + C$

解题步骤 9.7.2

化简。

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解题步骤 9.7.2.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$f (x, y) = 1 y^{2} \frac{1}{x} + C$

解题步骤 9.7.2.2

将 $y^{2}$ 乘以 $1$ 。

$f (x, y) = y^{2} \frac{1}{x} + C$

解题步骤 9.7.2.3

组合 $y^{2}$ 和 $\frac{1}{x}$ 。

$f (x, y) = \frac{y^{2}}{x} + C$

解题步骤 10

由于 $g (y)$ 的积分将包含一个积分常数，可以用 $g (y)$ 替换 $C$ 。

$f (x, y) = \frac{y^{2}}{x} + g (y)$

解题步骤 11

设置 $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ 。

$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{x + 2 y}{x}$

解题步骤 12

求 $\frac{\partial f}{\partial y}$ 。

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解题步骤 12.1

将 $f$ 相对于 $y$ 进行微分。

$\frac{d}{d y} [\frac{y^{2}}{x} + g (y)] = \frac{x + 2 y}{x}$

解题步骤 12.2

根据加法法则， $\frac{y^{2}}{x} + g (y)$ 对 $y$ 的导数是 $\frac{d}{d y} [\frac{y^{2}}{x}] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ 。

$\frac{d}{d y} [\frac{y^{2}}{x}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x + 2 y}{x}$

解题步骤 12.3

计算 $\frac{d}{d y} [\frac{y^{2}}{x}]$ 。

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解题步骤 12.3.1

因为 $\frac{1}{x}$ 对于 $y$ 是常数，所以 $\frac{y^{2}}{x}$ 对 $y$ 的导数是 $\frac{1}{x} \frac{d}{d y} [y^{2}]$ 。

$\frac{1}{x} \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x + 2 y}{x}$

解题步骤 12.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 等于 $n y^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$\frac{1}{x} (2 y) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x + 2 y}{x}$

解题步骤 12.3.3

组合 $2$ 和 $\frac{1}{x}$ 。

$\frac{2}{x} y + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x + 2 y}{x}$

解题步骤 12.3.4

组合 $\frac{2}{x}$ 和 $y$ 。

$\frac{2 y}{x} + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x + 2 y}{x}$

解题步骤 12.4

使用函数法则进行微分，即 $g (y)$ 的导数为 $\frac{d g}{d y}$ 。

$\frac{2 y}{x} + \frac{d g}{d y} = \frac{x + 2 y}{x}$

解题步骤 12.5

重新排序项。

$\frac{d g}{d y} + \frac{2 y}{x} = \frac{x + 2 y}{x}$

解题步骤 13

求解 $\frac{d g}{d y}$ 。

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解题步骤 13.1

求解 $\frac{d g}{d y}$ 。

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解题步骤 13.1.1

将所有包含变量的项移到等式左边。

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解题步骤 13.1.1.1

从等式两边同时减去 $\frac{x + 2 y}{x}$ 。

$\frac{d g}{d y} + \frac{2 y}{x} - \frac{x + 2 y}{x} = 0$

解题步骤 13.1.1.2

在公分母上合并分子。

$\frac{d g}{d y} + \frac{2 y - (x + 2 y)}{x} = 0$

解题步骤 13.1.1.3

化简每一项。

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解题步骤 13.1.1.3.1

运用分配律。

$\frac{d g}{d y} + \frac{2 y - x - (2 y)}{x} = 0$

解题步骤 13.1.1.3.2

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{d g}{d y} + \frac{2 y - x - 2 y}{x} = 0$

解题步骤 13.1.1.4

合并 $2 y - x - 2 y$ 中相反的项。

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解题步骤 13.1.1.4.1

从 $2 y$ 中减去 $2 y$ 。

$\frac{d g}{d y} + \frac{- x + 0}{x} = 0$

解题步骤 13.1.1.4.2

将 $- x$ 和 $0$ 相加。

$\frac{d g}{d y} + \frac{- x}{x} = 0$

解题步骤 13.1.1.5

约去 $x$ 的公因数。

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解题步骤 13.1.1.5.1

约去公因数。

$\frac{d g}{d y} + \frac{- x}{x} = 0$

解题步骤 13.1.1.5.2

用 $- 1$ 除以 $1$ 。

$\frac{d g}{d y} - 1 = 0$

解题步骤 13.1.2

在等式两边都加上 $1$ 。

$\frac{d g}{d y} = 1$

解题步骤 14

求 $1$ 的不定积分，以求出 $g (y)$ 。

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解题步骤 14.1

对 $\frac{d g}{d y} = 1$ 的两边积分。

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int d y$

解题步骤 14.2

计算 $\int \frac{d g}{d y} d y$ 。

$g (y) = \int d y$

解题步骤 14.3

应用常数不变法则。

$g (y) = y + C$

解题步骤 15

在 $f (x, y) = \frac{y^{2}}{x} + g (y)$ 中代入 $g (y)$ 。

$f (x, y) = \frac{y^{2}}{x} + y + C$

微积分学 示例

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