微积分学示例

$\frac{d y}{d x} + 2 x y = y$

解题步骤 1

分离变量。

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解题步骤 1.1

从等式两边同时减去 $2 x y$ 。

$\frac{d y}{d x} = y - 2 x y$

解题步骤 1.2

从 $y - 2 x y$ 中分解出因数 $y$ 。

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解题步骤 1.2.1

对 $y$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{d y}{d x} = y^{1} - 2 x y$

解题步骤 1.2.2

从 $y^{1}$ 中分解出因数 $y$ 。

$\frac{d y}{d x} = y \cdot 1 - 2 x y$

解题步骤 1.2.3

从 $- 2 x y$ 中分解出因数 $y$ 。

$\frac{d y}{d x} = y \cdot 1 + y (- 2 x)$

解题步骤 1.2.4

从 $y \cdot 1 + y (- 2 x)$ 中分解出因数 $y$ 。

$\frac{d y}{d x} = y (1 - 2 x)$

解题步骤 1.3

两边同时乘以 $\frac{1}{y}$ 。

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y (1 - 2 x))$

解题步骤 1.4

约去 $y$ 的公因数。

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解题步骤 1.4.1

约去公因数。

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y (1 - 2 x))$

解题步骤 1.4.2

重写表达式。

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = 1 - 2 x$

解题步骤 1.5

重写该方程。

$\frac{1}{y} d y = (1 - 2 x) d x$

解题步骤 2

对两边积分。

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解题步骤 2.1

在两边建立积分。

$\int \frac{1}{y} d y = \int 1 - 2 x d x$

解题步骤 2.2

$\frac{1}{y}$ 对 $y$ 的积分为 $\ln (| y |)$ 。

$\ln (| y |) + C_{1} = \int 1 - 2 x d x$

解题步骤 2.3

对右边积分。

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解题步骤 2.3.1

将单个积分拆分为多个积分。

$\ln (| y |) + C_{1} = \int d x + \int - 2 x d x$

解题步骤 2.3.2

应用常数不变法则。

$\ln (| y |) + C_{1} = x + C_{2} + \int - 2 x d x$

解题步骤 2.3.3

由于 $- 2$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 2$ 移到积分外。

$\ln (| y |) + C_{1} = x + C_{2} - 2 \int x d x$

解题步骤 2.3.4

根据幂法则， $x$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{2} x^{2}$ 。

$\ln (| y |) + C_{1} = x + C_{2} - 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{3})$

解题步骤 2.3.5

化简。

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解题步骤 2.3.5.1

化简。

$\ln (| y |) + C_{1} = x - 2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{4}$

解题步骤 2.3.5.2

化简。

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解题步骤 2.3.5.2.1

组合 $- 2$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$\ln (| y |) + C_{1} = x + \frac{- 2}{2} x^{2} + C_{4}$

解题步骤 2.3.5.2.2

约去 $- 2$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.3.5.2.2.1

从 $- 2$ 中分解出因数 $2$ 。

$\ln (| y |) + C_{1} = x + \frac{2 \cdot - 1}{2} x^{2} + C_{4}$

解题步骤 2.3.5.2.2.2

约去公因数。

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解题步骤 2.3.5.2.2.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$\ln (| y |) + C_{1} = x + \frac{2 \cdot - 1}{2 (1)} x^{2} + C_{4}$

解题步骤 2.3.5.2.2.2.2

约去公因数。

$\ln (| y |) + C_{1} = x + \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1} x^{2} + C_{4}$

解题步骤 2.3.5.2.2.2.3

重写表达式。

$\ln (| y |) + C_{1} = x + \frac{- 1}{1} x^{2} + C_{4}$

解题步骤 2.3.5.2.2.2.4

用 $- 1$ 除以 $1$ 。

$\ln (| y |) + C_{1} = x - x^{2} + C_{4}$

解题步骤 2.3.6

重新排序项。

$\ln (| y |) + C_{1} = - x^{2} + x + C_{4}$

解题步骤 2.4

将右边的积分常数分组为 $C$ 。

$\ln (| y |) = - x^{2} + x + C$

解题步骤 3

求解 $y$ 。

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解题步骤 3.1

要求解 $y$ ，请利用对数的性质重写方程。

$e^{\ln (| y |)} = e^{- x^{2} + x + C}$

解题步骤 3.2

使用对数的定义将 $\ln (| y |) = - x^{2} + x + C$ 重写成指数形式。如果 $x$ 和 $b$ 是正实数且 $b \neq 1$ ，则 $\log_{b} (x) = y$ 等价于 $b^{y} = x$ 。

$e^{- x^{2} + x + C} = | y |$

解题步骤 3.3

求解 $y$ 。

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解题步骤 3.3.1

将方程重写为 $| y | = e^{- x^{2} + x + C}$ 。

$| y | = e^{- x^{2} + x + C}$

解题步骤 3.3.2

去掉绝对值项。因为 $| x | = \pm x$ ，所以这将使方程右边新增 $\pm$ 。

$y = \pm e^{- x^{2} + x + C}$

解题步骤 4

将常数项组合在一起。

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解题步骤 4.1

将 $e^{- x^{2} + x + C}$ 重写为 $e^{- x^{2} + x} e^{C}$ 。

$y = \pm e^{- x^{2} + x} e^{C}$

解题步骤 4.2

将 $e^{- x^{2} + x}$ 和 $e^{C}$ 重新排序。

$y = \pm e^{C} e^{- x^{2} + x}$

解题步骤 4.3

用加号或减号合并常数。

$y = C e^{- x^{2} + x}$

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