微积分学示例

$\frac{d y}{d x} = x \sin (x)$

解题步骤 1

重写该方程。

$d y = x \sin (x) d x$

解题步骤 2

对两边积分。

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解题步骤 2.1

在两边建立积分。

$\int d y = \int x \sin (x) d x$

解题步骤 2.2

应用常数不变法则。

$y + C_{1} = \int x \sin (x) d x$

解题步骤 2.3

对右边积分。

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解题步骤 2.3.1

利用公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ 来分部求积分，其中 $u = x$ ， $d v = \sin (x)$ 。

$y + C_{1} = x (- \cos (x)) - \int - \cos (x) d x$

解题步骤 2.3.2

由于 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$y + C_{1} = x (- \cos (x)) - - \int \cos (x) d x$

解题步骤 2.3.3

化简。

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解题步骤 2.3.3.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$y + C_{1} = x (- \cos (x)) + 1 \int \cos (x) d x$

解题步骤 2.3.3.2

将 $\int \cos (x) d x$ 乘以 $1$ 。

$y + C_{1} = x (- \cos (x)) + \int \cos (x) d x$

解题步骤 2.3.4

$\cos (x)$ 对 $x$ 的积分为 $\sin (x)$ 。

$y + C_{1} = x (- \cos (x)) + \sin (x) + C_{2}$

解题步骤 2.3.5

将 $x (- \cos (x)) + \sin (x) + C_{2}$ 重写为 $- x \cos (x) + \sin (x) + C_{2}$ 。

$y + C_{1} = - x \cos (x) + \sin (x) + C_{2}$

解题步骤 2.4

将右边的积分常数分组为 $K$ 。

$y = - x \cos (x) + \sin (x) + K$

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