微积分学示例

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{3} - 21 x}{5 + 4 x - x^{2}}$

解题步骤 1

重写该方程。

$d y = \frac{x^{3} - 21 x}{5 + 4 x - x^{2}} d x$

解题步骤 2

对两边积分。

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解题步骤 2.1

在两边建立积分。

$\int d y = \int \frac{x^{3} - 21 x}{5 + 4 x - x^{2}} d x$

解题步骤 2.2

应用常数不变法则。

$y + C_{1} = \int \frac{x^{3} - 21 x}{5 + 4 x - x^{2}} d x$

解题步骤 2.3

对右边积分。

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解题步骤 2.3.1

将 $5$ 和 $4 x$ 重新排序。

$y + C_{1} = \int \frac{x^{3} - 21 x}{4 x + 5 - x^{2}} d x$

解题步骤 2.3.2

移动 $5$ 。

$y + C_{1} = \int \frac{x^{3} - 21 x}{4 x - x^{2} + 5} d x$

解题步骤 2.3.3

将 $4 x$ 和 $- x^{2}$ 重新排序。

$y + C_{1} = \int \frac{x^{3} - 21 x}{- x^{2} + 4 x + 5} d x$

解题步骤 2.3.4

用 $x^{3} - 21 x$ 除以 $- x^{2} + 4 x + 5$ 。

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解题步骤 2.3.4.1

建立要用于相除的多项式。如果不是对于所有指数都有对应的项，则插入带 $0$ 值的项。

$x^{2}$

$4 x$

$5$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$21 x$

$0$

解题步骤 2.3.4.2

将被除数中的最高阶项 $x^{3}$ 除以除数中的最高阶项 $- x^{2}$ 。

$x$

$x^{2}$

$4 x$

$5$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$21 x$

$0$

解题步骤 2.3.4.3

将新的商式项乘以除数。

$x$

$x^{2}$

$4 x$

$5$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$21 x$

$0$

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$5 x$

解题步骤 2.3.4.4

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $x^{3} - 4 x^{2} - 5 x$ 中的所有符号

$x$

$x^{2}$

$4 x$

$5$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$21 x$

$0$

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$5 x$

解题步骤 2.3.4.5

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

$x$

$x^{2}$

$4 x$

$5$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$21 x$

$0$

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$5 x$

$4 x^{2}$

$16 x$

解题步骤 2.3.4.6

从原来的被除数向下提取下一项到当前被除数中。

$x$

$x^{2}$

$4 x$

$5$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$21 x$

$0$

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$5 x$

$4 x^{2}$

$16 x$

$0$

解题步骤 2.3.4.7

将被除数中的最高阶项 $4 x^{2}$ 除以除数中的最高阶项 $- x^{2}$ 。

$x$

$4$

$x^{2}$

$4 x$

$5$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$21 x$

$0$

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$5 x$

$4 x^{2}$

$16 x$

$0$

解题步骤 2.3.4.8

将新的商式项乘以除数。

$x$

$4$

$x^{2}$

$4 x$

$5$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$21 x$

$0$

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$5 x$

$4 x^{2}$

$16 x$

$0$

$4 x^{2}$

$16 x$

$20$

解题步骤 2.3.4.9

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $4 x^{2} - 16 x - 20$ 中的所有符号

$x$

$4$

$x^{2}$

$4 x$

$5$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$21 x$

$0$

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$5 x$

$4 x^{2}$

$16 x$

$0$

$4 x^{2}$

$16 x$

$20$

解题步骤 2.3.4.10

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

$x$

$4$

$x^{2}$

$4 x$

$5$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$21 x$

$0$

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$5 x$

$4 x^{2}$

$16 x$

$0$

$4 x^{2}$

$16 x$

$20$

解题步骤 2.3.4.11

最终答案为商加上余数除以除数。

$y + C_{1} = \int - x - 4 + \frac{20}{- x^{2} + 4 x + 5} d x$

解题步骤 2.3.5

将单个积分拆分为多个积分。

$y + C_{1} = \int - x d x + \int - 4 d x + \int \frac{20}{- x^{2} + 4 x + 5} d x$

解题步骤 2.3.6

由于 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$y + C_{1} = - \int x d x + \int - 4 d x + \int \frac{20}{- x^{2} + 4 x + 5} d x$

解题步骤 2.3.7

根据幂法则， $x$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{2} x^{2}$ 。

$y + C_{1} = - (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2}) + \int - 4 d x + \int \frac{20}{- x^{2} + 4 x + 5} d x$

解题步骤 2.3.8

应用常数不变法则。

$y + C_{1} = - (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2}) - 4 x + C_{3} + \int \frac{20}{- x^{2} + 4 x + 5} d x$

解题步骤 2.3.9

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $x^{2}$ 。

$y + C_{1} = - (\frac{x^{2}}{2} + C_{2}) - 4 x + C_{3} + \int \frac{20}{- x^{2} + 4 x + 5} d x$

解题步骤 2.3.10

由于 $20$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $20$ 移到积分外。

$y + C_{1} = - (\frac{x^{2}}{2} + C_{2}) - 4 x + C_{3} + 20 \int \frac{1}{- x^{2} + 4 x + 5} d x$

解题步骤 2.3.11

用部分分式分解写出分数。

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解题步骤 2.3.11.1

分解分数并乘以公分母。

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解题步骤 2.3.11.1.1

分组因式分解。

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解题步骤 2.3.11.1.1.1

对于 $a x^{2} + b x + c$ 形式的多项式，将其中间项重写为两项之和，这两项的乘积为 $a \cdot c = - 1 \cdot 5 = - 5$ 并且它们的和为 $b = 4$ 。

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解题步骤 2.3.11.1.1.1.1

从 $4 x$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{1}{- x^{2} + 4 (x) + 5}$

解题步骤 2.3.11.1.1.1.2

把 $4$ 重写为 $- 1$ 加 $5$

$\frac{1}{- x^{2} + (- 1 + 5) x + 5}$

解题步骤 2.3.11.1.1.1.3

运用分配律。

$\frac{1}{- x^{2} - 1 x + 5 x + 5}$

解题步骤 2.3.11.1.1.2

从每组中因式分解出最大公因数。

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解题步骤 2.3.11.1.1.2.1

将首两项和最后两项分成两组。

$\frac{1}{(- x^{2} - 1 x) + 5 x + 5}$

解题步骤 2.3.11.1.1.2.2

从每组中因式分解出最大公因数 (GCF)。

$\frac{1}{x (- x - 1) - 5 (- x - 1)}$

解题步骤 2.3.11.1.1.3

通过因式分解出最大公因数 $- x - 1$ 来因式分解多项式。

$\frac{1}{(- x - 1) (x - 5)}$

解题步骤 2.3.11.1.2

对于分母中的每一个因式，使用该因式为分母、未知值为分子来创建一个新的分数。由于分母中的因式是线性的，在它的位置 $A$ 上放置单个变量。

$\frac{A}{- x - 1}$

解题步骤 2.3.11.1.3

对于分母中的每一个因式，使用该因式为分母、未知值为分子来创建一个新的分数。由于分母中的因式是线性的，在它的位置 $B$ 上放置单个变量。

$\frac{A}{- x - 1} + \frac{B}{x - 5}$

解题步骤 2.3.11.1.4

将方程中的每个分数乘以原表达式中的分母。在本例中，分母为 $(- x - 1) (x - 5)$ 。

$\frac{1 (- x - 1) (x - 5)}{(- x - 1) (x - 5)} = \frac{(A) (- x - 1) (x - 5)}{- x - 1} + \frac{(B) (- x - 1) (x - 5)}{x - 5}$

解题步骤 2.3.11.1.5

约去 $- x - 1$ 的公因数。

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解题步骤 2.3.11.1.5.1

约去公因数。

$\frac{1 (- x - 1) (x - 5)}{(- x - 1) (x - 5)} = \frac{(A) (- x - 1) (x - 5)}{- x - 1} + \frac{(B) (- x - 1) (x - 5)}{x - 5}$

解题步骤 2.3.11.1.5.2

重写表达式。

$\frac{1 (x - 5)}{x - 5} = \frac{(A) (- x - 1) (x - 5)}{- x - 1} + \frac{(B) (- x - 1) (x - 5)}{x - 5}$

解题步骤 2.3.11.1.6

约去 $x - 5$ 的公因数。

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解题步骤 2.3.11.1.6.1

约去公因数。

$\frac{1 (x - 5)}{x - 5} = \frac{(A) (- x - 1) (x - 5)}{- x - 1} + \frac{(B) (- x - 1) (x - 5)}{x - 5}$

解题步骤 2.3.11.1.6.2

重写表达式。

$1 = \frac{(A) (- x - 1) (x - 5)}{- x - 1} + \frac{(B) (- x - 1) (x - 5)}{x - 5}$

解题步骤 2.3.11.1.7

化简每一项。

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解题步骤 2.3.11.1.7.1

约去 $- x - 1$ 的公因数。

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解题步骤 2.3.11.1.7.1.1

约去公因数。

$1 = \frac{A (- x - 1) (x - 5)}{- x - 1} + \frac{(B) (- x - 1) (x - 5)}{x - 5}$

解题步骤 2.3.11.1.7.1.2

用 $(A) (x - 5)$ 除以 $1$ 。

$1 = (A) (x - 5) + \frac{(B) (- x - 1) (x - 5)}{x - 5}$

解题步骤 2.3.11.1.7.2

运用分配律。

$1 = A x + A \cdot - 5 + \frac{(B) (- x - 1) (x - 5)}{x - 5}$

解题步骤 2.3.11.1.7.3

将 $- 5$ 移到 $A$ 的左侧。

$1 = A x - 5 \cdot A + \frac{(B) (- x - 1) (x - 5)}{x - 5}$

解题步骤 2.3.11.1.7.4

约去 $x - 5$ 的公因数。

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解题步骤 2.3.11.1.7.4.1

约去公因数。

$1 = A x - 5 A + \frac{(B) (- x - 1) (x - 5)}{x - 5}$

解题步骤 2.3.11.1.7.4.2

用 $(B) (- x - 1)$ 除以 $1$ 。

$1 = A x - 5 A + (B) (- x - 1)$

解题步骤 2.3.11.1.7.5

运用分配律。

$1 = A x - 5 A + B (- x) + B \cdot - 1$

解题步骤 2.3.11.1.7.6

使用乘法的交换性质重写。

$1 = A x - 5 A - B x + B \cdot - 1$

解题步骤 2.3.11.1.7.7

将 $- 1$ 移到 $B$ 的左侧。

$1 = A x - 5 A - B x - 1 \cdot B$

解题步骤 2.3.11.1.7.8

将 $- 1 B$ 重写为 $- B$ 。

$1 = A x - 5 A - B x - B$

解题步骤 2.3.11.1.8

化简表达式。

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解题步骤 2.3.11.1.8.1

移动 $B$ 。

$1 = A x - 5 A - x B - B$

解题步骤 2.3.11.1.8.2

移动 $- 5 A$ 。

$1 = A x - x B - 5 A - B$

解题步骤 2.3.11.2

为部分分式变量创建方程, 并使用它们建立方程组。

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解题步骤 2.3.11.2.1

使方程两边 $x$ 的系数相等，从而为部分分式变量创建一个等式。要使等式成立，等式两边的相应系数必须相等。

$0 = A - 1 B$

解题步骤 2.3.11.2.2

使方程两边不含 $x$ 的各项系数相等，从而为部分分式变量创建一个等式。要使等式成立，等式两边的相应系数必须相等。

$1 = - 5 A - 1 B$

解题步骤 2.3.11.2.3

建立方程组以求部分分式的系数。

$0 = A - 1 B$

$1 = - 5 A - 1 B$

$0 = A - 1 B$

$1 = - 5 A - 1 B$

解题步骤 2.3.11.3

求解方程组。

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解题步骤 2.3.11.3.1

在 $0 = A - 1 B$ 中求解 $A$ 。

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解题步骤 2.3.11.3.1.1

将方程重写为 $A - 1 B = 0$ 。

$A - 1 B = 0$

$1 = - 5 A - 1 B$

解题步骤 2.3.11.3.1.2

将 $- 1 B$ 重写为 $- B$ 。

$A - B = 0$

$1 = - 5 A - 1 B$

解题步骤 2.3.11.3.1.3

在等式两边都加上 $B$ 。

$A = B$

$1 = - 5 A - 1 B$

$A = B$

$1 = - 5 A - 1 B$

解题步骤 2.3.11.3.2

将每个方程中所有出现的 $A$ 替换成 $B$ 。

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解题步骤 2.3.11.3.2.1

使用 $B$ 替换 $1 = - 5 A - 1 B$ 中所有出现的 $A$ .

$1 = - 5 B - 1 B$

$A = B$

解题步骤 2.3.11.3.2.2

化简右边。

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解题步骤 2.3.11.3.2.2.1

化简 $- 5 B - 1 B$ 。

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解题步骤 2.3.11.3.2.2.1.1

将 $- 1 B$ 重写为 $- B$ 。

$1 = - 5 B - B$

$A = B$

解题步骤 2.3.11.3.2.2.1.2

从 $- 5 B$ 中减去 $B$ 。

$1 = - 6 B$

$A = B$

$1 = - 6 B$

$A = B$

$1 = - 6 B$

$A = B$

$1 = - 6 B$

$A = B$

解题步骤 2.3.11.3.3

在 $1 = - 6 B$ 中求解 $B$ 。

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解题步骤 2.3.11.3.3.1

将方程重写为 $- 6 B = 1$ 。

$- 6 B = 1$

$A = B$

解题步骤 2.3.11.3.3.2

将 $- 6 B = 1$ 中的每一项除以 $- 6$ 并化简。

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解题步骤 2.3.11.3.3.2.1

将 $- 6 B = 1$ 中的每一项都除以 $- 6$ 。

$\frac{- 6 B}{- 6} = \frac{1}{- 6}$

$A = B$

解题步骤 2.3.11.3.3.2.2

化简左边。

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解题步骤 2.3.11.3.3.2.2.1

约去 $- 6$ 的公因数。

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解题步骤 2.3.11.3.3.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{- 6 B}{- 6} = \frac{1}{- 6}$

$A = B$

解题步骤 2.3.11.3.3.2.2.1.2

用 $B$ 除以 $1$ 。

$B = \frac{1}{- 6}$

$A = B$

$B = \frac{1}{- 6}$

$A = B$

$B = \frac{1}{- 6}$

$A = B$

解题步骤 2.3.11.3.3.2.3

化简右边。

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解题步骤 2.3.11.3.3.2.3.1

将负号移到分数的前面。

$B = - \frac{1}{6}$

$A = B$

$B = - \frac{1}{6}$

$A = B$

$B = - \frac{1}{6}$

$A = B$

$B = - \frac{1}{6}$

$A = B$

解题步骤 2.3.11.3.4

将每个方程中所有出现的 $B$ 替换成 $- \frac{1}{6}$ 。

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解题步骤 2.3.11.3.4.1

使用 $- \frac{1}{6}$ 替换 $A = B$ 中所有出现的 $B$ .

$A = - \frac{1}{6}$

$B = - \frac{1}{6}$

解题步骤 2.3.11.3.4.2

化简左边。

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解题步骤 2.3.11.3.4.2.1

去掉圆括号。

$A = - \frac{1}{6}$

$B = - \frac{1}{6}$

$A = - \frac{1}{6}$

$B = - \frac{1}{6}$

$A = - \frac{1}{6}$

$B = - \frac{1}{6}$

解题步骤 2.3.11.3.5

列出所有解。

$A = - \frac{1}{6}, B = - \frac{1}{6}$

解题步骤 2.3.11.4

将 $\frac{A}{- x - 1} + \frac{B}{x - 5}$ 中的每个部分分式的系数替换为求得的 $A$ 和 $B$ 的值。

$\frac{- \frac{1}{6}}{- x - 1} + \frac{- \frac{1}{6}}{x - 5}$

解题步骤 2.3.11.5

化简。

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解题步骤 2.3.11.5.1

将分子乘以分母的倒数。

$- \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{- x - 1} + \frac{- \frac{1}{6}}{x - 5}$

解题步骤 2.3.11.5.2

将 $\frac{1}{- x - 1}$ 乘以 $\frac{1}{6}$ 。

$- \frac{1}{(- x - 1) \cdot 6} + \frac{- \frac{1}{6}}{x - 5}$

解题步骤 2.3.11.5.3

将 $6$ 移到 $- x - 1$ 的左侧。

$- \frac{1}{6 \cdot (- x - 1)} + \frac{- \frac{1}{6}}{x - 5}$

解题步骤 2.3.11.5.4

从 $- x$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$- \frac{1}{6 (- (x) - 1)} + \frac{- \frac{1}{6}}{x - 5}$

解题步骤 2.3.11.5.5

将 $- 1$ 重写为 $- 1 (1)$ 。

$- \frac{1}{6 (- (x) - 1 \cdot 1)} + \frac{- \frac{1}{6}}{x - 5}$

解题步骤 2.3.11.5.6

从 $- (x) - 1 (1)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$- \frac{1}{6 (- (x + 1))} + \frac{- \frac{1}{6}}{x - 5}$

解题步骤 2.3.11.5.7

化简表达式。

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解题步骤 2.3.11.5.7.1

将 $- (x + 1)$ 重写为 $- 1 (x + 1)$ 。

$- \frac{1}{6 (- 1 (x + 1))} + \frac{- \frac{1}{6}}{x - 5}$

解题步骤 2.3.11.5.7.2

将负号移到分数的前面。

$\frac{1}{6 (x + 1)} + \frac{- \frac{1}{6}}{x - 5}$

解题步骤 2.3.11.5.7.3

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$1 (\frac{1}{6 (x + 1)}) + \frac{- \frac{1}{6}}{x - 5}$

解题步骤 2.3.11.5.7.4

将 $\frac{1}{6 (x + 1)}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{6 (x + 1)} + \frac{- \frac{1}{6}}{x - 5}$

解题步骤 2.3.11.5.8

将分子乘以分母的倒数。

$\frac{1}{6 (x + 1)} - \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{x - 5}$

解题步骤 2.3.11.5.9

将 $\frac{1}{x - 5}$ 乘以 $\frac{1}{6}$ 。

$\frac{1}{6 (x + 1)} - \frac{1}{(x - 5) \cdot 6}$

解题步骤 2.3.11.5.10

将 $6$ 移到 $x - 5$ 的左侧。

$y + C_{1} = - (\frac{x^{2}}{2} + C_{2}) - 4 x + C_{3} + 20 \int \frac{1}{6 (x + 1)} - \frac{1}{6 (x - 5)} d x$

解题步骤 2.3.12

将单个积分拆分为多个积分。

$y + C_{1} = - (\frac{x^{2}}{2} + C_{2}) - 4 x + C_{3} + 20 (\int \frac{1}{6 (x + 1)} d x + \int - \frac{1}{6 (x - 5)} d x)$

解题步骤 2.3.13

由于 $\frac{1}{6}$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $\frac{1}{6}$ 移到积分外。

$y + C_{1} = - (\frac{x^{2}}{2} + C_{2}) - 4 x + C_{3} + 20 (\frac{1}{6} \int \frac{1}{x + 1} d x + \int - \frac{1}{6 (x - 5)} d x)$

解题步骤 2.3.14

使 $u_{1} = x + 1$ 。然后使 $d u_{1} = d x$ 。使用 $u_{1}$ 和 $d$ $u_{1}$ 进行重写。

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解题步骤 2.3.14.1

设 $u_{1} = x + 1$ 。求 $\frac{d u_{1}}{d x}$ 。

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解题步骤 2.3.14.1.1

对 $x + 1$ 求导。

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

解题步骤 2.3.14.1.2

根据加法法则， $x + 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ 。

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 2.3.14.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 2.3.14.1.4

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$1 + 0$

解题步骤 2.3.14.1.5

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$1$

解题步骤 2.3.14.2

使用 $u_{1}$ 和 $d u_{1}$ 重写该问题。

$y + C_{1} = - (\frac{x^{2}}{2} + C_{2}) - 4 x + C_{3} + 20 (\frac{1}{6} \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} + \int - \frac{1}{6 (x - 5)} d x)$

解题步骤 2.3.15

$\frac{1}{u_{1}}$ 对 $u_{1}$ 的积分为 $\ln (| u_{1} |)$ 。

$y + C_{1} = - (\frac{x^{2}}{2} + C_{2}) - 4 x + C_{3} + 20 (\frac{1}{6} (\ln (| u_{1} |) + C_{4}) + \int - \frac{1}{6 (x - 5)} d x)$

解题步骤 2.3.16

由于 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$y + C_{1} = - (\frac{x^{2}}{2} + C_{2}) - 4 x + C_{3} + 20 (\frac{1}{6} (\ln (| u_{1} |) + C_{4}) - \int \frac{1}{6 (x - 5)} d x)$

解题步骤 2.3.17

由于 $\frac{1}{6}$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $\frac{1}{6}$ 移到积分外。

$y + C_{1} = - (\frac{x^{2}}{2} + C_{2}) - 4 x + C_{3} + 20 (\frac{1}{6} (\ln (| u_{1} |) + C_{4}) - (\frac{1}{6} \int \frac{1}{x - 5} d x))$

解题步骤 2.3.18

使 $u_{2} = x - 5$ 。然后使 $d u_{2} = d x$ 。使用 $u_{2}$ 和 $d$ $u_{2}$ 进行重写。

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解题步骤 2.3.18.1

设 $u_{2} = x - 5$ 。求 $\frac{d u_{2}}{d x}$ 。

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解题步骤 2.3.18.1.1

对 $x - 5$ 求导。

$\frac{d}{d x} [x - 5]$

解题步骤 2.3.18.1.2

根据加法法则， $x - 5$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ 。

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]$

解题步骤 2.3.18.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$1 + \frac{d}{d x} [- 5]$

解题步骤 2.3.18.1.4

因为 $- 5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 5$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$1 + 0$

解题步骤 2.3.18.1.5

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$1$

解题步骤 2.3.18.2

使用 $u_{2}$ 和 $d u_{2}$ 重写该问题。

$y + C_{1} = - (\frac{x^{2}}{2} + C_{2}) - 4 x + C_{3} + 20 (\frac{1}{6} (\ln (| u_{1} |) + C_{4}) - \frac{1}{6} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2})$

解题步骤 2.3.19

$\frac{1}{u_{2}}$ 对 $u_{2}$ 的积分为 $\ln (| u_{2} |)$ 。

$y + C_{1} = - (\frac{x^{2}}{2} + C_{2}) - 4 x + C_{3} + 20 (\frac{1}{6} (\ln (| u_{1} |) + C_{4}) - \frac{1}{6} (\ln (| u_{2} |) + C_{5}))$

解题步骤 2.3.20

化简。

$y + C_{1} = - \frac{1}{2} x^{2} - 4 x + 20 (\frac{1}{6} \ln (| u_{1} |) - \frac{1}{6} \ln (| u_{2} |)) + C_{6}$

解题步骤 2.3.21

代回替换每一个积分法替换变量。

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解题步骤 2.3.21.1

使用 $x + 1$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$y + C_{1} = - \frac{1}{2} x^{2} - 4 x + 20 (\frac{1}{6} \ln (| x + 1 |) - \frac{1}{6} \ln (| u_{2} |)) + C_{6}$

解题步骤 2.3.21.2

使用 $x - 5$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$y + C_{1} = - \frac{1}{2} x^{2} - 4 x + 20 (\frac{1}{6} \ln (| x + 1 |) - \frac{1}{6} \ln (| x - 5 |)) + C_{6}$

解题步骤 2.4

将右边的积分常数分组为 $C$ 。

$y = - \frac{1}{2} x^{2} - 4 x + 20 (\frac{1}{6} \ln (| x + 1 |) - \frac{1}{6} \ln (| x - 5 |)) + C$

微积分学 示例

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