微积分学示例

$\frac{d y}{d x} = \tan (x) \cos^{2} (y)$

解题步骤 1

分离变量。

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解题步骤 1.1

两边同时乘以 $\frac{1}{\cos^{2} (y)}$ 。

$\frac{1}{\cos^{2} (y)} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{\cos^{2} (y)} (\tan (x) \cos^{2} (y))$

解题步骤 1.2

化简。

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解题步骤 1.2.1

约去 $\cos^{2} (y)$ 的公因数。

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解题步骤 1.2.1.1

从 $\tan (x) \cos^{2} (y)$ 中分解出因数 $\cos^{2} (y)$ 。

$\frac{1}{\cos^{2} (y)} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{\cos^{2} (y)} (\cos^{2} (y) \tan (x))$

解题步骤 1.2.1.2

约去公因数。

$\frac{1}{\cos^{2} (y)} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{\cos^{2} (y)} (\cos^{2} (y) \tan (x))$

解题步骤 1.2.1.3

重写表达式。

$\frac{1}{\cos^{2} (y)} \frac{d y}{d x} = \tan (x)$

解题步骤 1.2.2

将 $\tan (x)$ 重写为正弦和余弦形式。

$\frac{1}{\cos^{2} (y)} \frac{d y}{d x} = \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

解题步骤 1.2.3

将 $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ 转换成 $\tan (x)$ 。

$\frac{1}{\cos^{2} (y)} \frac{d y}{d x} = \tan (x)$

解题步骤 1.3

重写该方程。

$\frac{1}{\cos^{2} (y)} d y = \tan (x) d x$

解题步骤 2

对两边积分。

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解题步骤 2.1

在两边建立积分。

$\int \frac{1}{\cos^{2} (y)} d y = \int \tan (x) d x$

解题步骤 2.2

对左边积分。

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解题步骤 2.2.1

将 $\frac{1}{\cos^{2} (y)}$ 转换成 $\sec^{2} (y)$ 。

$\int \sec^{2} (y) d y = \int \tan (x) d x$

解题步骤 2.2.2

因为 $\tan (y)$ 的导数为 $\sec^{2} (y)$ ，所以 $\sec^{2} (y)$ 的积分为 $\tan (y)$ 。

$\tan (y) + C_{1} = \int \tan (x) d x$

解题步骤 2.3

$\tan (x)$ 对 $x$ 的积分为 $\ln (| \sec (x) |)$ 。

$\tan (y) + C_{1} = \ln (| \sec (x) |) + C_{2}$

解题步骤 2.4

将右边的积分常数分组为 $C$ 。

$\tan (y) = \ln (| \sec (x) |) + C$

解题步骤 3

取方程两边的逆正切从而提取正切内的 $y$ 。

$y = \arctan (\ln (| \sec (x) |) + C)$

微积分学 示例

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