微积分学示例

$x \frac{d y}{d x} + y = x e^{x}$

解题步骤 1

检查方程的左侧是否是 $x y$ 项的导数的结果。

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解题步骤 1.1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x$ 且 $g (x) = y$ 。

$x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 1.2

将 $\frac{d}{d x} [y]$ 重写为 $y'$ 。

$x y' + y \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$x y' + y \cdot 1$

解题步骤 1.4

代入 $\frac{d y}{d x}$ 替换 $y'$ 。

$x \frac{d y}{d x} + y \cdot 1$

解题步骤 1.5

将 $y$ 和 $1$ 重新排序。

$x \frac{d y}{d x} + 1 \cdot y$

解题步骤 1.6

将 $y$ 乘以 $1$ 。

$x \frac{d y}{d x} + y$

解题步骤 2

将左边重写为对积求导的结果。

$\frac{d}{d x} [x y] = x e^{x}$

解题步骤 3

在两边建立积分。

$\int \frac{d}{d x} [x y] d x = \int x e^{x} d x$

解题步骤 4

对左边积分。

$x y = \int x e^{x} d x$

解题步骤 5

对右边积分。

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解题步骤 5.1

利用公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ 来分部求积分，其中 $u = x$ ， $d v = e^{x}$ 。

$x y = x e^{x} - \int e^{x} d x$

解题步骤 5.2

$e^{x}$ 对 $x$ 的积分为 $e^{x}$ 。

$x y = x e^{x} - (e^{x} + C)$

解题步骤 5.3

化简。

$x y = x e^{x} - e^{x} + C$

解题步骤 6

将 $x y = x e^{x} - e^{x} + C$ 中的每一项除以 $x$ 并化简。

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解题步骤 6.1

将 $x y = x e^{x} - e^{x} + C$ 中的每一项都除以 $x$ 。

$\frac{x y}{x} = \frac{x e^{x}}{x} + \frac{- e^{x}}{x} + \frac{C}{x}$

解题步骤 6.2

化简左边。

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解题步骤 6.2.1

约去 $x$ 的公因数。

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解题步骤 6.2.1.1

约去公因数。

$\frac{x y}{x} = \frac{x e^{x}}{x} + \frac{- e^{x}}{x} + \frac{C}{x}$

解题步骤 6.2.1.2

用 $y$ 除以 $1$ 。

$y = \frac{x e^{x}}{x} + \frac{- e^{x}}{x} + \frac{C}{x}$

解题步骤 6.3

化简右边。

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解题步骤 6.3.1

化简每一项。

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解题步骤 6.3.1.1

约去 $x$ 的公因数。

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解题步骤 6.3.1.1.1

约去公因数。

$y = \frac{x e^{x}}{x} + \frac{- e^{x}}{x} + \frac{C}{x}$

解题步骤 6.3.1.1.2

用 $e^{x}$ 除以 $1$ 。

$y = e^{x} + \frac{- e^{x}}{x} + \frac{C}{x}$

解题步骤 6.3.1.2

将负号移到分数的前面。

$y = e^{x} - \frac{e^{x}}{x} + \frac{C}{x}$

微积分学 示例

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