微积分学示例

$\frac{d y}{d x} = \frac{7}{{(6 + x)}^{2}}$ , $y (0) = 6$

解题步骤 1

重写该方程。

$d y = \frac{7}{{(6 + x)}^{2}} d x$

解题步骤 2

对两边积分。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1

在两边建立积分。

$\int d y = \int \frac{7}{{(6 + x)}^{2}} d x$

解题步骤 2.2

应用常数不变法则。

$y + C_{1} = \int \frac{7}{{(6 + x)}^{2}} d x$

解题步骤 2.3

对右边积分。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.3.1

由于 $7$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $7$ 移到积分外。

$y + C_{1} = 7 \int \frac{1}{{(6 + x)}^{2}} d x$

解题步骤 2.3.2

使 $u = 6 + x$ 。然后使 $d u = d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.3.2.1

设 $u = 6 + x$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.3.2.1.1

对 $6 + x$ 求导。

$\frac{d}{d x} [6 + x]$

解题步骤 2.3.2.1.2

根据加法法则， $6 + x$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [6] + \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\frac{d}{d x} [6] + \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 2.3.2.1.3

因为 $6$ 对于 $x$ 是常数，所以 $6$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$0 + \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 2.3.2.1.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$0 + 1$

解题步骤 2.3.2.1.5

将 $0$ 和 $1$ 相加。

$1$

解题步骤 2.3.2.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$y + C_{1} = 7 \int \frac{1}{u^{2}} d u$

解题步骤 2.3.3

应用指数的基本规则。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.3.3.1

通过将 $u^{2}$ 乘以 $- 1$ 次幂来将其移出分母。

$y + C_{1} = 7 \int {(u^{2})}^{- 1} d u$

解题步骤 2.3.3.2

将 ${(u^{2})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.3.3.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$y + C_{1} = 7 \int u^{2 \cdot - 1} d u$

解题步骤 2.3.3.2.2

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$y + C_{1} = 7 \int u^{- 2} d u$

解题步骤 2.3.4

根据幂法则， $u^{- 2}$ 对 $u$ 的积分是 $- u^{- 1}$ 。

$y + C_{1} = 7 (- u^{- 1} + C_{2})$

解题步骤 2.3.5

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.3.5.1

将 $7 (- u^{- 1} + C_{2})$ 重写为 $7 (- \frac{1}{u}) + C_{2}$ 。

$y + C_{1} = 7 (- \frac{1}{u}) + C_{2}$

解题步骤 2.3.5.2

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.3.5.2.1

将 $- 1$ 乘以 $7$ 。

$y + C_{1} = - 7 \frac{1}{u} + C_{2}$

解题步骤 2.3.5.2.2

组合 $- 7$ 和 $\frac{1}{u}$ 。

$y + C_{1} = \frac{- 7}{u} + C_{2}$

解题步骤 2.3.5.2.3

将负号移到分数的前面。

$y + C_{1} = - \frac{7}{u} + C_{2}$

解题步骤 2.3.6

使用 $6 + x$ 替换所有出现的 $u$ 。

$y + C_{1} = - \frac{7}{6 + x} + C_{2}$

解题步骤 2.4

将右边的积分常数分组为 $K$ 。

$y = - \frac{7}{6 + x} + K$

解题步骤 3

使用初始条件，通过将 $0$ 代入 $x$ ，将 $6$ 代入 $y$ ，在 $y = - \frac{7}{6 + x} + K$ 中求 $K$ 的值。

$6 = - \frac{7}{6 + 0} + K$

解题步骤 4

求解 $K$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.1

将方程重写为 $- \frac{7}{6 + 0} + K = 6$ 。

$- \frac{7}{6 + 0} + K = 6$

解题步骤 4.2

将 $6$ 和 $0$ 相加。

$- \frac{7}{6} + K = 6$

解题步骤 4.3

将所有不包含 $K$ 的项移到等式右边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.3.1

在等式两边都加上 $\frac{7}{6}$ 。

$K = 6 + \frac{7}{6}$

解题步骤 4.3.2

要将 $6$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{6}{6}$ 。

$K = 6 \cdot \frac{6}{6} + \frac{7}{6}$

解题步骤 4.3.3

组合 $6$ 和 $\frac{6}{6}$ 。

$K = \frac{6 \cdot 6}{6} + \frac{7}{6}$

解题步骤 4.3.4

在公分母上合并分子。

$K = \frac{6 \cdot 6 + 7}{6}$

解题步骤 4.3.5

化简分子。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.3.5.1

将 $6$ 乘以 $6$ 。

$K = \frac{36 + 7}{6}$

解题步骤 4.3.5.2

将 $36$ 和 $7$ 相加。

$K = \frac{43}{6}$

解题步骤 5

代入 $\frac{43}{6}$ 替换 $y = - \frac{7}{6 + x} + K$ 中的 $K$ 并化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.1

代入 $\frac{43}{6}$ 替换 $K$ 。

$y = - \frac{7}{6 + x} + \frac{43}{6}$

解题步骤 5.2

要将 $- \frac{7}{6 + x}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{6}{6}$ 。

$y = - \frac{7}{6 + x} \cdot \frac{6}{6} + \frac{43}{6}$

解题步骤 5.3

要将 $\frac{43}{6}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{6 + x}{6 + x}$ 。

$y = - \frac{7}{6 + x} \cdot \frac{6}{6} + \frac{43}{6} \cdot \frac{6 + x}{6 + x}$

解题步骤 5.4

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $(6 + x) \cdot 6$ 的形式。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.4.1

将 $\frac{7}{6 + x}$ 乘以 $\frac{6}{6}$ 。

$y = - \frac{7 \cdot 6}{(6 + x) \cdot 6} + \frac{43}{6} \cdot \frac{6 + x}{6 + x}$

解题步骤 5.4.2

将 $\frac{43}{6}$ 乘以 $\frac{6 + x}{6 + x}$ 。

$y = - \frac{7 \cdot 6}{(6 + x) \cdot 6} + \frac{43 (6 + x)}{6 (6 + x)}$

解题步骤 5.4.3

重新排序 $(6 + x) \cdot 6$ 的因式。

$y = - \frac{7 \cdot 6}{6 (6 + x)} + \frac{43 (6 + x)}{6 (6 + x)}$

解题步骤 5.5

在公分母上合并分子。

$y = \frac{- 7 \cdot 6 + 43 (6 + x)}{6 (6 + x)}$

解题步骤 5.6

化简分子。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.6.1

将 $- 7$ 乘以 $6$ 。

$y = \frac{- 42 + 43 (6 + x)}{6 (6 + x)}$

解题步骤 5.6.2

运用分配律。

$y = \frac{- 42 + 43 \cdot 6 + 43 x}{6 (6 + x)}$

解题步骤 5.6.3

将 $43$ 乘以 $6$ 。

$y = \frac{- 42 + 258 + 43 x}{6 (6 + x)}$

解题步骤 5.6.4

将 $- 42$ 和 $258$ 相加。

$y = \frac{216 + 43 x}{6 (6 + x)}$

微积分学 示例

微积分学示例