微积分学示例

$\frac{d y}{d x} + 2 y = x^{2}$

解题步骤 1

积分因数由公式 $e^{\int P (x) d x}$ 定义，其中 $P (x) = 2$ 。

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解题步骤 1.1

建立积分。

$e^{\int 2 d x}$

解题步骤 1.2

应用常数不变法则。

$e^{2 x + C}$

解题步骤 1.3

去掉积分常数。

$e^{2 x}$

解题步骤 2

每一项乘以积分因数 $e^{2 x}$ 。

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解题步骤 2.1

每一项乘以 $e^{2 x}$ 。

$e^{2 x} \frac{d y}{d x} + e^{2 x} (2 y) = e^{2 x} x^{2}$

解题步骤 2.2

使用乘法的交换性质重写。

$e^{2 x} \frac{d y}{d x} + 2 e^{2 x} y = e^{2 x} x^{2}$

解题步骤 2.3

将 $e^{2 x} \frac{d y}{d x} + 2 e^{2 x} y = e^{2 x} x^{2}$ 中的因式重新排序。

$e^{2 x} \frac{d y}{d x} + 2 y e^{2 x} = x^{2} e^{2 x}$

解题步骤 3

将左边重写为对积求导的结果。

$\frac{d}{d x} [e^{2 x} y] = x^{2} e^{2 x}$

解题步骤 4

在两边建立积分。

$\int \frac{d}{d x} [e^{2 x} y] d x = \int x^{2} e^{2 x} d x$

解题步骤 5

对左边积分。

$e^{2 x} y = \int x^{2} e^{2 x} d x$

解题步骤 6

对右边积分。

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解题步骤 6.1

利用公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ 来分部求积分，其中 $u = x^{2}$ ， $d v = e^{2 x}$ 。

$e^{2 x} y = x^{2} (\frac{1}{2} e^{2 x}) - \int \frac{1}{2} e^{2 x} (2 x) d x$

解题步骤 6.2

化简。

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解题步骤 6.2.1

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $e^{2 x}$ 。

$e^{2 x} y = x^{2} \frac{e^{2 x}}{2} - \int \frac{1}{2} e^{2 x} (2 x) d x$

解题步骤 6.2.2

组合 $x^{2}$ 和 $\frac{e^{2 x}}{2}$ 。

$e^{2 x} y = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - \int \frac{1}{2} e^{2 x} (2 x) d x$

解题步骤 6.3

由于 $\frac{1}{2} \cdot 2$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2} \cdot 2$ 移到积分外。

$e^{2 x} y = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{1}{2} \cdot 2 \int e^{2 x} (x) d x)$

解题步骤 6.4

化简。

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解题步骤 6.4.1

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$e^{2 x} y = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{2}{2} \int e^{2 x} (x) d x)$

解题步骤 6.4.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 6.4.2.1

约去公因数。

$e^{2 x} y = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{2}{2} \int e^{2 x} (x) d x)$

解题步骤 6.4.2.2

重写表达式。

$e^{2 x} y = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (1 \int e^{2 x} (x) d x)$

解题步骤 6.4.3

将 $\int e^{2 x} (x) d x$ 乘以 $1$ 。

$e^{2 x} y = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - \int e^{2 x} (x) d x$

解题步骤 6.5

利用公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ 来分部求积分，其中 $u = x$ ， $d v = e^{2 x}$ 。

$e^{2 x} y = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (x (\frac{1}{2} e^{2 x}) - \int \frac{1}{2} e^{2 x} d x)$

解题步骤 6.6

化简。

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解题步骤 6.6.1

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $e^{2 x}$ 。

$e^{2 x} y = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (x \frac{e^{2 x}}{2} - \int \frac{1}{2} e^{2 x} d x)$

解题步骤 6.6.2

组合 $x$ 和 $\frac{e^{2 x}}{2}$ 。

$e^{2 x} y = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \int \frac{1}{2} e^{2 x} d x)$

解题步骤 6.6.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $e^{2 x}$ 。

$e^{2 x} y = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \int \frac{e^{2 x}}{2} d x)$

解题步骤 6.7

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$e^{2 x} y = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - (\frac{1}{2} \int e^{2 x} d x))$

解题步骤 6.8

使 $u = 2 x$ 。然后使 $d u = 2 d x$ ，以便 $\frac{1}{2} d u = d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 6.8.1

设 $u = 2 x$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 6.8.1.1

对 $2 x$ 求导。

$\frac{d}{d x} [2 x]$

解题步骤 6.8.1.2

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$2 \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 6.8.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$2 \cdot 1$

解题步骤 6.8.1.4

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$2$

解题步骤 6.8.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$e^{2 x} y = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2} \int e^{u} \frac{1}{2} d u)$

解题步骤 6.9

组合 $e^{u}$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$e^{2 x} y = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2} \int \frac{e^{u}}{2} d u)$

解题步骤 6.10

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$e^{2 x} y = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \int e^{u} d u))$

解题步骤 6.11

化简。

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解题步骤 6.11.1

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $\frac{1}{2}$ 。

$e^{2 x} y = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2 \cdot 2} \int e^{u} d u)$

解题步骤 6.11.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$e^{2 x} y = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} \int e^{u} d u)$

解题步骤 6.12

$e^{u}$ 对 $u$ 的积分为 $e^{u}$ 。

$e^{2 x} y = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u} + C))$

解题步骤 6.13

化简。

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解题步骤 6.13.1

将 $\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u} + C))$ 重写为 $\frac{1}{2} x^{2} e^{2 x} - (\frac{1}{2} x e^{2 x} - \frac{1}{4} e^{u}) + C$ 。

$e^{2 x} y = \frac{1}{2} x^{2} e^{2 x} - (\frac{1}{2} x e^{2 x} - \frac{1}{4} e^{u}) + C$

解题步骤 6.13.2

化简。

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解题步骤 6.13.2.1

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $x^{2}$ 。

$e^{2 x} y = \frac{x^{2}}{2} e^{2 x} - (\frac{1}{2} x e^{2 x} - \frac{1}{4} e^{u}) + C$

解题步骤 6.13.2.2

组合 $\frac{x^{2}}{2}$ 和 $e^{2 x}$ 。

$e^{2 x} y = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{1}{2} x e^{2 x} - \frac{1}{4} e^{u}) + C$

解题步骤 6.13.2.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $x$ 。

$e^{2 x} y = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x}{2} e^{2 x} - \frac{1}{4} e^{u}) + C$

解题步骤 6.13.2.4

组合 $\frac{x}{2}$ 和 $e^{2 x}$ 。

$e^{2 x} y = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} e^{u}) + C$

解题步骤 6.13.2.5

组合 $e^{u}$ 和 $\frac{1}{4}$ 。

$e^{2 x} y = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{e^{u}}{4}) + C$

解题步骤 6.13.2.6

要将 $- (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{e^{u}}{4})$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$e^{2 x} y = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{e^{u}}{4}) \cdot \frac{2}{2} + C$

解题步骤 6.13.2.7

组合 $- (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{e^{u}}{4})$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$e^{2 x} y = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} + \frac{- (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{e^{u}}{4}) \cdot 2}{2} + C$

解题步骤 6.13.2.8

在公分母上合并分子。

$e^{2 x} y = \frac{x^{2} e^{2 x} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{e^{u}}{4}) \cdot 2}{2} + C$

解题步骤 6.13.2.9

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$e^{2 x} y = \frac{x^{2} e^{2 x} - 2 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{e^{u}}{4})}{2} + C$

解题步骤 6.14

使用 $2 x$ 替换所有出现的 $u$ 。

$e^{2 x} y = \frac{x^{2} e^{2 x} - 2 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{e^{2 x}}{4})}{2} + C$

解题步骤 6.15

化简。

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解题步骤 6.15.1

运用分配律。

$e^{2 x} y = \frac{x^{2} e^{2 x} - 2 \frac{x e^{2 x}}{2} - 2 (- \frac{e^{2 x}}{4})}{2} + C$

解题步骤 6.15.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 6.15.2.1

从 $- 2$ 中分解出因数 $2$ 。

$e^{2 x} y = \frac{x^{2} e^{2 x} + 2 (- 1) \frac{x e^{2 x}}{2} - 2 (- \frac{e^{2 x}}{4})}{2} + C$

解题步骤 6.15.2.2

约去公因数。

$e^{2 x} y = \frac{x^{2} e^{2 x} + 2 \cdot - 1 \frac{x e^{2 x}}{2} - 2 (- \frac{e^{2 x}}{4})}{2} + C$

解题步骤 6.15.2.3

重写表达式。

$e^{2 x} y = \frac{x^{2} e^{2 x} - (x e^{2 x}) - 2 (- \frac{e^{2 x}}{4})}{2} + C$

解题步骤 6.15.3

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 6.15.3.1

将 $- \frac{e^{2 x}}{4}$ 中前置负号移到分子中。

$e^{2 x} y = \frac{x^{2} e^{2 x} - (x e^{2 x}) - 2 \frac{- e^{2 x}}{4}}{2} + C$

解题步骤 6.15.3.2

从 $- 2$ 中分解出因数 $2$ 。

$e^{2 x} y = \frac{x^{2} e^{2 x} - (x e^{2 x}) + 2 (- 1) \frac{- e^{2 x}}{4}}{2} + C$

解题步骤 6.15.3.3

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$e^{2 x} y = \frac{x^{2} e^{2 x} - (x e^{2 x}) + 2 \cdot - 1 \frac{- e^{2 x}}{2 \cdot 2}}{2} + C$

解题步骤 6.15.3.4

约去公因数。

$e^{2 x} y = \frac{x^{2} e^{2 x} - (x e^{2 x}) + 2 \cdot - 1 \frac{- e^{2 x}}{2 \cdot 2}}{2} + C$

解题步骤 6.15.3.5

重写表达式。

$e^{2 x} y = \frac{x^{2} e^{2 x} - (x e^{2 x}) - \frac{- e^{2 x}}{2}}{2} + C$

解题步骤 6.15.4

化简每一项。

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解题步骤 6.15.4.1

将负号移到分数的前面。

$e^{2 x} y = \frac{x^{2} e^{2 x} - x e^{2 x} - - \frac{e^{2 x}}{2}}{2} + C$

解题步骤 6.15.4.2

乘以 $- - \frac{e^{2 x}}{2}$ 。

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解题步骤 6.15.4.2.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$e^{2 x} y = \frac{x^{2} e^{2 x} - x e^{2 x} + 1 \frac{e^{2 x}}{2}}{2} + C$

解题步骤 6.15.4.2.2

将 $\frac{e^{2 x}}{2}$ 乘以 $1$ 。

$e^{2 x} y = \frac{x^{2} e^{2 x} - x e^{2 x} + \frac{e^{2 x}}{2}}{2} + C$

解题步骤 6.15.5

要将 $- x e^{2 x}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$e^{2 x} y = \frac{x^{2} e^{2 x} - x e^{2 x} \cdot \frac{2}{2} + \frac{e^{2 x}}{2}}{2} + C$

解题步骤 6.15.6

组合 $- x e^{2 x}$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$e^{2 x} y = \frac{x^{2} e^{2 x} + \frac{- x e^{2 x} \cdot 2}{2} + \frac{e^{2 x}}{2}}{2} + C$

解题步骤 6.15.7

在公分母上合并分子。

$e^{2 x} y = \frac{x^{2} e^{2 x} + \frac{- x e^{2 x} \cdot 2 + e^{2 x}}{2}}{2} + C$

解题步骤 6.15.8

化简分子。

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解题步骤 6.15.8.1

从 $- x e^{2 x} \cdot 2 + e^{2 x}$ 中分解出因数 $e^{2 x}$ 。

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解题步骤 6.15.8.1.1

从 $- x e^{2 x} \cdot 2$ 中分解出因数 $e^{2 x}$ 。

$e^{2 x} y = \frac{x^{2} e^{2 x} + \frac{e^{2 x} (- x \cdot 2) + e^{2 x}}{2}}{2} + C$

解题步骤 6.15.8.1.2

乘以 $1$ 。

$e^{2 x} y = \frac{x^{2} e^{2 x} + \frac{e^{2 x} (- x \cdot 2) + e^{2 x} \cdot 1}{2}}{2} + C$

解题步骤 6.15.8.1.3

从 $e^{2 x} (- x \cdot 2) + e^{2 x} \cdot 1$ 中分解出因数 $e^{2 x}$ 。

$e^{2 x} y = \frac{x^{2} e^{2 x} + \frac{e^{2 x} (- x \cdot 2 + 1)}{2}}{2} + C$

解题步骤 6.15.8.2

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$e^{2 x} y = \frac{x^{2} e^{2 x} + \frac{e^{2 x} (- 2 x + 1)}{2}}{2} + C$

解题步骤 6.15.9

从 $- 2 x$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$e^{2 x} y = \frac{x^{2} e^{2 x} + \frac{e^{2 x} (- (2 x) + 1)}{2}}{2} + C$

解题步骤 6.15.10

将 $1$ 重写为 $- 1 (- 1)$ 。

$e^{2 x} y = \frac{x^{2} e^{2 x} + \frac{e^{2 x} (- (2 x) - 1 (- 1))}{2}}{2} + C$

解题步骤 6.15.11

从 $- (2 x) - 1 (- 1)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$e^{2 x} y = \frac{x^{2} e^{2 x} + \frac{e^{2 x} (- (2 x - 1))}{2}}{2} + C$

解题步骤 6.15.12

将 $- (2 x - 1)$ 重写为 $- 1 (2 x - 1)$ 。

$e^{2 x} y = \frac{x^{2} e^{2 x} + \frac{e^{2 x} (- 1 (2 x - 1))}{2}}{2} + C$

解题步骤 6.15.13

将负号移到分数的前面。

$e^{2 x} y = \frac{x^{2} e^{2 x} - \frac{e^{2 x} (2 x - 1)}{2}}{2} + C$

解题步骤 6.16

重新排序项。

$e^{2 x} y = \frac{1}{2} (x^{2} e^{2 x} - \frac{1}{2} e^{2 x} (2 x - 1)) + C$

解题步骤 7

求解 $y$ 。

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解题步骤 7.1

化简。

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解题步骤 7.1.1

化简每一项。

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解题步骤 7.1.1.1

运用分配律。

$e^{2 x} y = \frac{1}{2} \cdot (x^{2} e^{2 x} - \frac{1}{2} \cdot (e^{2 x} (2 x) + e^{2 x} \cdot - 1)) + C$

解题步骤 7.1.1.2

使用乘法的交换性质重写。

$e^{2 x} y = \frac{1}{2} \cdot (x^{2} e^{2 x} - \frac{1}{2} \cdot (2 e^{2 x} x + e^{2 x} \cdot - 1)) + C$

解题步骤 7.1.1.3

将 $- 1$ 移到 $e^{2 x}$ 的左侧。

$e^{2 x} y = \frac{1}{2} \cdot (x^{2} e^{2 x} - \frac{1}{2} \cdot (2 e^{2 x} x - 1 \cdot e^{2 x})) + C$

解题步骤 7.1.1.4

将 $- 1 e^{2 x}$ 重写为 $- e^{2 x}$ 。

$e^{2 x} y = \frac{1}{2} \cdot (x^{2} e^{2 x} - \frac{1}{2} \cdot (2 e^{2 x} x - e^{2 x})) + C$

解题步骤 7.1.1.5

运用分配律。

$e^{2 x} y = \frac{1}{2} \cdot (x^{2} e^{2 x} - \frac{1}{2} (2 e^{2 x} x) - \frac{1}{2} (- e^{2 x})) + C$

解题步骤 7.1.1.6

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 7.1.1.6.1

将 $- \frac{1}{2}$ 中前置负号移到分子中。

$e^{2 x} y = \frac{1}{2} \cdot (x^{2} e^{2 x} + \frac{- 1}{2} (2 e^{2 x} x) - \frac{1}{2} (- e^{2 x})) + C$

解题步骤 7.1.1.6.2

从 $2 e^{2 x} x$ 中分解出因数 $2$ 。

$e^{2 x} y = \frac{1}{2} \cdot (x^{2} e^{2 x} + \frac{- 1}{2} (2 (e^{2 x} x)) - \frac{1}{2} (- e^{2 x})) + C$

解题步骤 7.1.1.6.3

约去公因数。

$e^{2 x} y = \frac{1}{2} \cdot (x^{2} e^{2 x} + \frac{- 1}{2} (2 (e^{2 x} x)) - \frac{1}{2} (- e^{2 x})) + C$

解题步骤 7.1.1.6.4

重写表达式。

$e^{2 x} y = \frac{1}{2} \cdot (x^{2} e^{2 x} - 1 (e^{2 x} x) - \frac{1}{2} (- e^{2 x})) + C$

解题步骤 7.1.1.7

乘以 $- \frac{1}{2} (- e^{2 x})$ 。

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解题步骤 7.1.1.7.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$e^{2 x} y = \frac{1}{2} \cdot (x^{2} e^{2 x} - 1 (e^{2 x} x) + 1 (\frac{1}{2}) e^{2 x}) + C$

解题步骤 7.1.1.7.2

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $1$ 。

$e^{2 x} y = \frac{1}{2} \cdot (x^{2} e^{2 x} - 1 (e^{2 x} x) + \frac{1}{2} e^{2 x}) + C$

解题步骤 7.1.1.7.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $e^{2 x}$ 。

$e^{2 x} y = \frac{1}{2} \cdot (x^{2} e^{2 x} - 1 (e^{2 x} x) + \frac{e^{2 x}}{2}) + C$

解题步骤 7.1.1.8

将 $- 1 (e^{2 x} x)$ 重写为 $- (e^{2 x} x)$ 。

$e^{2 x} y = \frac{1}{2} \cdot (x^{2} e^{2 x} - e^{2 x} x + \frac{e^{2 x}}{2}) + C$

解题步骤 7.1.1.9

用公分母合并 $- e^{2 x} x$ 和 $\frac{e^{2 x}}{2}$ 。

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解题步骤 7.1.1.9.1

移动 $e^{2 x}$ 。

$e^{2 x} y = \frac{1}{2} \cdot (x^{2} e^{2 x} - x e^{2 x} + \frac{e^{2 x}}{2}) + C$

解题步骤 7.1.1.9.2

要将 $- x e^{2 x}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$e^{2 x} y = \frac{1}{2} \cdot (x^{2} e^{2 x} - x e^{2 x} \cdot \frac{2}{2} + \frac{e^{2 x}}{2}) + C$

解题步骤 7.1.1.9.3

组合 $- x e^{2 x}$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$e^{2 x} y = \frac{1}{2} \cdot (x^{2} e^{2 x} + \frac{- x e^{2 x} \cdot 2}{2} + \frac{e^{2 x}}{2}) + C$

解题步骤 7.1.1.9.4

在公分母上合并分子。

$e^{2 x} y = \frac{1}{2} \cdot (x^{2} e^{2 x} + \frac{- x e^{2 x} \cdot 2 + e^{2 x}}{2}) + C$

解题步骤 7.1.1.10

化简分子。

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解题步骤 7.1.1.10.1

从 $- x e^{2 x} \cdot 2 + e^{2 x}$ 中分解出因数 $e^{2 x}$ 。

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解题步骤 7.1.1.10.1.1

从 $- x e^{2 x} \cdot 2$ 中分解出因数 $e^{2 x}$ 。

$e^{2 x} y = \frac{1}{2} \cdot (x^{2} e^{2 x} + \frac{e^{2 x} (- x \cdot 2) + e^{2 x}}{2}) + C$

解题步骤 7.1.1.10.1.2

乘以 $1$ 。

$e^{2 x} y = \frac{1}{2} \cdot (x^{2} e^{2 x} + \frac{e^{2 x} (- x \cdot 2) + e^{2 x} \cdot 1}{2}) + C$

解题步骤 7.1.1.10.1.3

从 $e^{2 x} (- x \cdot 2) + e^{2 x} \cdot 1$ 中分解出因数 $e^{2 x}$ 。

$e^{2 x} y = \frac{1}{2} \cdot (x^{2} e^{2 x} + \frac{e^{2 x} (- x \cdot 2 + 1)}{2}) + C$

解题步骤 7.1.1.10.2

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$e^{2 x} y = \frac{1}{2} \cdot (x^{2} e^{2 x} + \frac{e^{2 x} (- 2 x + 1)}{2}) + C$

解题步骤 7.1.2

要将 $x^{2} e^{2 x}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$e^{2 x} y = \frac{1}{2} \cdot (x^{2} e^{2 x} \cdot \frac{2}{2} + \frac{e^{2 x} (- 2 x + 1)}{2}) + C$

解题步骤 7.1.3

组合 $x^{2} e^{2 x}$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$e^{2 x} y = \frac{1}{2} \cdot (\frac{x^{2} e^{2 x} \cdot 2}{2} + \frac{e^{2 x} (- 2 x + 1)}{2}) + C$

解题步骤 7.1.4

在公分母上合并分子。

$e^{2 x} y = \frac{1}{2} \cdot \frac{x^{2} e^{2 x} \cdot 2 + e^{2 x} (- 2 x + 1)}{2} + C$

解题步骤 7.1.5

化简分子。

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解题步骤 7.1.5.1

从 $x^{2} e^{2 x} \cdot 2 + e^{2 x} (- 2 x + 1)$ 中分解出因数 $e^{2 x}$ 。

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解题步骤 7.1.5.1.1

从 $x^{2} e^{2 x} \cdot 2$ 中分解出因数 $e^{2 x}$ 。

$e^{2 x} y = \frac{1}{2} \cdot \frac{e^{2 x} (x^{2} \cdot 2) + e^{2 x} (- 2 x + 1)}{2} + C$

解题步骤 7.1.5.1.2

从 $e^{2 x} (x^{2} \cdot 2) + e^{2 x} (- 2 x + 1)$ 中分解出因数 $e^{2 x}$ 。

$e^{2 x} y = \frac{1}{2} \cdot \frac{e^{2 x} (x^{2} \cdot 2 - 2 x + 1)}{2} + C$

解题步骤 7.1.5.2

将 $2$ 移到 $x^{2}$ 的左侧。

$e^{2 x} y = \frac{1}{2} \cdot \frac{e^{2 x} (2 x^{2} - 2 x + 1)}{2} + C$

解题步骤 7.1.6

合并。

$e^{2 x} y = \frac{1 (e^{2 x} (2 x^{2} - 2 x + 1))}{2 \cdot 2} + C$

解题步骤 7.1.7

将 $e^{2 x}$ 乘以 $1$ 。

$e^{2 x} y = \frac{e^{2 x} (2 x^{2} - 2 x + 1)}{2 \cdot 2} + C$

解题步骤 7.1.8

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$e^{2 x} y = \frac{e^{2 x} (2 x^{2} - 2 x + 1)}{4} + C$

解题步骤 7.2

将 $e^{2 x} y = \frac{e^{2 x} (2 x^{2} - 2 x + 1)}{4} + C$ 中的每一项除以 $e^{2 x}$ 并化简。

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解题步骤 7.2.1

将 $e^{2 x} y = \frac{e^{2 x} (2 x^{2} - 2 x + 1)}{4} + C$ 中的每一项都除以 $e^{2 x}$ 。

$\frac{e^{2 x} y}{e^{2 x}} = \frac{\frac{e^{2 x} (2 x^{2} - 2 x + 1)}{4}}{e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}}$

解题步骤 7.2.2

化简左边。

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解题步骤 7.2.2.1

约去 $e^{2 x}$ 的公因数。

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解题步骤 7.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{e^{2 x} y}{e^{2 x}} = \frac{\frac{e^{2 x} (2 x^{2} - 2 x + 1)}{4}}{e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}}$

解题步骤 7.2.2.1.2

用 $y$ 除以 $1$ 。

$y = \frac{\frac{e^{2 x} (2 x^{2} - 2 x + 1)}{4}}{e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}}$

解题步骤 7.2.3

化简右边。

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解题步骤 7.2.3.1

在公分母上合并分子。

$y = \frac{\frac{e^{2 x} (2 x^{2} - 2 x + 1)}{4} + C}{e^{2 x}}$

解题步骤 7.2.3.2

要将 $C$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{4}{4}$ 。

$y = \frac{\frac{e^{2 x} (2 x^{2} - 2 x + 1)}{4} + C \cdot \frac{4}{4}}{e^{2 x}}$

解题步骤 7.2.3.3

化简项。

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解题步骤 7.2.3.3.1

组合 $C$ 和 $\frac{4}{4}$ 。

$y = \frac{\frac{e^{2 x} (2 x^{2} - 2 x + 1)}{4} + \frac{C \cdot 4}{4}}{e^{2 x}}$

解题步骤 7.2.3.3.2

在公分母上合并分子。

$y = \frac{\frac{e^{2 x} (2 x^{2} - 2 x + 1) + C \cdot 4}{4}}{e^{2 x}}$

解题步骤 7.2.3.4

化简分子。

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解题步骤 7.2.3.4.1

运用分配律。

$y = \frac{\frac{e^{2 x} (2 x^{2}) + e^{2 x} (- 2 x) + e^{2 x} \cdot 1 + C \cdot 4}{4}}{e^{2 x}}$

解题步骤 7.2.3.4.2

化简。

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解题步骤 7.2.3.4.2.1

使用乘法的交换性质重写。

$y = \frac{\frac{2 e^{2 x} x^{2} + e^{2 x} (- 2 x) + e^{2 x} \cdot 1 + C \cdot 4}{4}}{e^{2 x}}$

解题步骤 7.2.3.4.2.2

使用乘法的交换性质重写。

$y = \frac{\frac{2 e^{2 x} x^{2} - 2 e^{2 x} x + e^{2 x} \cdot 1 + C \cdot 4}{4}}{e^{2 x}}$

解题步骤 7.2.3.4.2.3

将 $e^{2 x}$ 乘以 $1$ 。

$y = \frac{\frac{2 e^{2 x} x^{2} - 2 e^{2 x} x + e^{2 x} + C \cdot 4}{4}}{e^{2 x}}$

解题步骤 7.2.3.4.3

将 $4$ 移到 $C$ 的左侧。

$y = \frac{\frac{2 e^{2 x} x^{2} - 2 e^{2 x} x + e^{2 x} + 4 C}{4}}{e^{2 x}}$

解题步骤 7.2.3.5

将 $\frac{2 e^{2 x} x^{2} - 2 e^{2 x} x + e^{2 x} + 4 C}{4}$ 中的因式重新排序。

$y = \frac{\frac{2 x^{2} e^{2 x} - 2 x e^{2 x} + e^{2 x} + 4 C}{4}}{e^{2 x}}$

解题步骤 7.2.3.6

将分子乘以分母的倒数。

$y = \frac{2 x^{2} e^{2 x} - 2 x e^{2 x} + e^{2 x} + 4 C}{4} \cdot \frac{1}{e^{2 x}}$

解题步骤 7.2.3.7

将 $\frac{2 x^{2} e^{2 x} - 2 x e^{2 x} + e^{2 x} + 4 C}{4}$ 乘以 $\frac{1}{e^{2 x}}$ 。

$y = \frac{2 x^{2} e^{2 x} - 2 x e^{2 x} + e^{2 x} + 4 C}{4 e^{2 x}}$

微积分学 示例

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