微积分学示例

$2 w t \frac{d t}{d w} = t^{2} - 2 w^{3}$

解题步骤 1

使 $v = t^{2}$ 。用 $v$ 代入替换所有出现的 $t^{2}$ 。

$2 w t \frac{d t}{d w} = v - 2 w^{3}$

解题步骤 2

通过对 $t^{2}$ 进行微分求 $\frac{d v}{d w}$ 。

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解题步骤 2.1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d w} [f (g (w))]$ 等于 $f' (g (w)) g' (w)$ ，其中 $f (w) = w^{2}$ 且 $g (w) = t$ 。

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解题步骤 2.1.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $t$ 。

$\frac{d v}{d w} = \frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d w} [t]$

解题步骤 2.1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$\frac{d v}{d w} = 2 u \frac{d}{d w} [t]$

解题步骤 2.1.3

使用 $t$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{d v}{d w} = 2 t \frac{d}{d w} [t]$

解题步骤 2.2

将 $\frac{d}{d w} [t]$ 重写为 $t'$ 。

$\frac{d v}{d w} = 2 t t'$

解题步骤 3

将导数代回微分方程。

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解题步骤 3.1

从 $2 w t$ 中分解出因数 $2 t$ 。

$2 t (w) \frac{\frac{d v}{d w}}{2 t} = v - 2 w^{3}$

解题步骤 3.2

约去公因数。

$2 t w \frac{\frac{d v}{d w}}{2 t} = v - 2 w^{3}$

解题步骤 3.3

重写表达式。

$w \frac{d v}{d w} = v - 2 w^{3}$

解题步骤 4

将微分方程重写为 $\frac{d v}{d w} + M (w) v = Q (w)$ 。

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解题步骤 4.1

从等式两边同时减去 $v$ 。

$w \frac{d v}{d w} - v = - 2 w^{3}$

解题步骤 4.2

将 $w \frac{d v}{d w} - v = - 2 w^{3}$ 中的每一项都除以 $w$ 。

$\frac{w \frac{d v}{d w}}{w} + \frac{- v}{w} = \frac{- 2 w^{3}}{w}$

解题步骤 4.3

约去 $w$ 的公因数。

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解题步骤 4.3.1

约去公因数。

$\frac{w \frac{d v}{d w}}{w} + \frac{- v}{w} = \frac{- 2 w^{3}}{w}$

解题步骤 4.3.2

用 $\frac{d v}{d w}$ 除以 $1$ 。

$\frac{d v}{d w} + \frac{- v}{w} = \frac{- 2 w^{3}}{w}$

解题步骤 4.4

约去 $w^{3}$ 和 $w$ 的公因数。

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解题步骤 4.4.1

从 $- 2 w^{3}$ 中分解出因数 $w$ 。

$\frac{d v}{d w} + \frac{- v}{w} = \frac{w (- 2 w^{2})}{w}$

解题步骤 4.4.2

约去公因数。

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解题步骤 4.4.2.1

对 $w$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{d v}{d w} + \frac{- v}{w} = \frac{w (- 2 w^{2})}{w^{1}}$

解题步骤 4.4.2.2

从 $w^{1}$ 中分解出因数 $w$ 。

$\frac{d v}{d w} + \frac{- v}{w} = \frac{w (- 2 w^{2})}{w \cdot 1}$

解题步骤 4.4.2.3

约去公因数。

$\frac{d v}{d w} + \frac{- v}{w} = \frac{w (- 2 w^{2})}{w \cdot 1}$

解题步骤 4.4.2.4

重写表达式。

$\frac{d v}{d w} + \frac{- v}{w} = \frac{- 2 w^{2}}{1}$

解题步骤 4.4.2.5

用 $- 2 w^{2}$ 除以 $1$ 。

$\frac{d v}{d w} + \frac{- v}{w} = - 2 w^{2}$

解题步骤 4.5

从 $\frac{- v}{w}$ 中分解出因数 $v$ 。

$\frac{d v}{d w} + v \frac{- 1}{w} = - 2 w^{2}$

解题步骤 4.6

将 $v$ 和 $\frac{- 1}{w}$ 重新排序。

$\frac{d v}{d w} + \frac{- 1}{w} v = - 2 w^{2}$

解题步骤 5

积分因数由公式 $e^{\int P (w) d w}$ 定义，其中 $P (w) = \frac{- 1}{w}$ 。

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解题步骤 5.1

建立积分。

$e^{\int \frac{- 1}{w} d w}$

解题步骤 5.2

对 $\frac{- 1}{w}$ 积分。

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解题步骤 5.2.1

将分数分解成多个分数。

$e^{\int - \frac{1}{w} d w}$

解题步骤 5.2.2

由于 $- 1$ 对于 $w$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$e^{- \int \frac{1}{w} d w}$

解题步骤 5.2.3

$\frac{1}{w}$ 对 $w$ 的积分为 $\ln (| w |)$ 。

$e^{- (\ln (| w |) + C)}$

解题步骤 5.2.4

化简。

$e^{- \ln (| w |) + C}$

解题步骤 5.3

去掉积分常数。

$e^{- \ln (w)}$

解题步骤 5.4

使用对数幂法则。

$e^{\ln (w^{- 1})}$

解题步骤 5.5

指数函数和对数函数互为反函数。

$w^{- 1}$

解题步骤 5.6

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$\frac{1}{w}$

解题步骤 6

每一项乘以积分因数 $\frac{1}{w}$ 。

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解题步骤 6.1

每一项乘以 $\frac{1}{w}$ 。

$\frac{1}{w} \frac{d v}{d w} + \frac{1}{w} (\frac{- 1}{w} v) = \frac{1}{w} (- 2 w^{2})$

解题步骤 6.2

化简每一项。

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解题步骤 6.2.1

组合 $\frac{1}{w}$ 和 $\frac{d v}{d w}$ 。

$\frac{\frac{d v}{d w}}{w} + \frac{1}{w} (\frac{- 1}{w} v) = \frac{1}{w} (- 2 w^{2})$

解题步骤 6.2.2

将负号移到分数的前面。

$\frac{\frac{d v}{d w}}{w} + \frac{1}{w} (- \frac{1}{w} v) = \frac{1}{w} (- 2 w^{2})$

解题步骤 6.2.3

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{\frac{d v}{d w}}{w} - \frac{1}{w} (\frac{1}{w} v) = \frac{1}{w} (- 2 w^{2})$

解题步骤 6.2.4

组合 $\frac{1}{w}$ 和 $v$ 。

$\frac{\frac{d v}{d w}}{w} - \frac{1}{w} \cdot \frac{v}{w} = \frac{1}{w} (- 2 w^{2})$

解题步骤 6.2.5

乘以 $- \frac{1}{w} \cdot \frac{v}{w}$ 。

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解题步骤 6.2.5.1

将 $\frac{v}{w}$ 乘以 $\frac{1}{w}$ 。

$\frac{\frac{d v}{d w}}{w} - \frac{v}{w \cdot w} = \frac{1}{w} (- 2 w^{2})$

解题步骤 6.2.5.2

对 $w$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{\frac{d v}{d w}}{w} - \frac{v}{w^{1} w} = \frac{1}{w} (- 2 w^{2})$

解题步骤 6.2.5.3

对 $w$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{\frac{d v}{d w}}{w} - \frac{v}{w^{1} w^{1}} = \frac{1}{w} (- 2 w^{2})$

解题步骤 6.2.5.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{\frac{d v}{d w}}{w} - \frac{v}{w^{1 + 1}} = \frac{1}{w} (- 2 w^{2})$

解题步骤 6.2.5.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{\frac{d v}{d w}}{w} - \frac{v}{w^{2}} = \frac{1}{w} (- 2 w^{2})$

解题步骤 6.3

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{\frac{d v}{d w}}{w} - \frac{v}{w^{2}} = - 2 \frac{1}{w} w^{2}$

解题步骤 6.4

组合 $- 2$ 和 $\frac{1}{w}$ 。

$\frac{\frac{d v}{d w}}{w} - \frac{v}{w^{2}} = \frac{- 2}{w} w^{2}$

解题步骤 6.5

约去 $w$ 的公因数。

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解题步骤 6.5.1

从 $w^{2}$ 中分解出因数 $w$ 。

$\frac{\frac{d v}{d w}}{w} - \frac{v}{w^{2}} = \frac{- 2}{w} (w \cdot w)$

解题步骤 6.5.2

约去公因数。

$\frac{\frac{d v}{d w}}{w} - \frac{v}{w^{2}} = \frac{- 2}{w} (w \cdot w)$

解题步骤 6.5.3

重写表达式。

$\frac{\frac{d v}{d w}}{w} - \frac{v}{w^{2}} = - 2 w$

解题步骤 7

将左边重写为对积求导的结果。

$\frac{d}{d w} [\frac{1}{w} v] = - 2 w$

解题步骤 8

在两边建立积分。

$\int \frac{d}{d w} [\frac{1}{w} v] d w = \int - 2 w d w$

解题步骤 9

对左边积分。

$\frac{1}{w} v = \int - 2 w d w$

解题步骤 10

对右边积分。

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解题步骤 10.1

由于 $- 2$ 对于 $w$ 是常数，所以将 $- 2$ 移到积分外。

$\frac{1}{w} v = - 2 \int w d w$

解题步骤 10.2

根据幂法则， $w$ 对 $w$ 的积分是 $\frac{1}{2} w^{2}$ 。

$\frac{1}{w} v = - 2 (\frac{1}{2} w^{2} + C)$

解题步骤 10.3

化简答案。

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解题步骤 10.3.1

将 $- 2 (\frac{1}{2} w^{2} + C)$ 重写为 $- 2 (\frac{1}{2}) w^{2} + C$ 。

$\frac{1}{w} v = - 2 (\frac{1}{2}) w^{2} + C$

解题步骤 10.3.2

化简。

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解题步骤 10.3.2.1

组合 $- 2$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$\frac{1}{w} v = \frac{- 2}{2} w^{2} + C$

解题步骤 10.3.2.2

约去 $- 2$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 10.3.2.2.1

从 $- 2$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{1}{w} v = \frac{2 \cdot - 1}{2} w^{2} + C$

解题步骤 10.3.2.2.2

约去公因数。

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解题步骤 10.3.2.2.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{1}{w} v = \frac{2 \cdot - 1}{2 (1)} w^{2} + C$

解题步骤 10.3.2.2.2.2

约去公因数。

$\frac{1}{w} v = \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1} w^{2} + C$

解题步骤 10.3.2.2.2.3

重写表达式。

$\frac{1}{w} v = \frac{- 1}{1} w^{2} + C$

解题步骤 10.3.2.2.2.4

用 $- 1$ 除以 $1$ 。

$\frac{1}{w} v = - w^{2} + C$

解题步骤 11

求解 $v$ 。

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解题步骤 11.1

组合 $\frac{1}{w}$ 和 $v$ 。

$\frac{v}{w} = - w^{2} + C$

解题步骤 11.2

两边同时乘以 $w$ 。

$\frac{v}{w} w = (- w^{2} + C) w$

解题步骤 11.3

化简。

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解题步骤 11.3.1

化简左边。

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解题步骤 11.3.1.1

约去 $w$ 的公因数。

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解题步骤 11.3.1.1.1

约去公因数。

$\frac{v}{w} w = (- w^{2} + C) w$

解题步骤 11.3.1.1.2

重写表达式。

$v = (- w^{2} + C) w$

解题步骤 11.3.2

化简右边。

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解题步骤 11.3.2.1

化简 $(- w^{2} + C) w$ 。

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解题步骤 11.3.2.1.1

运用分配律。

$v = - w^{2} w + C w$

解题步骤 11.3.2.1.2

通过指数相加将 $w^{2}$ 乘以 $w$ 。

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解题步骤 11.3.2.1.2.1

移动 $w$ 。

$v = - (w \cdot w^{2}) + C w$

解题步骤 11.3.2.1.2.2

将 $w$ 乘以 $w^{2}$ 。

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解题步骤 11.3.2.1.2.2.1

对 $w$ 进行 $1$ 次方运算。

$v = - (w^{1} w^{2}) + C w$

解题步骤 11.3.2.1.2.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$v = - w^{1 + 2} + C w$

解题步骤 11.3.2.1.2.3

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$v = - w^{3} + C w$

解题步骤 12

使用 $t^{2}$ 替换所有出现的 $v$ 。

$t^{2} = - w^{3} + C w$

解题步骤 13

求解 $t$ 。

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解题步骤 13.1

取方程两边的指定根来消去方程左边的指数。

$t = \pm \sqrt{- w^{3} + C w}$

解题步骤 13.2

从 $- w^{3} + C w$ 中分解出因数 $w$ 。

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解题步骤 13.2.1

从 $- w^{3}$ 中分解出因数 $w$ 。

$t = \pm \sqrt{w (- w^{2}) + C w}$

解题步骤 13.2.2

从 $C w$ 中分解出因数 $w$ 。

$t = \pm \sqrt{w (- w^{2}) + w C}$

解题步骤 13.2.3

从 $w (- w^{2}) + w C$ 中分解出因数 $w$ 。

$t = \pm \sqrt{w (- w^{2} + C)}$

解题步骤 13.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

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解题步骤 13.3.1

首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。

$t = \sqrt{w (- w^{2} + C)}$

解题步骤 13.3.2

下一步，使用 $\pm$ 的负值来求第二个解。

$t = - \sqrt{w (- w^{2} + C)}$

解题步骤 13.3.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$t = \sqrt{w (- w^{2} + C)}$

$t = - \sqrt{w (- w^{2} + C)}$

$t = \sqrt{w (- w^{2} + C)}$

$t = - \sqrt{w (- w^{2} + C)}$

$t = \sqrt{w (- w^{2} + C)}$

$t = - \sqrt{w (- w^{2} + C)}$

微积分学 示例

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