微积分学示例

$\frac{d^{2} y}{d x^{2}} + y = x^{2} + 2$

解题步骤 1

假设所有解都为 $y = e^{r x}$ 形式。

解题步骤 2

求 $\frac{d^{2} y}{d x^{2}} + y = x^{2} + 2$ 的特征方程。

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解题步骤 2.1

求一阶导数。

$\frac{d y}{d x} = r e^{r x}$

解题步骤 2.2

求二阶导数。

$\frac{d^{2} y}{d x^{2}} = r^{2} e^{r x}$

解题步骤 2.3

代入微分方程。

$r^{2} e^{r x} + e^{r x} = x^{2} + 2$

解题步骤 2.4

因式分解出 $e^{r x}$ 。

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解题步骤 2.4.1

从 $r^{2} e^{r x}$ 中分解出因数 $e^{r x}$ 。

$e^{r x} r^{2} + e^{r x} = x^{2} + 2$

解题步骤 2.4.2

乘以 $1$ 。

$e^{r x} r^{2} + e^{r x} \cdot 1 = x^{2} + 2$

解题步骤 2.4.3

从 $e^{r x} r^{2} + e^{r x} \cdot 1$ 中分解出因数 $e^{r x}$ 。

$e^{r x} (r^{2} + 1) = x^{2} + 2$

解题步骤 2.5

由于指数永远不可能为零，在两边同时除以 $e^{r x}$ 。

$r^{2} + 1 = x^{2} + 2$

解题步骤 3

求解 $r$ 。

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解题步骤 3.1

将所有不包含 $r$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 3.1.1

从等式两边同时减去 $1$ 。

$r^{2} = x^{2} + 2 - 1$

解题步骤 3.1.2

从 $2$ 中减去 $1$ 。

$r^{2} = x^{2} + 1$

解题步骤 3.2

取方程两边的指定根来消去方程左边的指数。

$r = \pm \sqrt{x^{2} + 1}$

解题步骤 3.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

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解题步骤 3.3.1

首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。

$r = \sqrt{x^{2} + 1}$

解题步骤 3.3.2

下一步，使用 $\pm$ 的负值来求第二个解。

$r = - \sqrt{x^{2} + 1}$

解题步骤 3.3.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$r = \sqrt{x^{2} + 1}$

$r = - \sqrt{x^{2} + 1}$

$r = \sqrt{x^{2} + 1}$

$r = - \sqrt{x^{2} + 1}$

$r = \sqrt{x^{2} + 1}$

$r = - \sqrt{x^{2} + 1}$

解题步骤 4

使用求到的两个 $r$ 值，可以构建两个解。

$y_{1} = e^{\sqrt{x^{2} + 1} x}$

$y_{2} = e^{- \sqrt{x^{2} + 1} x}$

解题步骤 5

根据叠加原理，二阶齐次线性微分方程的通解是其两个解的线性组合。

$y = c_{1} e^{\sqrt{x^{2} + 1} x} + c_{2} e^{- \sqrt{x^{2} + 1} x}$

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