微积分学示例

$5 \frac{d y}{d x} + 2 x = 3$

解题步骤 1

分离变量。

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解题步骤 1.1

求解 $\frac{d y}{d x}$ 。

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解题步骤 1.1.1

从等式两边同时减去 $2 x$ 。

$5 \frac{d y}{d x} = 3 - 2 x$

解题步骤 1.1.2

将 $5 \frac{d y}{d x} = 3 - 2 x$ 中的每一项除以 $5$ 并化简。

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解题步骤 1.1.2.1

将 $5 \frac{d y}{d x} = 3 - 2 x$ 中的每一项都除以 $5$ 。

$\frac{5 \frac{d y}{d x}}{5} = \frac{3}{5} + \frac{- 2 x}{5}$

解题步骤 1.1.2.2

化简左边。

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解题步骤 1.1.2.2.1

约去 $5$ 的公因数。

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解题步骤 1.1.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{5 \frac{d y}{d x}}{5} = \frac{3}{5} + \frac{- 2 x}{5}$

解题步骤 1.1.2.2.1.2

用 $\frac{d y}{d x}$ 除以 $1$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{3}{5} + \frac{- 2 x}{5}$

解题步骤 1.1.2.3

化简右边。

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解题步骤 1.1.2.3.1

将负号移到分数的前面。

$\frac{d y}{d x} = \frac{3}{5} - \frac{2 x}{5}$

解题步骤 1.2

重写该方程。

$d y = (\frac{3}{5} - \frac{2 x}{5}) d x$

解题步骤 2

对两边积分。

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解题步骤 2.1

在两边建立积分。

$\int d y = \int \frac{3}{5} - \frac{2 x}{5} d x$

解题步骤 2.2

应用常数不变法则。

$y + C_{1} = \int \frac{3}{5} - \frac{2 x}{5} d x$

解题步骤 2.3

对右边积分。

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解题步骤 2.3.1

将单个积分拆分为多个积分。

$y + C_{1} = \int \frac{3}{5} d x + \int - \frac{2 x}{5} d x$

解题步骤 2.3.2

应用常数不变法则。

$y + C_{1} = \frac{3}{5} x + C_{2} + \int - \frac{2 x}{5} d x$

解题步骤 2.3.3

由于 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$y + C_{1} = \frac{3}{5} x + C_{2} - \int \frac{2 x}{5} d x$

解题步骤 2.3.4

由于 $\frac{2}{5}$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $\frac{2}{5}$ 移到积分外。

$y + C_{1} = \frac{3}{5} x + C_{2} - (\frac{2}{5} \int x d x)$

解题步骤 2.3.5

根据幂法则， $x$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{2} x^{2}$ 。

$y + C_{1} = \frac{3}{5} x + C_{2} - \frac{2}{5} (\frac{1}{2} x^{2} + C_{3})$

解题步骤 2.3.6

化简。

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解题步骤 2.3.6.1

化简。

$y + C_{1} = \frac{3}{5} x - \frac{2}{5} \cdot \frac{1}{2} x^{2} + C_{4}$

解题步骤 2.3.6.2

化简。

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解题步骤 2.3.6.2.1

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $\frac{2}{5}$ 。

$y + C_{1} = \frac{3}{5} x - \frac{2}{2 \cdot 5} x^{2} + C_{4}$

解题步骤 2.3.6.2.2

将 $2$ 乘以 $5$ 。

$y + C_{1} = \frac{3}{5} x - \frac{2}{10} x^{2} + C_{4}$

解题步骤 2.3.6.2.3

约去 $2$ 和 $10$ 的公因数。

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解题步骤 2.3.6.2.3.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$y + C_{1} = \frac{3}{5} x - \frac{2 (1)}{10} x^{2} + C_{4}$

解题步骤 2.3.6.2.3.2

约去公因数。

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解题步骤 2.3.6.2.3.2.1

从 $10$ 中分解出因数 $2$ 。

$y + C_{1} = \frac{3}{5} x - \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 5} x^{2} + C_{4}$

解题步骤 2.3.6.2.3.2.2

约去公因数。

$y + C_{1} = \frac{3}{5} x - \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 5} x^{2} + C_{4}$

解题步骤 2.3.6.2.3.2.3

重写表达式。

$y + C_{1} = \frac{3}{5} x - \frac{1}{5} x^{2} + C_{4}$

解题步骤 2.4

将右边的积分常数分组为 $K$ 。

$y = \frac{3}{5} x - \frac{1}{5} x^{2} + K$

微积分学 示例

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