微积分学示例

$(1 + e^{x}) \frac{d y}{d x} + e^{x} y = 0$

解题步骤 1

检查方程的左侧是否是 $(1 + e^{x}) y$ 项的导数的结果。

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解题步骤 1.1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = 1 + e^{x}$ 且 $g (x) = y$ 。

$(1 + e^{x}) \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [1 + e^{x}]$

解题步骤 1.2

将 $\frac{d}{d x} [y]$ 重写为 $y'$ 。

$(1 + e^{x}) y' + y \frac{d}{d x} [1 + e^{x}]$

解题步骤 1.3

根据加法法则， $1 + e^{x}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [e^{x}]$ 。

$(1 + e^{x}) y' + y (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [e^{x}])$

解题步骤 1.4

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$(1 + e^{x}) y' + y (0 + \frac{d}{d x} [e^{x}])$

解题步骤 1.5

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ 等于 $a^{x} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$(1 + e^{x}) y' + y (0 + e^{x})$

解题步骤 1.6

将 $0$ 和 $e^{x}$ 相加。

$(1 + e^{x}) y' + y e^{x}$

解题步骤 1.7

代入 $\frac{d y}{d x}$ 替换 $y'$ 。

$(1 + e^{x}) \frac{d y}{d x} + y e^{x}$

解题步骤 2

将左边重写为对积求导的结果。

$\frac{d}{d x} [(1 + e^{x}) y] = 0$

解题步骤 3

在两边建立积分。

$\int \frac{d}{d x} [(1 + e^{x}) y] d x = \int 0 d x$

解题步骤 4

对左边积分。

$(1 + e^{x}) y = \int 0 d x$

解题步骤 5

对右边积分。

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解题步骤 5.1

$0$ 对 $x$ 的积分为 $0$ 。

$(1 + e^{x}) y = 0 + C$

解题步骤 5.2

将 $0$ 和 $C$ 相加。

$(1 + e^{x}) y = C$

解题步骤 6

将 $(1 + e^{x}) y = C$ 中的每一项除以 $1 + e^{x}$ 并化简。

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解题步骤 6.1

将 $(1 + e^{x}) y = C$ 中的每一项都除以 $1 + e^{x}$ 。

$\frac{(1 + e^{x}) y}{1 + e^{x}} = \frac{C}{1 + e^{x}}$

解题步骤 6.2

化简左边。

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解题步骤 6.2.1

约去 $1 + e^{x}$ 的公因数。

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解题步骤 6.2.1.1

约去公因数。

$\frac{(1 + e^{x}) y}{1 + e^{x}} = \frac{C}{1 + e^{x}}$

解题步骤 6.2.1.2

用 $y$ 除以 $1$ 。

$y = \frac{C}{1 + e^{x}}$

微积分学 示例

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