微积分学示例

$(e^{x} + 1) d x + \frac{y^{2} - 1}{y^{2}} d y = 0$

解题步骤 1

从等式两边同时减去 $(e^{x} + 1) d x$ 。

$\frac{y^{2} - 1}{y^{2}} d y = - (e^{x} + 1) d x$

解题步骤 2

对两边积分。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1

在两边建立积分。

$\int \frac{y^{2} - 1}{y^{2}} d y = \int - (e^{x} + 1) d x$

解题步骤 2.2

对左边积分。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.2.1

应用指数的基本规则。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.2.1.1

通过将 $y^{2}$ 乘以 $- 1$ 次幂来将其移出分母。

$\int (y^{2} - 1) {(y^{2})}^{- 1} d y = \int - (e^{x} + 1) d x$

解题步骤 2.2.1.2

将 ${(y^{2})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.2.1.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\int (y^{2} - 1) y^{2 \cdot - 1} d y = \int - (e^{x} + 1) d x$

解题步骤 2.2.1.2.2

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$\int (y^{2} - 1) y^{- 2} d y = \int - (e^{x} + 1) d x$

解题步骤 2.2.2

乘以 $(y^{2} - 1) y^{- 2}$ 。

$\int y^{2} y^{- 2} - 1 y^{- 2} d y = \int - (e^{x} + 1) d x$

解题步骤 2.2.3

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.2.3.1

通过指数相加将 $y^{2}$ 乘以 $y^{- 2}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.2.3.1.1

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\int y^{2 - 2} - 1 y^{- 2} d y = \int - (e^{x} + 1) d x$

解题步骤 2.2.3.1.2

从 $2$ 中减去 $2$ 。

$\int y^{0} - 1 y^{- 2} d y = \int - (e^{x} + 1) d x$

解题步骤 2.2.3.2

化简 $y^{0}$ 。

$\int 1 - 1 y^{- 2} d y = \int - (e^{x} + 1) d x$

解题步骤 2.2.3.3

将 $- 1 y^{- 2}$ 重写为 $- y^{- 2}$ 。

$\int 1 - y^{- 2} d y = \int - (e^{x} + 1) d x$

解题步骤 2.2.4

将单个积分拆分为多个积分。

$\int d y + \int - y^{- 2} d y = \int - (e^{x} + 1) d x$

解题步骤 2.2.5

应用常数不变法则。

$y + C_{1} + \int - y^{- 2} d y = \int - (e^{x} + 1) d x$

解题步骤 2.2.6

由于 $- 1$ 对于 $y$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$y + C_{1} - \int y^{- 2} d y = \int - (e^{x} + 1) d x$

解题步骤 2.2.7

根据幂法则， $y^{- 2}$ 对 $y$ 的积分是 $- y^{- 1}$ 。

$y + C_{1} - (- y^{- 1} + C_{2}) = \int - (e^{x} + 1) d x$

解题步骤 2.2.8

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.2.8.1

化简。

$y - - \frac{1}{y} + C_{3} = \int - (e^{x} + 1) d x$

解题步骤 2.2.8.2

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.2.8.2.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$y + 1 \frac{1}{y} + C_{3} = \int - (e^{x} + 1) d x$

解题步骤 2.2.8.2.2

将 $\frac{1}{y}$ 乘以 $1$ 。

$y + \frac{1}{y} + C_{3} = \int - (e^{x} + 1) d x$

解题步骤 2.3

对右边积分。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.3.1

由于 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$y + \frac{1}{y} + C_{3} = - \int e^{x} + 1 d x$

解题步骤 2.3.2

将单个积分拆分为多个积分。

$y + \frac{1}{y} + C_{3} = - (\int e^{x} d x + \int d x)$

解题步骤 2.3.3

$e^{x}$ 对 $x$ 的积分为 $e^{x}$ 。

$y + \frac{1}{y} + C_{3} = - (e^{x} + C_{4} + \int d x)$

解题步骤 2.3.4

应用常数不变法则。

$y + \frac{1}{y} + C_{3} = - (e^{x} + C_{4} + x + C_{5})$

解题步骤 2.3.5

化简。

$y + \frac{1}{y} + C_{3} = - (e^{x} + x) + C_{6}$

解题步骤 2.4

将右边的积分常数分组为 $K$ 。

$y + \frac{1}{y} = - (e^{x} + x) + K$

微积分学 示例

微积分学示例