微积分学示例

$x (y^{2} - 4) d x + y d y = 0$

解题步骤 1

从等式两边同时减去 $x (y^{2} - 4) d x$ 。

$y d y = - x (y^{2} - 4) d x$

解题步骤 2

两边同时乘以 $\frac{1}{y^{2} - 4}$ 。

$\frac{1}{y^{2} - 4} y d y = \frac{1}{y^{2} - 4} (- x (y^{2} - 4)) d x$

解题步骤 3

化简。

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解题步骤 3.1

化简分母。

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解题步骤 3.1.1

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$\frac{1}{y^{2} - 2^{2}} y d y = \frac{1}{y^{2} - 4} (- x (y^{2} - 4)) d x$

解题步骤 3.1.2

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = y$ 和 $b = 2$ 。

$\frac{1}{(y + 2) (y - 2)} y d y = \frac{1}{y^{2} - 4} (- x (y^{2} - 4)) d x$

解题步骤 3.2

组合 $\frac{1}{(y + 2) (y - 2)}$ 和 $y$ 。

$\frac{y}{(y + 2) (y - 2)} d y = \frac{1}{y^{2} - 4} (- x (y^{2} - 4)) d x$

解题步骤 3.3

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{y}{(y + 2) (y - 2)} d y = - \frac{1}{y^{2} - 4} (x (y^{2} - 4)) d x$

解题步骤 3.4

约去 $y^{2} - 4$ 的公因数。

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解题步骤 3.4.1

将 $- \frac{1}{y^{2} - 4}$ 中前置负号移到分子中。

$\frac{y}{(y + 2) (y - 2)} d y = \frac{- 1}{y^{2} - 4} (x (y^{2} - 4)) d x$

解题步骤 3.4.2

从 $x (y^{2} - 4)$ 中分解出因数 $y^{2} - 4$ 。

$\frac{y}{(y + 2) (y - 2)} d y = \frac{- 1}{y^{2} - 4} ((y^{2} - 4) x) d x$

解题步骤 3.4.3

约去公因数。

$\frac{y}{(y + 2) (y - 2)} d y = \frac{- 1}{y^{2} - 4} ((y^{2} - 4) x) d x$

解题步骤 3.4.4

重写表达式。

$\frac{y}{(y + 2) (y - 2)} d y = - x d x$

解题步骤 4

对两边积分。

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解题步骤 4.1

在两边建立积分。

$\int \frac{y}{(y + 2) (y - 2)} d y = \int - x d x$

解题步骤 4.2

对左边积分。

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解题步骤 4.2.1

使 $u = (y + 2) (y - 2)$ 。然后使 $d u = 2 y d y$ ，以便 $\frac{1}{2} d u = y d y$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 4.2.1.1

设 $u = (y + 2) (y - 2)$ 。求 $\frac{d u}{d y}$ 。

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解题步骤 4.2.1.1.1

对 $(y + 2) (y - 2)$ 求导。

$\frac{d}{d y} [(y + 2) (y - 2)]$

解题步骤 4.2.1.1.2

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ 等于 $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ ，其中 $f (y) = y + 2$ 且 $g (y) = y - 2$ 。

$(y + 2) \frac{d}{d y} [y - 2] + (y - 2) \frac{d}{d y} [y + 2]$

解题步骤 4.2.1.1.3

求微分。

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解题步骤 4.2.1.1.3.1

根据加法法则， $y - 2$ 对 $y$ 的导数是 $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 2]$ 。

$(y + 2) (\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 2]) + (y - 2) \frac{d}{d y} [y + 2]$

解题步骤 4.2.1.1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 等于 $n y^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$(y + 2) (1 + \frac{d}{d y} [- 2]) + (y - 2) \frac{d}{d y} [y + 2]$

解题步骤 4.2.1.1.3.3

因为 $- 2$ 对于 $y$ 是常数，所以 $- 2$ 对 $y$ 的导数为 $0$ 。

$(y + 2) (1 + 0) + (y - 2) \frac{d}{d y} [y + 2]$

解题步骤 4.2.1.1.3.4

化简表达式。

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解题步骤 4.2.1.1.3.4.1

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$(y + 2) \cdot 1 + (y - 2) \frac{d}{d y} [y + 2]$

解题步骤 4.2.1.1.3.4.2

将 $y + 2$ 乘以 $1$ 。

$y + 2 + (y - 2) \frac{d}{d y} [y + 2]$

解题步骤 4.2.1.1.3.5

根据加法法则， $y + 2$ 对 $y$ 的导数是 $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [2]$ 。

$y + 2 + (y - 2) (\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [2])$

解题步骤 4.2.1.1.3.6

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 等于 $n y^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$y + 2 + (y - 2) (1 + \frac{d}{d y} [2])$

解题步骤 4.2.1.1.3.7

因为 $2$ 对于 $y$ 是常数，所以 $2$ 对 $y$ 的导数为 $0$ 。

$y + 2 + (y - 2) (1 + 0)$

解题步骤 4.2.1.1.3.8

通过加上各项进行化简。

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解题步骤 4.2.1.1.3.8.1

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$y + 2 + (y - 2) \cdot 1$

解题步骤 4.2.1.1.3.8.2

将 $y - 2$ 乘以 $1$ 。

$y + 2 + y - 2$

解题步骤 4.2.1.1.3.8.3

将 $y$ 和 $y$ 相加。

$2 y + 2 - 2$

解题步骤 4.2.1.1.3.8.4

通过减去各数进行化简。

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解题步骤 4.2.1.1.3.8.4.1

从 $2$ 中减去 $2$ 。

$2 y + 0$

解题步骤 4.2.1.1.3.8.4.2

将 $2 y$ 和 $0$ 相加。

$2 y$

解题步骤 4.2.1.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$\int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u = \int - x d x$

解题步骤 4.2.2

化简。

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解题步骤 4.2.2.1

将 $\frac{1}{u}$ 乘以 $\frac{1}{2}$ 。

$\int \frac{1}{u \cdot 2} d u = \int - x d x$

解题步骤 4.2.2.2

将 $2$ 移到 $u$ 的左侧。

$\int \frac{1}{2 u} d u = \int - x d x$

解题步骤 4.2.3

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u = \int - x d x$

解题步骤 4.2.4

$\frac{1}{u}$ 对 $u$ 的积分为 $\ln (| u |)$ 。

$\frac{1}{2} (\ln (| u |) + C_{1}) = \int - x d x$

解题步骤 4.2.5

化简。

$\frac{1}{2} \ln (| u |) + C_{1} = \int - x d x$

解题步骤 4.2.6

使用 $(y + 2) (y - 2)$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{1}{2} \ln (| (y + 2) (y - 2) |) + C_{1} = \int - x d x$

解题步骤 4.3

对右边积分。

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解题步骤 4.3.1

由于 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$\frac{1}{2} \ln (| (y + 2) (y - 2) |) + C_{1} = - \int x d x$

解题步骤 4.3.2

根据幂法则， $x$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{2} x^{2}$ 。

$\frac{1}{2} \ln (| (y + 2) (y - 2) |) + C_{1} = - (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2})$

解题步骤 4.3.3

将 $- (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2})$ 重写为 $- \frac{1}{2} x^{2} + C_{2}$ 。

$\frac{1}{2} \ln (| (y + 2) (y - 2) |) + C_{1} = - \frac{1}{2} x^{2} + C_{2}$

解题步骤 4.4

将右边的积分常数分组为 $C$ 。

$\frac{1}{2} \ln (| (y + 2) (y - 2) |) = - \frac{1}{2} x^{2} + C$

解题步骤 5

求解 $y$ 。

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解题步骤 5.1

等式两边同时乘以 $2$ 。

$2 (\frac{1}{2} \ln (| (y + 2) (y - 2) |)) = 2 (- \frac{1}{2} x^{2} + C)$

解题步骤 5.2

化简方程的两边。

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解题步骤 5.2.1

化简左边。

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解题步骤 5.2.1.1

化简 $2 (\frac{1}{2} \ln (| (y + 2) (y - 2) |))$ 。

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解题步骤 5.2.1.1.1

使用 FOIL 方法展开 $(y + 2) (y - 2)$ 。

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解题步骤 5.2.1.1.1.1

运用分配律。

$2 (\frac{1}{2} \ln (| y (y - 2) + 2 (y - 2) |)) = 2 (- \frac{1}{2} x^{2} + C)$

解题步骤 5.2.1.1.1.2

运用分配律。

$2 (\frac{1}{2} \ln (| y \cdot y + y \cdot - 2 + 2 (y - 2) |)) = 2 (- \frac{1}{2} x^{2} + C)$

解题步骤 5.2.1.1.1.3

运用分配律。

$2 (\frac{1}{2} \ln (| y \cdot y + y \cdot - 2 + 2 y + 2 \cdot - 2 |)) = 2 (- \frac{1}{2} x^{2} + C)$

解题步骤 5.2.1.1.2

化简项。

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解题步骤 5.2.1.1.2.1

合并 $y \cdot y + y \cdot - 2 + 2 y + 2 \cdot - 2$ 中相反的项。

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解题步骤 5.2.1.1.2.1.1

按照 $y \cdot - 2$ 和 $2 y$ 重新排列因数。

$2 (\frac{1}{2} \ln (| y \cdot y - 2 y + 2 y + 2 \cdot - 2 |)) = 2 (- \frac{1}{2} x^{2} + C)$

解题步骤 5.2.1.1.2.1.2

将 $- 2 y$ 和 $2 y$ 相加。

$2 (\frac{1}{2} \ln (| y \cdot y + 0 + 2 \cdot - 2 |)) = 2 (- \frac{1}{2} x^{2} + C)$

解题步骤 5.2.1.1.2.1.3

将 $y \cdot y$ 和 $0$ 相加。

$2 (\frac{1}{2} \ln (| y \cdot y + 2 \cdot - 2 |)) = 2 (- \frac{1}{2} x^{2} + C)$

解题步骤 5.2.1.1.2.2

化简每一项。

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解题步骤 5.2.1.1.2.2.1

将 $y$ 乘以 $y$ 。

$2 (\frac{1}{2} \ln (| y^{2} + 2 \cdot - 2 |)) = 2 (- \frac{1}{2} x^{2} + C)$

解题步骤 5.2.1.1.2.2.2

将 $2$ 乘以 $- 2$ 。

$2 (\frac{1}{2} \ln (| y^{2} - 4 |)) = 2 (- \frac{1}{2} x^{2} + C)$

解题步骤 5.2.1.1.2.3

化简项。

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解题步骤 5.2.1.1.2.3.1

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $\ln (| y^{2} - 4 |)$ 。

$2 \frac{\ln (| y^{2} - 4 |)}{2} = 2 (- \frac{1}{2} x^{2} + C)$

解题步骤 5.2.1.1.2.3.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.1.1.2.3.2.1

约去公因数。

$2 \frac{\ln (| y^{2} - 4 |)}{2} = 2 (- \frac{1}{2} x^{2} + C)$

解题步骤 5.2.1.1.2.3.2.2

重写表达式。

$\ln (| y^{2} - 4 |) = 2 (- \frac{1}{2} x^{2} + C)$

解题步骤 5.2.2

化简右边。

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解题步骤 5.2.2.1

化简 $2 (- \frac{1}{2} x^{2} + C)$ 。

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解题步骤 5.2.2.1.1

组合 $x^{2}$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$\ln (| y^{2} - 4 |) = 2 (- \frac{x^{2}}{2} + C)$

解题步骤 5.2.2.1.2

运用分配律。

$\ln (| y^{2} - 4 |) = 2 (- \frac{x^{2}}{2}) + 2 C$

解题步骤 5.2.2.1.3

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.2.1.3.1

将 $- \frac{x^{2}}{2}$ 中前置负号移到分子中。

$\ln (| y^{2} - 4 |) = 2 \frac{- x^{2}}{2} + 2 C$

解题步骤 5.2.2.1.3.2

约去公因数。

$\ln (| y^{2} - 4 |) = 2 \frac{- x^{2}}{2} + 2 C$

解题步骤 5.2.2.1.3.3

重写表达式。

$\ln (| y^{2} - 4 |) = - x^{2} + 2 C$

解题步骤 5.3

要求解 $y$ ，请利用对数的性质重写方程。

$e^{\ln (| y^{2} - 4 |)} = e^{- x^{2} + 2 C}$

解题步骤 5.4

使用对数的定义将 $\ln (| y^{2} - 4 |) = - x^{2} + 2 C$ 重写成指数形式。如果 $x$ 和 $b$ 是正实数且 $b \neq 1$ ，则 $\log_{b} (x) = y$ 等价于 $b^{y} = x$ 。

$e^{- x^{2} + 2 C} = | y^{2} - 4 |$

解题步骤 5.5

求解 $y$ 。

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解题步骤 5.5.1

将方程重写为 $| y^{2} - 4 | = e^{- x^{2} + 2 C}$ 。

$| y^{2} - 4 | = e^{- x^{2} + 2 C}$

解题步骤 5.5.2

去掉绝对值项。因为 $| x | = \pm x$ ，所以这将使方程右边新增 $\pm$ 。

$y^{2} - 4 = \pm e^{- x^{2} + 2 C}$

解题步骤 5.5.3

在等式两边都加上 $4$ 。

$y^{2} = \pm e^{- x^{2} + 2 C} + 4$

解题步骤 5.5.4

取方程两边的指定根来消去方程左边的指数。

$y = \pm \sqrt{\pm e^{- x^{2} + 2 C} + 4}$

解题步骤 6

将常数项组合在一起。

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解题步骤 6.1

化简积分常数。

$y = \pm \sqrt{\pm e^{- x^{2} + C} + 4}$

解题步骤 6.2

将 $e^{- x^{2} + C}$ 重写为 $e^{- x^{2}} e^{C}$ 。

$y = \pm \sqrt{\pm e^{- x^{2}} e^{C} + 4}$

解题步骤 6.3

将 $e^{- x^{2}}$ 和 $e^{C}$ 重新排序。

$y = \pm \sqrt{\pm e^{C} e^{- x^{2}} + 4}$

解题步骤 6.4

用加号或减号合并常数。

$y = \pm \sqrt{C e^{- x^{2}} + 4}$

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