微积分学示例

$x \frac{d^{2} y}{d x^{2}} + 2 \frac{d y}{d x} = 6 x$

解题步骤 1

设 $v = \frac{d y}{d x}$ 。然后 $\frac{d v}{d x} = \frac{d^{2} y}{d x^{2}}$ 。将 $v$ 代入 $\frac{d y}{d x}$ ，将 $\frac{d v}{d x}$ 代入 $\frac{d^{2} y}{d x^{2}}$ ，得到一个因变量 $v$ 和自变量 $x$ 的微分方程。

$x \frac{d v}{d x} + 2 v = 6 x$

解题步骤 2

将微分方程重写为 $\frac{d v}{d x} + M (x) v = Q (x)$ 。

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解题步骤 2.1

将 $x \frac{d v}{d x} + 2 v = 6 x$ 中的每一项都除以 $x$ 。

$\frac{x \frac{d v}{d x}}{x} + \frac{2 v}{x} = \frac{6 x}{x}$

解题步骤 2.2

约去 $x$ 的公因数。

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解题步骤 2.2.1

约去公因数。

$\frac{x \frac{d v}{d x}}{x} + \frac{2 v}{x} = \frac{6 x}{x}$

解题步骤 2.2.2

用 $\frac{d v}{d x}$ 除以 $1$ 。

$\frac{d v}{d x} + \frac{2 v}{x} = \frac{6 x}{x}$

解题步骤 2.3

约去 $x$ 的公因数。

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解题步骤 2.3.1

约去公因数。

$\frac{d v}{d x} + \frac{2 v}{x} = \frac{6 x}{x}$

解题步骤 2.3.2

用 $6$ 除以 $1$ 。

$\frac{d v}{d x} + \frac{2 v}{x} = 6$

解题步骤 2.4

从 $\frac{2 v}{x}$ 中分解出因数 $v$ 。

$\frac{d v}{d x} + v \frac{2}{x} = 6$

解题步骤 2.5

将 $v$ 和 $\frac{2}{x}$ 重新排序。

$\frac{d v}{d x} + \frac{2}{x} v = 6$

解题步骤 3

积分因数由公式 $e^{\int P (x) d x}$ 定义，其中 $P (x) = \frac{2}{x}$ 。

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解题步骤 3.1

建立积分。

$e^{\int \frac{2}{x} d x}$

解题步骤 3.2

对 $\frac{2}{x}$ 积分。

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解题步骤 3.2.1

由于 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $2$ 移到积分外。

$e^{2 \int \frac{1}{x} d x}$

解题步骤 3.2.2

$\frac{1}{x}$ 对 $x$ 的积分为 $\ln (| x |)$ 。

$e^{2 (\ln (| x |) + C_{1})}$

解题步骤 3.2.3

化简。

$e^{2 \ln (| x |) + C_{1}}$

解题步骤 3.3

去掉积分常数。

$e^{2 \ln (x)}$

解题步骤 3.4

使用对数幂法则。

$e^{\ln (x^{2})}$

解题步骤 3.5

指数函数和对数函数互为反函数。

$x^{2}$

解题步骤 4

每一项乘以积分因数 $x^{2}$ 。

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解题步骤 4.1

每一项乘以 $x^{2}$ 。

$x^{2} \frac{d v}{d x} + x^{2} (\frac{2}{x} v) = x^{2} \cdot 6$

解题步骤 4.2

化简每一项。

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解题步骤 4.2.1

组合 $\frac{2}{x}$ 和 $v$ 。

$x^{2} \frac{d v}{d x} + x^{2} \frac{2 v}{x} = x^{2} \cdot 6$

解题步骤 4.2.2

约去 $x$ 的公因数。

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解题步骤 4.2.2.1

从 $x^{2}$ 中分解出因数 $x$ 。

$x^{2} \frac{d v}{d x} + x \cdot x \frac{2 v}{x} = x^{2} \cdot 6$

解题步骤 4.2.2.2

约去公因数。

$x^{2} \frac{d v}{d x} + x \cdot x \frac{2 v}{x} = x^{2} \cdot 6$

解题步骤 4.2.2.3

重写表达式。

$x^{2} \frac{d v}{d x} + x (2 v) = x^{2} \cdot 6$

解题步骤 4.2.3

使用乘法的交换性质重写。

$x^{2} \frac{d v}{d x} + 2 x v = x^{2} \cdot 6$

解题步骤 4.3

将 $6$ 移到 $x^{2}$ 的左侧。

$x^{2} \frac{d v}{d x} + 2 x v = 6 x^{2}$

解题步骤 5

将左边重写为对积求导的结果。

$\frac{d}{d x} [x^{2} v] = 6 x^{2}$

解题步骤 6

在两边建立积分。

$\int \frac{d}{d x} [x^{2} v] d x = \int 6 x^{2} d x$

解题步骤 7

对左边积分。

$x^{2} v = \int 6 x^{2} d x$

解题步骤 8

对右边积分。

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解题步骤 8.1

由于 $6$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $6$ 移到积分外。

$x^{2} v = 6 \int x^{2} d x$

解题步骤 8.2

根据幂法则， $x^{2}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{3} x^{3}$ 。

$x^{2} v = 6 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2})$

解题步骤 8.3

化简答案。

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解题步骤 8.3.1

将 $6 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2})$ 重写为 $6 (\frac{1}{3}) x^{3} + C_{2}$ 。

$x^{2} v = 6 (\frac{1}{3}) x^{3} + C_{2}$

解题步骤 8.3.2

化简。

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解题步骤 8.3.2.1

组合 $6$ 和 $\frac{1}{3}$ 。

$x^{2} v = \frac{6}{3} x^{3} + C_{2}$

解题步骤 8.3.2.2

约去 $6$ 和 $3$ 的公因数。

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解题步骤 8.3.2.2.1

从 $6$ 中分解出因数 $3$ 。

$x^{2} v = \frac{3 \cdot 2}{3} x^{3} + C_{2}$

解题步骤 8.3.2.2.2

约去公因数。

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解题步骤 8.3.2.2.2.1

从 $3$ 中分解出因数 $3$ 。

$x^{2} v = \frac{3 \cdot 2}{3 (1)} x^{3} + C_{2}$

解题步骤 8.3.2.2.2.2

约去公因数。

$x^{2} v = \frac{3 \cdot 2}{3 \cdot 1} x^{3} + C_{2}$

解题步骤 8.3.2.2.2.3

重写表达式。

$x^{2} v = \frac{2}{1} x^{3} + C_{2}$

解题步骤 8.3.2.2.2.4

用 $2$ 除以 $1$ 。

$x^{2} v = 2 x^{3} + C_{2}$

解题步骤 9

将 $x^{2} v = 2 x^{3} + C_{2}$ 中的每一项除以 $x^{2}$ 并化简。

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解题步骤 9.1

将 $x^{2} v = 2 x^{3} + C_{2}$ 中的每一项都除以 $x^{2}$ 。

$\frac{x^{2} v}{x^{2}} = \frac{2 x^{3}}{x^{2}} + \frac{C_{2}}{x^{2}}$

解题步骤 9.2

化简左边。

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解题步骤 9.2.1

约去 $x^{2}$ 的公因数。

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解题步骤 9.2.1.1

约去公因数。

$\frac{x^{2} v}{x^{2}} = \frac{2 x^{3}}{x^{2}} + \frac{C_{2}}{x^{2}}$

解题步骤 9.2.1.2

用 $v$ 除以 $1$ 。

$v = \frac{2 x^{3}}{x^{2}} + \frac{C_{2}}{x^{2}}$

解题步骤 9.3

化简右边。

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解题步骤 9.3.1

约去 $x^{3}$ 和 $x^{2}$ 的公因数。

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解题步骤 9.3.1.1

从 $2 x^{3}$ 中分解出因数 $x^{2}$ 。

$v = \frac{x^{2} (2 x)}{x^{2}} + \frac{C_{2}}{x^{2}}$

解题步骤 9.3.1.2

约去公因数。

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解题步骤 9.3.1.2.1

乘以 $1$ 。

$v = \frac{x^{2} (2 x)}{x^{2} \cdot 1} + \frac{C_{2}}{x^{2}}$

解题步骤 9.3.1.2.2

约去公因数。

$v = \frac{x^{2} (2 x)}{x^{2} \cdot 1} + \frac{C_{2}}{x^{2}}$

解题步骤 9.3.1.2.3

重写表达式。

$v = \frac{2 x}{1} + \frac{C_{2}}{x^{2}}$

解题步骤 9.3.1.2.4

用 $2 x$ 除以 $1$ 。

$v = 2 x + \frac{C_{2}}{x^{2}}$

解题步骤 10

使用 $\frac{d y}{d x}$ 替换所有出现的 $v$ 。

$\frac{d y}{d x} = 2 x + \frac{C_{2}}{x^{2}}$

解题步骤 11

重写该方程。

$d y = (2 x + \frac{C_{2}}{x^{2}}) d x$

解题步骤 12

对两边积分。

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解题步骤 12.1

在两边建立积分。

$\int d y = \int 2 x + \frac{C_{2}}{x^{2}} d x$

解题步骤 12.2

应用常数不变法则。

$y + C_{3} = \int 2 x + \frac{C_{2}}{x^{2}} d x$

解题步骤 12.3

对右边积分。

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解题步骤 12.3.1

将单个积分拆分为多个积分。

$y + C_{3} = \int 2 x d x + \int \frac{C_{2}}{x^{2}} d x$

解题步骤 12.3.2

由于 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $2$ 移到积分外。

$y + C_{3} = 2 \int x d x + \int \frac{C_{2}}{x^{2}} d x$

解题步骤 12.3.3

根据幂法则， $x$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{2} x^{2}$ 。

$y + C_{3} = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{4}) + \int \frac{C_{2}}{x^{2}} d x$

解题步骤 12.3.4

由于 $C_{2}$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $C_{2}$ 移到积分外。

$y + C_{3} = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{4}) + C_{2} \int \frac{1}{x^{2}} d x$

解题步骤 12.3.5

化简表达式。

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解题步骤 12.3.5.1

通过将 $x^{2}$ 乘以 $- 1$ 次幂来将其移出分母。

$y + C_{3} = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{4}) + C_{2} \int {(x^{2})}^{- 1} d x$

解题步骤 12.3.5.2

化简。

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解题步骤 12.3.5.2.1

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $x^{2}$ 。

$y + C_{3} = 2 (\frac{x^{2}}{2} + C_{4}) + C_{2} \int {(x^{2})}^{- 1} d x$

解题步骤 12.3.5.2.2

将 ${(x^{2})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 12.3.5.2.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$y + C_{3} = 2 (\frac{x^{2}}{2} + C_{4}) + C_{2} \int x^{2 \cdot - 1} d x$

解题步骤 12.3.5.2.2.2

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$y + C_{3} = 2 (\frac{x^{2}}{2} + C_{4}) + C_{2} \int x^{- 2} d x$

解题步骤 12.3.6

根据幂法则， $x^{- 2}$ 对 $x$ 的积分是 $- x^{- 1}$ 。

$y + C_{3} = 2 (\frac{x^{2}}{2} + C_{4}) + C_{2} (- x^{- 1} + C_{5})$

解题步骤 12.3.7

化简。

$y + C_{3} = x^{2} + C_{2} (- x^{- 1}) + C_{6}$

解题步骤 12.3.8

重新排序项。

$y + C_{3} = x^{2} - C_{2} x^{- 1} + C_{6}$

解题步骤 12.4

将右边的积分常数分组为 $D$ 。

$y = x^{2} - C x^{- 1} + D$

微积分学 示例

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