微积分学示例

$(y^{2} - y) \frac{d y}{d x} = x + \ln (x)$

解题步骤 1

重写该方程。

$(y^{2} - y) d y = (x + \ln (x)) d x$

解题步骤 2

对两边积分。

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解题步骤 2.1

在两边建立积分。

$\int y^{2} - y d y = \int x + \ln (x) d x$

解题步骤 2.2

对左边积分。

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解题步骤 2.2.1

将单个积分拆分为多个积分。

$\int y^{2} d y + \int - y d y = \int x + \ln (x) d x$

解题步骤 2.2.2

根据幂法则， $y^{2}$ 对 $y$ 的积分是 $\frac{1}{3} y^{3}$ 。

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} + \int - y d y = \int x + \ln (x) d x$

解题步骤 2.2.3

由于 $- 1$ 对于 $y$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} - \int y d y = \int x + \ln (x) d x$

解题步骤 2.2.4

根据幂法则， $y$ 对 $y$ 的积分是 $\frac{1}{2} y^{2}$ 。

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} - (\frac{1}{2} y^{2} + C_{2}) = \int x + \ln (x) d x$

解题步骤 2.2.5

化简。

$\frac{1}{3} y^{3} - \frac{1}{2} y^{2} + C_{3} = \int x + \ln (x) d x$

解题步骤 2.3

对右边积分。

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解题步骤 2.3.1

将单个积分拆分为多个积分。

$\frac{1}{3} y^{3} - \frac{1}{2} y^{2} + C_{3} = \int x d x + \int \ln (x) d x$

解题步骤 2.3.2

根据幂法则， $x$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{2} x^{2}$ 。

$\frac{1}{3} y^{3} - \frac{1}{2} y^{2} + C_{3} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{4} + \int \ln (x) d x$

解题步骤 2.3.3

利用公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ 来分部求积分，其中 $u = \ln (x)$ ， $d v = 1$ 。

$\frac{1}{3} y^{3} - \frac{1}{2} y^{2} + C_{3} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{4} + \ln (x) x - \int x \frac{1}{x} d x$

解题步骤 2.3.4

化简。

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解题步骤 2.3.4.1

组合 $x$ 和 $\frac{1}{x}$ 。

$\frac{1}{3} y^{3} - \frac{1}{2} y^{2} + C_{3} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{4} + \ln (x) x - \int \frac{x}{x} d x$

解题步骤 2.3.4.2

约去 $x$ 的公因数。

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解题步骤 2.3.4.2.1

约去公因数。

$\frac{1}{3} y^{3} - \frac{1}{2} y^{2} + C_{3} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{4} + \ln (x) x - \int \frac{x}{x} d x$

解题步骤 2.3.4.2.2

重写表达式。

$\frac{1}{3} y^{3} - \frac{1}{2} y^{2} + C_{3} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{4} + \ln (x) x - \int d x$

解题步骤 2.3.5

应用常数不变法则。

$\frac{1}{3} y^{3} - \frac{1}{2} y^{2} + C_{3} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{4} + \ln (x) x - (x + C_{5})$

解题步骤 2.3.6

化简。

$\frac{1}{3} y^{3} - \frac{1}{2} y^{2} + C_{3} = \frac{1}{2} x^{2} + \ln (x) x - x + C_{6}$

解题步骤 2.3.7

重新排序项。

$\frac{1}{3} y^{3} - \frac{1}{2} y^{2} + C_{3} = \frac{1}{2} x^{2} + x \ln (x) - x + C_{6}$

解题步骤 2.4

将右边的积分常数分组为 $K$ 。

$\frac{1}{3} y^{3} - \frac{1}{2} y^{2} = \frac{1}{2} x^{2} + x \ln (x) - x + K$

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