微积分学示例

$2 \frac{d y}{d t} - y = 4 \sin (3 t)$

解题步骤 1

将微分方程重写为 $\frac{d y}{d t} + M (t) y = Q (t)$ 。

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解题步骤 1.1

将 $2 \frac{d y}{d t} - y = 4 \sin (3 t)$ 中的每一项都除以 $2$ 。

$\frac{2 \frac{d y}{d t}}{2} + \frac{- y}{2} = \frac{4 \sin (3 t)}{2}$

解题步骤 1.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 1.2.1

约去公因数。

$\frac{2 \frac{d y}{d t}}{2} + \frac{- y}{2} = \frac{4 \sin (3 t)}{2}$

解题步骤 1.2.2

用 $\frac{d y}{d t}$ 除以 $1$ 。

$\frac{d y}{d t} + \frac{- y}{2} = \frac{4 \sin (3 t)}{2}$

解题步骤 1.3

约去 $4$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 1.3.1

从 $4 \sin (3 t)$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{d y}{d t} + \frac{- y}{2} = \frac{2 (2 \sin (3 t))}{2}$

解题步骤 1.3.2

约去公因数。

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解题步骤 1.3.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{d y}{d t} + \frac{- y}{2} = \frac{2 (2 \sin (3 t))}{2 (1)}$

解题步骤 1.3.2.2

约去公因数。

$\frac{d y}{d t} + \frac{- y}{2} = \frac{2 (2 \sin (3 t))}{2 \cdot 1}$

解题步骤 1.3.2.3

重写表达式。

$\frac{d y}{d t} + \frac{- y}{2} = \frac{2 \sin (3 t)}{1}$

解题步骤 1.3.2.4

用 $2 \sin (3 t)$ 除以 $1$ 。

$\frac{d y}{d t} + \frac{- y}{2} = 2 \sin (3 t)$

解题步骤 1.4

重新排序项。

$\frac{d y}{d t} + \frac{- 1}{2} y = 2 \sin (3 t)$

解题步骤 2

积分因数由公式 $e^{\int P (t) d t}$ 定义，其中 $P (t) = \frac{- 1}{2}$ 。

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解题步骤 2.1

建立积分。

$e^{\int \frac{- 1}{2} d t}$

解题步骤 2.2

对 $\frac{- 1}{2}$ 积分。

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解题步骤 2.2.1

将负号移到分数的前面。

$e^{\int - \frac{1}{2} d t}$

解题步骤 2.2.2

应用常数不变法则。

$e^{- \frac{1}{2} t + C}$

解题步骤 2.3

去掉积分常数。

$e^{- \frac{1}{2} t}$

解题步骤 2.4

组合 $t$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$e^{- \frac{t}{2}}$

解题步骤 3

每一项乘以积分因数 $e^{- \frac{t}{2}}$ 。

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解题步骤 3.1

每一项乘以 $e^{- \frac{t}{2}}$ 。

$e^{- \frac{t}{2}} \frac{d y}{d t} + e^{- \frac{t}{2}} (\frac{- 1}{2} y) = e^{- \frac{t}{2}} (2 \sin (3 t))$

解题步骤 3.2

化简每一项。

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解题步骤 3.2.1

使用乘法的交换性质重写。

$e^{- \frac{t}{2}} \frac{d y}{d t} + \frac{- 1}{2} e^{- \frac{t}{2}} y = e^{- \frac{t}{2}} (2 \sin (3 t))$

解题步骤 3.2.2

将负号移到分数的前面。

$e^{- \frac{t}{2}} \frac{d y}{d t} - \frac{1}{2} e^{- \frac{t}{2}} y = e^{- \frac{t}{2}} (2 \sin (3 t))$

解题步骤 3.2.3

组合 $e^{- \frac{t}{2}}$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$e^{- \frac{t}{2}} \frac{d y}{d t} - \frac{e^{- \frac{t}{2}}}{2} y = e^{- \frac{t}{2}} (2 \sin (3 t))$

解题步骤 3.2.4

组合 $y$ 和 $\frac{e^{- \frac{t}{2}}}{2}$ 。

$e^{- \frac{t}{2}} \frac{d y}{d t} - \frac{y e^{- \frac{t}{2}}}{2} = e^{- \frac{t}{2}} (2 \sin (3 t))$

解题步骤 3.3

使用乘法的交换性质重写。

$e^{- \frac{t}{2}} \frac{d y}{d t} - \frac{y e^{- \frac{t}{2}}}{2} = 2 e^{- \frac{t}{2}} \sin (3 t)$

解题步骤 4

将左边重写为对积求导的结果。

$\frac{d}{d t} [e^{- \frac{t}{2}} y] = 2 e^{- \frac{t}{2}} \sin (3 t)$

解题步骤 5

在两边建立积分。

$\int \frac{d}{d t} [e^{- \frac{t}{2}} y] d t = \int 2 e^{- \frac{t}{2}} \sin (3 t) d t$

解题步骤 6

对左边积分。

$e^{- \frac{t}{2}} y = \int 2 e^{- \frac{t}{2}} \sin (3 t) d t$

解题步骤 7

对右边积分。

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解题步骤 7.1

由于 $2$ 对于 $t$ 是常数，所以将 $2$ 移到积分外。

$e^{- \frac{t}{2}} y = 2 \int e^{- \frac{t}{2}} \sin (3 t) d t$

解题步骤 7.2

使 $u = - \frac{t}{2}$ 。然后使 $d u = - \frac{1}{2} d t$ ，以便 $- 2 d u = d t$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 7.2.1

设 $u = - \frac{t}{2}$ 。求 $\frac{d u}{d t}$ 。

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解题步骤 7.2.1.1

对 $- \frac{t}{2}$ 求导。

$\frac{d}{d t} [- \frac{t}{2}]$

解题步骤 7.2.1.2

因为 $- \frac{1}{2}$ 对于 $t$ 是常数，所以 $- \frac{t}{2}$ 对 $t$ 的导数是 $- \frac{1}{2} \frac{d}{d t} [t]$ 。

$- \frac{1}{2} \frac{d}{d t} [t]$

解题步骤 7.2.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 等于 $n t^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$- \frac{1}{2} \cdot 1$

解题步骤 7.2.1.4

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$- \frac{1}{2}$

解题步骤 7.2.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$e^{- \frac{t}{2}} y = 2 \int - e^{u} \sin (3 (- 2 u)) \frac{- 1}{- \frac{1}{2}} d u$

解题步骤 7.3

化简。

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解题步骤 7.3.1

将 $- 2$ 乘以 $3$ 。

$e^{- \frac{t}{2}} y = 2 \int - e^{u} \sin (- 6 u) \frac{- 1}{- \frac{1}{2}} d u$

解题步骤 7.3.2

将两个负数相除得到一个正数。

$e^{- \frac{t}{2}} y = 2 \int - e^{u} \sin (- 6 u) \frac{1}{\frac{1}{2}} d u$

解题步骤 7.3.3

乘以分数的倒数从而实现除以 $\frac{1}{2}$ 。

$e^{- \frac{t}{2}} y = 2 \int - e^{u} \sin (- 6 u) (1 \cdot 2) d u$

解题步骤 7.3.4

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$e^{- \frac{t}{2}} y = 2 \int - e^{u} \sin (- 6 u) \cdot 2 d u$

解题步骤 7.3.5

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$e^{- \frac{t}{2}} y = 2 \int - 2 e^{u} \sin (- 6 u) d u$

解题步骤 7.4

由于 $- 2$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $- 2$ 移到积分外。

$e^{- \frac{t}{2}} y = 2 (- 2 \int e^{u} \sin (- 6 u) d u)$

解题步骤 7.5

化简表达式。

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解题步骤 7.5.1

将 $- 2$ 乘以 $2$ 。

$e^{- \frac{t}{2}} y = - 4 \int e^{u} \sin (- 6 u) d u$

解题步骤 7.5.2

将 $e^{u}$ 和 $\sin (- 6 u)$ 重新排序。

$e^{- \frac{t}{2}} y = - 4 \int \sin (- 6 u) e^{u} d u$

解题步骤 7.6

利用公式 $\int w d v = w v - \int v d w$ 来分部求积分，其中 $w = \sin (- 6 u)$ ， $dv = e^{u}$ 。

$e^{- \frac{t}{2}} y = - 4 (\sin (- 6 u) e^{u} - \int e^{u} (- 6 \cos (- 6 u)) d u)$

解题步骤 7.7

由于 $- 6$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $- 6$ 移到积分外。

$e^{- \frac{t}{2}} y = - 4 (\sin (- 6 u) e^{u} - (- 6 \int e^{u} (\cos (- 6 u)) d u))$

解题步骤 7.8

化简表达式。

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解题步骤 7.8.1

将 $- 6$ 乘以 $- 1$ 。

$e^{- \frac{t}{2}} y = - 4 (\sin (- 6 u) e^{u} + 6 \int e^{u} (\cos (- 6 u)) d u)$

解题步骤 7.8.2

将 $e^{u}$ 和 $\cos (- 6 u)$ 重新排序。

$e^{- \frac{t}{2}} y = - 4 (\sin (- 6 u) e^{u} + 6 \int \cos (- 6 u) e^{u} d u)$

解题步骤 7.9

利用公式 $\int w d v = w v - \int v d w$ 来分部求积分，其中 $w = \cos (- 6 u)$ ， $dv = e^{u}$ 。

$e^{- \frac{t}{2}} y = - 4 (\sin (- 6 u) e^{u} + 6 (\cos (- 6 u) e^{u} - \int e^{u} (6 \sin (- 6 u)) d u))$

解题步骤 7.10

由于 $6$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $6$ 移到积分外。

$e^{- \frac{t}{2}} y = - 4 (\sin (- 6 u) e^{u} + 6 (\cos (- 6 u) e^{u} - (6 \int e^{u} (\sin (- 6 u)) d u)))$

解题步骤 7.11

通过相乘进行化简。

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解题步骤 7.11.1

将 $6$ 乘以 $- 1$ 。

$e^{- \frac{t}{2}} y = - 4 (\sin (- 6 u) e^{u} + 6 (\cos (- 6 u) e^{u} - 6 \int e^{u} (\sin (- 6 u)) d u))$

解题步骤 7.11.2

运用分配律。

$e^{- \frac{t}{2}} y = - 4 (\sin (- 6 u) e^{u} + 6 (\cos (- 6 u) e^{u}) + 6 (- 6 \int e^{u} (\sin (- 6 u)) d u))$

解题步骤 7.11.3

将 $- 6$ 乘以 $6$ 。

$e^{- \frac{t}{2}} y = - 4 (\sin (- 6 u) e^{u} + 6 (\cos (- 6 u) e^{u}) - 36 \int e^{u} (\sin (- 6 u)) d u)$

解题步骤 7.12

求解 $\int e^{u} \sin (- 6 u) d u$ ，我们发现 $\int e^{u} \sin (- 6 u) d u$ = $\frac{\sin (- 6 u) e^{u} + 6 (\cos (- 6 u) e^{u})}{37}$ 。

$e^{- \frac{t}{2}} y = - 4 (\frac{\sin (- 6 u) e^{u} + 6 (\cos (- 6 u) e^{u})}{37} + C)$

解题步骤 7.13

将 $- 4 (\frac{\sin (- 6 u) e^{u} + 6 \cos (- 6 u) e^{u}}{37} + C)$ 重写为 $- 4 \frac{e^{u} (\sin (- 6 u) + 6 \cos (- 6 u))}{37} + C$ 。

$e^{- \frac{t}{2}} y = - 4 \frac{e^{u} (\sin (- 6 u) + 6 \cos (- 6 u))}{37} + C$

解题步骤 7.14

化简。

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解题步骤 7.14.1

组合 $- 4$ 和 $\frac{e^{u} (\sin (- 6 u) + 6 \cos (- 6 u))}{37}$ 。

$e^{- \frac{t}{2}} y = \frac{- 4 (e^{u} (\sin (- 6 u) + 6 \cos (- 6 u)))}{37} + C$

解题步骤 7.14.2

将负号移到分数的前面。

$e^{- \frac{t}{2}} y = - \frac{4 e^{u} (\sin (- 6 u) + 6 \cos (- 6 u))}{37} + C$

解题步骤 7.15

使用 $- \frac{t}{2}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$e^{- \frac{t}{2}} y = - \frac{4 e^{- \frac{t}{2}} (\sin (- 6 (- \frac{t}{2})) + 6 \cos (- 6 (- \frac{t}{2})))}{37} + C$

解题步骤 7.16

化简。

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解题步骤 7.16.1

将 $- 1$ 乘以 $- 6$ 。

$e^{- \frac{t}{2}} y = - \frac{4 e^{- \frac{t}{2}} (\sin (6 \frac{t}{2}) + 6 \cos (- 6 (- \frac{t}{2})))}{37} + C$

解题步骤 7.16.2

组合 $6$ 和 $\frac{t}{2}$ 。

$e^{- \frac{t}{2}} y = - \frac{4 e^{- \frac{t}{2}} (\sin (\frac{6 t}{2}) + 6 \cos (- 6 (- \frac{t}{2})))}{37} + C$

解题步骤 7.16.3

将 $- 1$ 乘以 $- 6$ 。

$e^{- \frac{t}{2}} y = - \frac{4 e^{- \frac{t}{2}} (\sin (\frac{6 t}{2}) + 6 \cos (6 \frac{t}{2}))}{37} + C$

解题步骤 7.16.4

组合 $6$ 和 $\frac{t}{2}$ 。

$e^{- \frac{t}{2}} y = - \frac{4 e^{- \frac{t}{2}} (\sin (\frac{6 t}{2}) + 6 \cos (\frac{6 t}{2}))}{37} + C$

解题步骤 7.17

化简。

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解题步骤 7.17.1

约去 $6$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 7.17.1.1

从 $6 t$ 中分解出因数 $2$ 。

$e^{- \frac{t}{2}} y = - \frac{4 e^{- \frac{t}{2}} (\sin (\frac{2 (3 t)}{2}) + 6 \cos (\frac{6 t}{2}))}{37} + C$

解题步骤 7.17.1.2

约去公因数。

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解题步骤 7.17.1.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$e^{- \frac{t}{2}} y = - \frac{4 e^{- \frac{t}{2}} (\sin (\frac{2 (3 t)}{2 (1)}) + 6 \cos (\frac{6 t}{2}))}{37} + C$

解题步骤 7.17.1.2.2

约去公因数。

$e^{- \frac{t}{2}} y = - \frac{4 e^{- \frac{t}{2}} (\sin (\frac{2 (3 t)}{2 \cdot 1}) + 6 \cos (\frac{6 t}{2}))}{37} + C$

解题步骤 7.17.1.2.3

重写表达式。

$e^{- \frac{t}{2}} y = - \frac{4 e^{- \frac{t}{2}} (\sin (\frac{3 t}{1}) + 6 \cos (\frac{6 t}{2}))}{37} + C$

解题步骤 7.17.1.2.4

用 $3 t$ 除以 $1$ 。

$e^{- \frac{t}{2}} y = - \frac{4 e^{- \frac{t}{2}} (\sin (3 t) + 6 \cos (\frac{6 t}{2}))}{37} + C$

解题步骤 7.17.2

约去 $6$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 7.17.2.1

从 $6 t$ 中分解出因数 $2$ 。

$e^{- \frac{t}{2}} y = - \frac{4 e^{- \frac{t}{2}} (\sin (3 t) + 6 \cos (\frac{2 (3 t)}{2}))}{37} + C$

解题步骤 7.17.2.2

约去公因数。

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解题步骤 7.17.2.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$e^{- \frac{t}{2}} y = - \frac{4 e^{- \frac{t}{2}} (\sin (3 t) + 6 \cos (\frac{2 (3 t)}{2 (1)}))}{37} + C$

解题步骤 7.17.2.2.2

约去公因数。

$e^{- \frac{t}{2}} y = - \frac{4 e^{- \frac{t}{2}} (\sin (3 t) + 6 \cos (\frac{2 (3 t)}{2 \cdot 1}))}{37} + C$

解题步骤 7.17.2.2.3

重写表达式。

$e^{- \frac{t}{2}} y = - \frac{4 e^{- \frac{t}{2}} (\sin (3 t) + 6 \cos (\frac{3 t}{1}))}{37} + C$

解题步骤 7.17.2.2.4

用 $3 t$ 除以 $1$ 。

$e^{- \frac{t}{2}} y = - \frac{4 e^{- \frac{t}{2}} (\sin (3 t) + 6 \cos (3 t))}{37} + C$

$e^{- \frac{t}{2}} y = - \frac{4}{37} e^{- \frac{1}{2} t} (\sin (3 t) + 6 \cos (3 t)) + C$

解题步骤 8

求解 $y$ 。

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解题步骤 8.1

化简。

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解题步骤 8.1.1

组合 $t$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$e^{- \frac{t}{2}} y = - \frac{4}{37} \cdot (e^{- \frac{t}{2}} (\sin (3 t) + 6 \cos (3 t))) + C$

解题步骤 8.1.2

组合 $e^{- \frac{t}{2}}$ 和 $\frac{4}{37}$ 。

$e^{- \frac{t}{2}} y = - \frac{e^{- \frac{t}{2}} \cdot 4}{37} \cdot (\sin (3 t) + 6 \cos (3 t)) + C$

解题步骤 8.2

将 $e^{- \frac{t}{2}} y = - \frac{e^{- \frac{t}{2}} \cdot 4}{37} \cdot (\sin (3 t) + 6 \cos (3 t)) + C$ 中的每一项除以 $e^{- \frac{t}{2}}$ 并化简。

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解题步骤 8.2.1

将 $e^{- \frac{t}{2}} y = - \frac{e^{- \frac{t}{2}} \cdot 4}{37} \cdot (\sin (3 t) + 6 \cos (3 t)) + C$ 中的每一项都除以 $e^{- \frac{t}{2}}$ 。

$\frac{e^{- \frac{t}{2}} y}{e^{- \frac{t}{2}}} = \frac{- \frac{e^{- \frac{t}{2}} \cdot 4}{37} \cdot (\sin (3 t) + 6 \cos (3 t))}{e^{- \frac{t}{2}}} + \frac{C}{e^{- \frac{t}{2}}}$

解题步骤 8.2.2

化简左边。

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解题步骤 8.2.2.1

约去 $e^{- \frac{t}{2}}$ 的公因数。

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解题步骤 8.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{e^{- \frac{t}{2}} y}{e^{- \frac{t}{2}}} = \frac{- \frac{e^{- \frac{t}{2}} \cdot 4}{37} \cdot (\sin (3 t) + 6 \cos (3 t))}{e^{- \frac{t}{2}}} + \frac{C}{e^{- \frac{t}{2}}}$

解题步骤 8.2.2.1.2

用 $y$ 除以 $1$ 。

$y = \frac{- \frac{e^{- \frac{t}{2}} \cdot 4}{37} \cdot (\sin (3 t) + 6 \cos (3 t))}{e^{- \frac{t}{2}}} + \frac{C}{e^{- \frac{t}{2}}}$

解题步骤 8.2.3

化简右边。

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解题步骤 8.2.3.1

化简每一项。

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解题步骤 8.2.3.1.1

将 $4$ 移到 $e^{- \frac{t}{2}}$ 的左侧。

$y = \frac{- \frac{4 e^{- \frac{t}{2}}}{37} (\sin (3 t) + 6 \cos (3 t))}{e^{- \frac{t}{2}}} + \frac{C}{e^{- \frac{t}{2}}}$

解题步骤 8.2.3.1.2

从 $\frac{- \frac{4 e^{- \frac{t}{2}}}{37} (\sin (3 t) + 6 \cos (3 t))}{e^{- \frac{t}{2}}}$ 中分解出因数 $\frac{4 e^{- \frac{t}{2}}}{37}$ 。

$y = \frac{4 e^{- \frac{t}{2}}}{37} \cdot \frac{- 1 (\sin (3 t) + 6 \cos (3 t))}{e^{- \frac{t}{2}}} + \frac{C}{e^{- \frac{t}{2}}}$

解题步骤 8.2.3.1.3

合并。

$y = \frac{4 e^{- \frac{t}{2}} (- 1 (\sin (3 t) + 6 \cos (3 t)))}{37 e^{- \frac{t}{2}}} + \frac{C}{e^{- \frac{t}{2}}}$

解题步骤 8.2.3.1.4

约去 $e^{- \frac{t}{2}}$ 的公因数。

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解题步骤 8.2.3.1.4.1

约去公因数。

$y = \frac{4 e^{- \frac{t}{2}} (- 1 (\sin (3 t) + 6 \cos (3 t)))}{37 e^{- \frac{t}{2}}} + \frac{C}{e^{- \frac{t}{2}}}$

解题步骤 8.2.3.1.4.2

重写表达式。

$y = \frac{4 (- 1 (\sin (3 t) + 6 \cos (3 t)))}{37} + \frac{C}{e^{- \frac{t}{2}}}$

解题步骤 8.2.3.1.5

将 $- 1$ 乘以 $4$ 。

$y = \frac{- 4 (\sin (3 t) + 6 \cos (3 t))}{37} + \frac{C}{e^{- \frac{t}{2}}}$

解题步骤 8.2.3.1.6

将负号移到分数的前面。

$y = - \frac{4 (\sin (3 t) + 6 \cos (3 t))}{37} + \frac{C}{e^{- \frac{t}{2}}}$

微积分学 示例

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