微积分学示例

$(x^{2} + 1) (y^{3} - 1) d x = x^{2} y^{2} d y$

解题步骤 1

重写该方程。

$x^{2} y^{2} d y = (x^{2} + 1) (y^{3} - 1) d x$

解题步骤 2

两边同时乘以 $\frac{1}{x^{2} (y^{3} - 1)}$ 。

$\frac{1}{x^{2} (y^{3} - 1)} (x^{2} y^{2}) d y = \frac{1}{x^{2} (y^{3} - 1)} ((x^{2} + 1) (y^{3} - 1)) d x$

解题步骤 3

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.1

约去 $x^{2}$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.1.1

从 $x^{2} y^{2}$ 中分解出因数 $x^{2}$ 。

$\frac{1}{x^{2} (y^{3} - 1)} (x^{2} (y^{2})) d y = \frac{1}{x^{2} (y^{3} - 1)} ((x^{2} + 1) (y^{3} - 1)) d x$

解题步骤 3.1.2

约去公因数。

$\frac{1}{x^{2} (y^{3} - 1)} (x^{2} y^{2}) d y = \frac{1}{x^{2} (y^{3} - 1)} ((x^{2} + 1) (y^{3} - 1)) d x$

解题步骤 3.1.3

重写表达式。

$\frac{1}{y^{3} - 1} y^{2} d y = \frac{1}{x^{2} (y^{3} - 1)} ((x^{2} + 1) (y^{3} - 1)) d x$

解题步骤 3.2

组合 $\frac{1}{y^{3} - 1}$ 和 $y^{2}$ 。

$\frac{y^{2}}{y^{3} - 1} d y = \frac{1}{x^{2} (y^{3} - 1)} ((x^{2} + 1) (y^{3} - 1)) d x$

解题步骤 3.3

化简分母。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.3.1

将 $1$ 重写为 $1^{3}$ 。

$\frac{y^{2}}{y^{3} - 1^{3}} d y = \frac{1}{x^{2} (y^{3} - 1)} ((x^{2} + 1) (y^{3} - 1)) d x$

解题步骤 3.3.2

因为两项都是完全立方数，所以使用立方差公式 $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ 进行因式分解，其中 $a = y$ 和 $b = 1$ 。

$\frac{y^{2}}{(y - 1) (y^{2} + y \cdot 1 + 1^{2})} d y = \frac{1}{x^{2} (y^{3} - 1)} ((x^{2} + 1) (y^{3} - 1)) d x$

解题步骤 3.3.3

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.3.3.1

将 $y$ 乘以 $1$ 。

$\frac{y^{2}}{(y - 1) (y^{2} + y + 1^{2})} d y = \frac{1}{x^{2} (y^{3} - 1)} ((x^{2} + 1) (y^{3} - 1)) d x$

解题步骤 3.3.3.2

一的任意次幂都为一。

$\frac{y^{2}}{(y - 1) (y^{2} + y + 1)} d y = \frac{1}{x^{2} (y^{3} - 1)} ((x^{2} + 1) (y^{3} - 1)) d x$

解题步骤 3.4

约去 $y^{3} - 1$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.4.1

从 $x^{2} (y^{3} - 1)$ 中分解出因数 $y^{3} - 1$ 。

$\frac{y^{2}}{(y - 1) (y^{2} + y + 1)} d y = \frac{1}{(y^{3} - 1) x^{2}} ((x^{2} + 1) (y^{3} - 1)) d x$

解题步骤 3.4.2

从 $(x^{2} + 1) (y^{3} - 1)$ 中分解出因数 $y^{3} - 1$ 。

$\frac{y^{2}}{(y - 1) (y^{2} + y + 1)} d y = \frac{1}{(y^{3} - 1) x^{2}} ((y^{3} - 1) (x^{2} + 1)) d x$

解题步骤 3.4.3

约去公因数。

$\frac{y^{2}}{(y - 1) (y^{2} + y + 1)} d y = \frac{1}{(y^{3} - 1) x^{2}} ((y^{3} - 1) (x^{2} + 1)) d x$

解题步骤 3.4.4

重写表达式。

$\frac{y^{2}}{(y - 1) (y^{2} + y + 1)} d y = \frac{1}{x^{2}} (x^{2} + 1) d x$

解题步骤 3.5

将 $\frac{1}{x^{2}}$ 乘以 $x^{2} + 1$ 。

$\frac{y^{2}}{(y - 1) (y^{2} + y + 1)} d y = \frac{x^{2} + 1}{x^{2}} d x$

解题步骤 4

对两边积分。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.1

在两边建立积分。

$\int \frac{y^{2}}{(y - 1) (y^{2} + y + 1)} d y = \int \frac{x^{2} + 1}{x^{2}} d x$

解题步骤 4.2

对左边积分。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.2.1

使 $u = (y - 1) (y^{2} + y + 1)$ 。然后使 $d u = 3 y^{2} d y$ ，以便 $\frac{1}{3} d u = y^{2} d y$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.2.1.1

设 $u = (y - 1) (y^{2} + y + 1)$ 。求 $\frac{d u}{d y}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.2.1.1.1

对 $(y - 1) (y^{2} + y + 1)$ 求导。

$\frac{d}{d y} [(y - 1) (y^{2} + y + 1)]$

解题步骤 4.2.1.1.2

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ 等于 $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ ，其中 $f (y) = y - 1$ 且 $g (y) = y^{2} + y + 1$ 。

$(y - 1) \frac{d}{d y} [y^{2} + y + 1] + (y^{2} + y + 1) \frac{d}{d y} [y - 1]$

解题步骤 4.2.1.1.3

求微分。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.2.1.1.3.1

根据加法法则， $y^{2} + y + 1$ 对 $y$ 的导数是 $\frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$ 。

$(y - 1) (\frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]) + (y^{2} + y + 1) \frac{d}{d y} [y - 1]$

解题步骤 4.2.1.1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 等于 $n y^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$(y - 1) (2 y + \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]) + (y^{2} + y + 1) \frac{d}{d y} [y - 1]$

解题步骤 4.2.1.1.3.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 等于 $n y^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$(y - 1) (2 y + 1 + \frac{d}{d y} [1]) + (y^{2} + y + 1) \frac{d}{d y} [y - 1]$

解题步骤 4.2.1.1.3.4

因为 $1$ 对于 $y$ 是常数，所以 $1$ 对 $y$ 的导数为 $0$ 。

$(y - 1) (2 y + 1 + 0) + (y^{2} + y + 1) \frac{d}{d y} [y - 1]$

解题步骤 4.2.1.1.3.5

将 $2 y + 1$ 和 $0$ 相加。

$(y - 1) (2 y + 1) + (y^{2} + y + 1) \frac{d}{d y} [y - 1]$

解题步骤 4.2.1.1.3.6

根据加法法则， $y - 1$ 对 $y$ 的导数是 $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 1]$ 。

$(y - 1) (2 y + 1) + (y^{2} + y + 1) (\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 1])$

解题步骤 4.2.1.1.3.7

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 等于 $n y^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$(y - 1) (2 y + 1) + (y^{2} + y + 1) (1 + \frac{d}{d y} [- 1])$

解题步骤 4.2.1.1.3.8

因为 $- 1$ 对于 $y$ 是常数，所以 $- 1$ 对 $y$ 的导数为 $0$ 。

$(y - 1) (2 y + 1) + (y^{2} + y + 1) (1 + 0)$

解题步骤 4.2.1.1.3.9

化简表达式。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.2.1.1.3.9.1

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$(y - 1) (2 y + 1) + (y^{2} + y + 1) \cdot 1$

解题步骤 4.2.1.1.3.9.2

将 $y^{2} + y + 1$ 乘以 $1$ 。

$(y - 1) (2 y + 1) + y^{2} + y + 1$

解题步骤 4.2.1.1.4

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.2.1.1.4.1

运用分配律。

$(y - 1) (2 y) + (y - 1) \cdot 1 + y^{2} + y + 1$

解题步骤 4.2.1.1.4.2

运用分配律。

$y (2 y) - 1 (2 y) + (y - 1) \cdot 1 + y^{2} + y + 1$

解题步骤 4.2.1.1.4.3

运用分配律。

$y (2 y) - 1 (2 y) + y \cdot 1 - 1 \cdot 1 + y^{2} + y + 1$

解题步骤 4.2.1.1.4.4

合并项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.2.1.1.4.4.1

对 $y$ 进行 $1$ 次方运算。

$2 (y^{1} y) - 1 (2 y) + y \cdot 1 - 1 \cdot 1 + y^{2} + y + 1$

解题步骤 4.2.1.1.4.4.2

对 $y$ 进行 $1$ 次方运算。

$2 (y^{1} y^{1}) - 1 (2 y) + y \cdot 1 - 1 \cdot 1 + y^{2} + y + 1$

解题步骤 4.2.1.1.4.4.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$2 y^{1 + 1} - 1 (2 y) + y \cdot 1 - 1 \cdot 1 + y^{2} + y + 1$

解题步骤 4.2.1.1.4.4.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$2 y^{2} - 1 (2 y) + y \cdot 1 - 1 \cdot 1 + y^{2} + y + 1$

解题步骤 4.2.1.1.4.4.5

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$2 y^{2} - 2 y + y \cdot 1 - 1 \cdot 1 + y^{2} + y + 1$

解题步骤 4.2.1.1.4.4.6

将 $y$ 乘以 $1$ 。

$2 y^{2} - 2 y + y - 1 \cdot 1 + y^{2} + y + 1$

解题步骤 4.2.1.1.4.4.7

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$2 y^{2} - 2 y + y - 1 + y^{2} + y + 1$

解题步骤 4.2.1.1.4.4.8

将 $- 2 y$ 和 $y$ 相加。

$2 y^{2} - y - 1 + y^{2} + y + 1$

解题步骤 4.2.1.1.4.4.9

将 $2 y^{2}$ 和 $y^{2}$ 相加。

$3 y^{2} - y - 1 + y + 1$

解题步骤 4.2.1.1.4.4.10

将 $- y$ 和 $y$ 相加。

$3 y^{2} + 0 - 1 + 1$

解题步骤 4.2.1.1.4.4.11

将 $3 y^{2}$ 和 $0$ 相加。

$3 y^{2} - 1 + 1$

解题步骤 4.2.1.1.4.4.12

将 $- 1$ 和 $1$ 相加。

$3 y^{2} + 0$

解题步骤 4.2.1.1.4.4.13

将 $3 y^{2}$ 和 $0$ 相加。

$3 y^{2}$

解题步骤 4.2.1.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$\int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{3} d u = \int \frac{x^{2} + 1}{x^{2}} d x$

解题步骤 4.2.2

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.2.2.1

将 $\frac{1}{u}$ 乘以 $\frac{1}{3}$ 。

$\int \frac{1}{u \cdot 3} d u = \int \frac{x^{2} + 1}{x^{2}} d x$

解题步骤 4.2.2.2

将 $3$ 移到 $u$ 的左侧。

$\int \frac{1}{3 u} d u = \int \frac{x^{2} + 1}{x^{2}} d x$

解题步骤 4.2.3

由于 $\frac{1}{3}$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $\frac{1}{3}$ 移到积分外。

$\frac{1}{3} \int \frac{1}{u} d u = \int \frac{x^{2} + 1}{x^{2}} d x$

解题步骤 4.2.4

$\frac{1}{u}$ 对 $u$ 的积分为 $\ln (| u |)$ 。

$\frac{1}{3} (\ln (| u |) + C_{1}) = \int \frac{x^{2} + 1}{x^{2}} d x$

解题步骤 4.2.5

化简。

$\frac{1}{3} \ln (| u |) + C_{1} = \int \frac{x^{2} + 1}{x^{2}} d x$

解题步骤 4.2.6

使用 $(y - 1) (y^{2} + y + 1)$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{1}{3} \ln (| (y - 1) (y^{2} + y + 1) |) + C_{1} = \int \frac{x^{2} + 1}{x^{2}} d x$

解题步骤 4.3

对右边积分。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.3.1

应用指数的基本规则。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.3.1.1

通过将 $x^{2}$ 乘以 $- 1$ 次幂来将其移出分母。

$\frac{1}{3} \ln (| (y - 1) (y^{2} + y + 1) |) + C_{1} = \int (x^{2} + 1) {(x^{2})}^{- 1} d x$

解题步骤 4.3.1.2

将 ${(x^{2})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.3.1.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{1}{3} \ln (| (y - 1) (y^{2} + y + 1) |) + C_{1} = \int (x^{2} + 1) x^{2 \cdot - 1} d x$

解题步骤 4.3.1.2.2

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{1}{3} \ln (| (y - 1) (y^{2} + y + 1) |) + C_{1} = \int (x^{2} + 1) x^{- 2} d x$

解题步骤 4.3.2

乘以 $(x^{2} + 1) x^{- 2}$ 。

$\frac{1}{3} \ln (| (y - 1) (y^{2} + y + 1) |) + C_{1} = \int x^{2} x^{- 2} + 1 x^{- 2} d x$

解题步骤 4.3.3

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.3.3.1

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x^{- 2}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.3.3.1.1

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{1}{3} \ln (| (y - 1) (y^{2} + y + 1) |) + C_{1} = \int x^{2 - 2} + 1 x^{- 2} d x$

解题步骤 4.3.3.1.2

从 $2$ 中减去 $2$ 。

$\frac{1}{3} \ln (| (y - 1) (y^{2} + y + 1) |) + C_{1} = \int x^{0} + 1 x^{- 2} d x$

解题步骤 4.3.3.2

化简 $x^{0}$ 。

$\frac{1}{3} \ln (| (y - 1) (y^{2} + y + 1) |) + C_{1} = \int 1 + 1 x^{- 2} d x$

解题步骤 4.3.3.3

将 $x^{- 2}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{3} \ln (| (y - 1) (y^{2} + y + 1) |) + C_{1} = \int 1 + x^{- 2} d x$

解题步骤 4.3.4

将单个积分拆分为多个积分。

$\frac{1}{3} \ln (| (y - 1) (y^{2} + y + 1) |) + C_{1} = \int d x + \int x^{- 2} d x$

解题步骤 4.3.5

应用常数不变法则。

$\frac{1}{3} \ln (| (y - 1) (y^{2} + y + 1) |) + C_{1} = x + C_{2} + \int x^{- 2} d x$

解题步骤 4.3.6

根据幂法则， $x^{- 2}$ 对 $x$ 的积分是 $- x^{- 1}$ 。

$\frac{1}{3} \ln (| (y - 1) (y^{2} + y + 1) |) + C_{1} = x + C_{2} - x^{- 1} + C_{3}$

解题步骤 4.3.7

化简。

$\frac{1}{3} \ln (| (y - 1) (y^{2} + y + 1) |) + C_{1} = x - \frac{1}{x} + C_{4}$

解题步骤 4.4

将右边的积分常数分组为 $C$ 。

$\frac{1}{3} \ln (| (y - 1) (y^{2} + y + 1) |) = x - \frac{1}{x} + C$

解题步骤 5

求解 $y$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.1

等式两边同时乘以 $3$ 。

$3 (\frac{1}{3} \ln (| (y - 1) (y^{2} + y + 1) |)) = 3 (x - \frac{1}{x} + C)$

解题步骤 5.2

化简方程的两边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.2.1

化简左边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.2.1.1

化简 $3 (\frac{1}{3} \ln (| (y - 1) (y^{2} + y + 1) |))$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.2.1.1.1

将第一个表达式中的每一项与第二个表达式中的每一项相乘来展开 $(y - 1) (y^{2} + y + 1)$ 。

$3 (\frac{1}{3} \ln (| y \cdot y^{2} + y \cdot y + y \cdot 1 - 1 y^{2} - 1 y - 1 \cdot 1 |)) = 3 (x - \frac{1}{x} + C)$

解题步骤 5.2.1.1.2

化简项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.2.1.1.2.1

合并 $y \cdot y^{2} + y \cdot y + y \cdot 1 - 1 y^{2} - 1 y - 1 \cdot 1$ 中相反的项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.2.1.1.2.1.1

按照 $y \cdot 1$ 和 $- 1 y$ 重新排列因数。

$3 (\frac{1}{3} \ln (| y \cdot y^{2} + y \cdot y + 1 y - 1 y^{2} - 1 y - 1 \cdot 1 |)) = 3 (x - \frac{1}{x} + C)$

解题步骤 5.2.1.1.2.1.2

从 $1 y$ 中减去 $1 y$ 。

$3 (\frac{1}{3} \ln (| y \cdot y^{2} + y \cdot y - 1 y^{2} + 0 - 1 \cdot 1 |)) = 3 (x - \frac{1}{x} + C)$

解题步骤 5.2.1.1.2.1.3

将 $y \cdot y^{2} + y \cdot y - 1 y^{2}$ 和 $0$ 相加。

$3 (\frac{1}{3} \ln (| y \cdot y^{2} + y \cdot y - 1 y^{2} - 1 \cdot 1 |)) = 3 (x - \frac{1}{x} + C)$

解题步骤 5.2.1.1.2.2

化简每一项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.2.1.1.2.2.1

通过指数相加将 $y$ 乘以 $y^{2}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.2.1.1.2.2.1.1

将 $y$ 乘以 $y^{2}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.2.1.1.2.2.1.1.1

对 $y$ 进行 $1$ 次方运算。

$3 (\frac{1}{3} \ln (| y^{1} y^{2} + y \cdot y - 1 y^{2} - 1 \cdot 1 |)) = 3 (x - \frac{1}{x} + C)$

解题步骤 5.2.1.1.2.2.1.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$3 (\frac{1}{3} \ln (| y^{1 + 2} + y \cdot y - 1 y^{2} - 1 \cdot 1 |)) = 3 (x - \frac{1}{x} + C)$

解题步骤 5.2.1.1.2.2.1.2

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$3 (\frac{1}{3} \ln (| y^{3} + y \cdot y - 1 y^{2} - 1 \cdot 1 |)) = 3 (x - \frac{1}{x} + C)$

解题步骤 5.2.1.1.2.2.2

将 $y$ 乘以 $y$ 。

$3 (\frac{1}{3} \ln (| y^{3} + y^{2} - 1 y^{2} - 1 \cdot 1 |)) = 3 (x - \frac{1}{x} + C)$

解题步骤 5.2.1.1.2.2.3

将 $- 1 y^{2}$ 重写为 $- y^{2}$ 。

$3 (\frac{1}{3} \ln (| y^{3} + y^{2} - y^{2} - 1 \cdot 1 |)) = 3 (x - \frac{1}{x} + C)$

解题步骤 5.2.1.1.2.2.4

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$3 (\frac{1}{3} \ln (| y^{3} + y^{2} - y^{2} - 1 |)) = 3 (x - \frac{1}{x} + C)$

解题步骤 5.2.1.1.2.3

化简项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.2.1.1.2.3.1

合并 $y^{3} + y^{2} - y^{2} - 1$ 中相反的项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.2.1.1.2.3.1.1

从 $y^{2}$ 中减去 $y^{2}$ 。

$3 (\frac{1}{3} \ln (| y^{3} + 0 - 1 |)) = 3 (x - \frac{1}{x} + C)$

解题步骤 5.2.1.1.2.3.1.2

将 $y^{3}$ 和 $0$ 相加。

$3 (\frac{1}{3} \ln (| y^{3} - 1 |)) = 3 (x - \frac{1}{x} + C)$

解题步骤 5.2.1.1.2.3.2

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $\ln (| y^{3} - 1 |)$ 。

$3 \frac{\ln (| y^{3} - 1 |)}{3} = 3 (x - \frac{1}{x} + C)$

解题步骤 5.2.1.1.2.3.3

约去 $3$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.2.1.1.2.3.3.1

约去公因数。

$3 \frac{\ln (| y^{3} - 1 |)}{3} = 3 (x - \frac{1}{x} + C)$

解题步骤 5.2.1.1.2.3.3.2

重写表达式。

$\ln (| y^{3} - 1 |) = 3 (x - \frac{1}{x} + C)$

解题步骤 5.2.2

化简右边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.2.2.1

化简 $3 (x - \frac{1}{x} + C)$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.2.2.1.1

运用分配律。

$\ln (| y^{3} - 1 |) = 3 x + 3 (- \frac{1}{x}) + 3 C$

解题步骤 5.2.2.1.2

乘以 $3 (- \frac{1}{x})$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.2.2.1.2.1

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$\ln (| y^{3} - 1 |) = 3 x - 3 \frac{1}{x} + 3 C$

解题步骤 5.2.2.1.2.2

组合 $- 3$ 和 $\frac{1}{x}$ 。

$\ln (| y^{3} - 1 |) = 3 x + \frac{- 3}{x} + 3 C$

解题步骤 5.2.2.1.3

将负号移到分数的前面。

$\ln (| y^{3} - 1 |) = 3 x - \frac{3}{x} + 3 C$

解题步骤 5.3

要求解 $y$ ，请利用对数的性质重写方程。

$e^{\ln (| y^{3} - 1 |)} = e^{3 x - \frac{3}{x} + 3 C}$

解题步骤 5.4

使用对数的定义将 $\ln (| y^{3} - 1 |) = 3 x - \frac{3}{x} + 3 C$ 重写成指数形式。如果 $x$ 和 $b$ 是正实数且 $b \neq 1$ ，则 $\log_{b} (x) = y$ 等价于 $b^{y} = x$ 。

$e^{3 x - \frac{3}{x} + 3 C} = | y^{3} - 1 |$

解题步骤 5.5

求解 $y$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.5.1

将方程重写为 $| y^{3} - 1 | = e^{3 x - \frac{3}{x} + 3 C}$ 。

$| y^{3} - 1 | = e^{3 x - \frac{3}{x} + 3 C}$

解题步骤 5.5.2

去掉绝对值项。因为 $| x | = \pm x$ ，所以这将使方程右边新增 $\pm$ 。

$y^{3} - 1 = \pm e^{3 x - \frac{3}{x} + 3 C}$

解题步骤 5.5.3

在等式两边都加上 $1$ 。

$y^{3} = \pm e^{3 x - \frac{3}{x} + 3 C} + 1$

解题步骤 5.5.4

取方程两边的指定根来消去方程左边的指数。

$y = \sqrt[3]{\pm e^{3 x - \frac{3}{x} + 3 C} + 1}$

解题步骤 5.5.5

化简每一项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.5.5.1

要将 $3 x$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{x}{x}$ 。

$y = \sqrt[3]{\pm e^{\frac{3 x \cdot x}{x} - \frac{3}{x} + 3 C} + 1}$

解题步骤 5.5.5.2

在公分母上合并分子。

$y = \sqrt[3]{\pm e^{\frac{3 x \cdot x - 3}{x} + 3 C} + 1}$

解题步骤 5.5.5.3

化简分子。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.5.5.3.1

从 $3 x \cdot x - 3$ 中分解出因数 $3$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.5.5.3.1.1

从 $3 x \cdot x$ 中分解出因数 $3$ 。

$y = \sqrt[3]{\pm e^{\frac{3 (x \cdot x) - 3}{x} + 3 C} + 1}$

解题步骤 5.5.5.3.1.2

从 $- 3$ 中分解出因数 $3$ 。

$y = \sqrt[3]{\pm e^{\frac{3 (x \cdot x) + 3 (- 1)}{x} + 3 C} + 1}$

解题步骤 5.5.5.3.1.3

从 $3 (x \cdot x) + 3 (- 1)$ 中分解出因数 $3$ 。

$y = \sqrt[3]{\pm e^{\frac{3 (x \cdot x - 1)}{x} + 3 C} + 1}$

解题步骤 5.5.5.3.2

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$y = \sqrt[3]{\pm e^{\frac{3 (x^{1} x - 1)}{x} + 3 C} + 1}$

解题步骤 5.5.5.3.3

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$y = \sqrt[3]{\pm e^{\frac{3 (x^{1} x^{1} - 1)}{x} + 3 C} + 1}$

解题步骤 5.5.5.3.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$y = \sqrt[3]{\pm e^{\frac{3 (x^{1 + 1} - 1)}{x} + 3 C} + 1}$

解题步骤 5.5.5.3.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$y = \sqrt[3]{\pm e^{\frac{3 (x^{2} - 1)}{x} + 3 C} + 1}$

解题步骤 5.5.5.3.6

将 $1$ 重写为 $1^{2}$ 。

$y = \sqrt[3]{\pm e^{\frac{3 (x^{2} - 1^{2})}{x} + 3 C} + 1}$

解题步骤 5.5.5.3.7

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = x$ 和 $b = 1$ 。

$y = \sqrt[3]{\pm e^{\frac{3 (x + 1) (x - 1)}{x} + 3 C} + 1}$

解题步骤 5.5.5.4

要将 $3 C$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{x}{x}$ 。

$y = \sqrt[3]{\pm e^{\frac{3 (x + 1) (x - 1)}{x} + \frac{3 C x}{x}} + 1}$

解题步骤 5.5.5.5

在公分母上合并分子。

$y = \sqrt[3]{\pm e^{\frac{3 (x + 1) (x - 1) + 3 C x}{x}} + 1}$

解题步骤 5.5.5.6

化简分子。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.5.5.6.1

从 $3 (x + 1) (x - 1) + 3 C x$ 中分解出因数 $3$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.5.5.6.1.1

从 $3 (x + 1) (x - 1)$ 中分解出因数 $3$ 。

$y = \sqrt[3]{\pm e^{\frac{3 ((x + 1) (x - 1)) + 3 C x}{x}} + 1}$

解题步骤 5.5.5.6.1.2

从 $3 C x$ 中分解出因数 $3$ 。

$y = \sqrt[3]{\pm e^{\frac{3 ((x + 1) (x - 1)) + 3 (C x)}{x}} + 1}$

解题步骤 5.5.5.6.1.3

从 $3 ((x + 1) (x - 1)) + 3 (C x)$ 中分解出因数 $3$ 。

$y = \sqrt[3]{\pm e^{\frac{3 ((x + 1) (x - 1) + C x)}{x}} + 1}$

解题步骤 5.5.5.6.2

使用 FOIL 方法展开 $(x + 1) (x - 1)$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.5.5.6.2.1

运用分配律。

$y = \sqrt[3]{\pm e^{\frac{3 (x (x - 1) + 1 (x - 1) + C x)}{x}} + 1}$

解题步骤 5.5.5.6.2.2

运用分配律。

$y = \sqrt[3]{\pm e^{\frac{3 (x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 (x - 1) + C x)}{x}} + 1}$

解题步骤 5.5.5.6.2.3

运用分配律。

$y = \sqrt[3]{\pm e^{\frac{3 (x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1 + C x)}{x}} + 1}$

解题步骤 5.5.5.6.3

化简并合并同类项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.5.5.6.3.1

化简每一项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.5.5.6.3.1.1

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$y = \sqrt[3]{\pm e^{\frac{3 (x^{2} + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1 + C x)}{x}} + 1}$

解题步骤 5.5.5.6.3.1.2

将 $- 1$ 移到 $x$ 的左侧。

$y = \sqrt[3]{\pm e^{\frac{3 (x^{2} - 1 \cdot x + 1 x + 1 \cdot - 1 + C x)}{x}} + 1}$

解题步骤 5.5.5.6.3.1.3

将 $- 1 x$ 重写为 $- x$ 。

$y = \sqrt[3]{\pm e^{\frac{3 (x^{2} - x + 1 x + 1 \cdot - 1 + C x)}{x}} + 1}$

解题步骤 5.5.5.6.3.1.4

将 $x$ 乘以 $1$ 。

$y = \sqrt[3]{\pm e^{\frac{3 (x^{2} - x + x + 1 \cdot - 1 + C x)}{x}} + 1}$

解题步骤 5.5.5.6.3.1.5

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$y = \sqrt[3]{\pm e^{\frac{3 (x^{2} - x + x - 1 + C x)}{x}} + 1}$

解题步骤 5.5.5.6.3.2

将 $- x$ 和 $x$ 相加。

$y = \sqrt[3]{\pm e^{\frac{3 (x^{2} + 0 - 1 + C x)}{x}} + 1}$

解题步骤 5.5.5.6.3.3

将 $x^{2}$ 和 $0$ 相加。

$y = \sqrt[3]{\pm e^{\frac{3 (x^{2} - 1 + C x)}{x}} + 1}$

微积分学 示例

微积分学示例