微积分学示例

$\frac{d y}{d x} = 3 x + 2 y$

解题步骤 1

从等式两边同时减去 $2 y$ 。

$\frac{d y}{d x} - 2 y = 3 x$

解题步骤 2

积分因数由公式 $e^{\int P (x) d x}$ 定义，其中 $P (x) = - 2$ 。

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解题步骤 2.1

建立积分。

$e^{\int - 2 d x}$

解题步骤 2.2

应用常数不变法则。

$e^{- 2 x + C}$

解题步骤 2.3

去掉积分常数。

$e^{- 2 x}$

解题步骤 3

每一项乘以积分因数 $e^{- 2 x}$ 。

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解题步骤 3.1

每一项乘以 $e^{- 2 x}$ 。

$e^{- 2 x} \frac{d y}{d x} + e^{- 2 x} (- 2 y) = e^{- 2 x} (3 x)$

解题步骤 3.2

使用乘法的交换性质重写。

$e^{- 2 x} \frac{d y}{d x} - 2 e^{- 2 x} y = e^{- 2 x} (3 x)$

解题步骤 3.3

使用乘法的交换性质重写。

$e^{- 2 x} \frac{d y}{d x} - 2 e^{- 2 x} y = 3 e^{- 2 x} x$

解题步骤 3.4

将 $e^{- 2 x} \frac{d y}{d x} - 2 e^{- 2 x} y = 3 e^{- 2 x} x$ 中的因式重新排序。

$e^{- 2 x} \frac{d y}{d x} - 2 y e^{- 2 x} = 3 x e^{- 2 x}$

解题步骤 4

将左边重写为对积求导的结果。

$\frac{d}{d x} [e^{- 2 x} y] = 3 x e^{- 2 x}$

解题步骤 5

在两边建立积分。

$\int \frac{d}{d x} [e^{- 2 x} y] d x = \int 3 x e^{- 2 x} d x$

解题步骤 6

对左边积分。

$e^{- 2 x} y = \int 3 x e^{- 2 x} d x$

解题步骤 7

对右边积分。

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解题步骤 7.1

由于 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $3$ 移到积分外。

$e^{- 2 x} y = 3 \int x e^{- 2 x} d x$

解题步骤 7.2

利用公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ 来分部求积分，其中 $u = x$ ， $d v = e^{- 2 x}$ 。

$e^{- 2 x} y = 3 (x (- \frac{1}{2} e^{- 2 x}) - \int - \frac{1}{2} e^{- 2 x} d x)$

解题步骤 7.3

化简。

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解题步骤 7.3.1

组合 $e^{- 2 x}$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$e^{- 2 x} y = 3 (x (- \frac{e^{- 2 x}}{2}) - \int - \frac{1}{2} e^{- 2 x} d x)$

解题步骤 7.3.2

组合 $x$ 和 $\frac{e^{- 2 x}}{2}$ 。

$e^{- 2 x} y = 3 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} - \int - \frac{1}{2} e^{- 2 x} d x)$

解题步骤 7.3.3

组合 $e^{- 2 x}$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$e^{- 2 x} y = 3 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} - \int - \frac{e^{- 2 x}}{2} d x)$

解题步骤 7.4

由于 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$e^{- 2 x} y = 3 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} - - \int \frac{e^{- 2 x}}{2} d x)$

解题步骤 7.5

化简。

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解题步骤 7.5.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$e^{- 2 x} y = 3 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} + 1 \int \frac{e^{- 2 x}}{2} d x)$

解题步骤 7.5.2

将 $\int \frac{e^{- 2 x}}{2} d x$ 乘以 $1$ 。

$e^{- 2 x} y = 3 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} + \int \frac{e^{- 2 x}}{2} d x)$

解题步骤 7.6

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$e^{- 2 x} y = 3 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} + \frac{1}{2} \int e^{- 2 x} d x)$

解题步骤 7.7

使 $u = - 2 x$ 。然后使 $d u = - 2 d x$ ，以便 $- \frac{1}{2} d u = d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 7.7.1

设 $u = - 2 x$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 7.7.1.1

对 $- 2 x$ 求导。

$\frac{d}{d x} [- 2 x]$

解题步骤 7.7.1.2

因为 $- 2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 2 x$ 对 $x$ 的导数是 $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$- 2 \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 7.7.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$- 2 \cdot 1$

解题步骤 7.7.1.4

将 $- 2$ 乘以 $1$ 。

$- 2$

解题步骤 7.7.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$e^{- 2 x} y = 3 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} + \frac{1}{2} \int e^{u} \frac{1}{- 2} d u)$

解题步骤 7.8

化简。

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解题步骤 7.8.1

将负号移到分数的前面。

$e^{- 2 x} y = 3 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} + \frac{1}{2} \int e^{u} (- \frac{1}{2}) d u)$

解题步骤 7.8.2

组合 $e^{u}$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$e^{- 2 x} y = 3 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} + \frac{1}{2} \int - \frac{e^{u}}{2} d u)$

解题步骤 7.9

由于 $- 1$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$e^{- 2 x} y = 3 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} + \frac{1}{2} (- \int \frac{e^{u}}{2} d u))$

解题步骤 7.10

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$e^{- 2 x} y = 3 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} + \frac{1}{2} (- (\frac{1}{2} \int e^{u} d u)))$

解题步骤 7.11

化简。

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解题步骤 7.11.1

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $\frac{1}{2}$ 。

$e^{- 2 x} y = 3 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} - \frac{1}{2 \cdot 2} \int e^{u} d u)$

解题步骤 7.11.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$e^{- 2 x} y = 3 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} - \frac{1}{4} \int e^{u} d u)$

解题步骤 7.12

$e^{u}$ 对 $u$ 的积分为 $e^{u}$ 。

$e^{- 2 x} y = 3 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u} + C))$

解题步骤 7.13

化简。

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解题步骤 7.13.1

将 $3 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u} + C))$ 重写为 $3 (- \frac{1}{2} x e^{- 2 x} - \frac{1}{4} e^{u}) + C$ 。

$e^{- 2 x} y = 3 (- \frac{1}{2} x e^{- 2 x} - \frac{1}{4} e^{u}) + C$

解题步骤 7.13.2

化简。

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解题步骤 7.13.2.1

组合 $x$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$e^{- 2 x} y = 3 (- \frac{x}{2} e^{- 2 x} - \frac{1}{4} e^{u}) + C$

解题步骤 7.13.2.2

组合 $e^{- 2 x}$ 和 $\frac{x}{2}$ 。

$e^{- 2 x} y = 3 (- \frac{e^{- 2 x} x}{2} - \frac{1}{4} e^{u}) + C$

解题步骤 7.13.2.3

组合 $e^{u}$ 和 $\frac{1}{4}$ 。

$e^{- 2 x} y = 3 (- \frac{e^{- 2 x} x}{2} - \frac{e^{u}}{4}) + C$

解题步骤 7.14

使用 $- 2 x$ 替换所有出现的 $u$ 。

$e^{- 2 x} y = 3 (- \frac{e^{- 2 x} x}{2} - \frac{e^{- 2 x}}{4}) + C$

解题步骤 7.15

重新排序项。

$e^{- 2 x} y = 3 (- \frac{1}{2} e^{- 2 x} x - \frac{1}{4} e^{- 2 x}) + C$

解题步骤 8

求解 $y$ 。

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解题步骤 8.1

化简。

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解题步骤 8.1.1

组合 $e^{- 2 x}$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$e^{- 2 x} y = 3 (- \frac{e^{- 2 x}}{2} \cdot x - \frac{1}{4} \cdot e^{- 2 x}) + C$

解题步骤 8.1.2

组合 $x$ 和 $\frac{e^{- 2 x}}{2}$ 。

$e^{- 2 x} y = 3 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} - \frac{1}{4} \cdot e^{- 2 x}) + C$

解题步骤 8.1.3

组合 $e^{- 2 x}$ 和 $\frac{1}{4}$ 。

$e^{- 2 x} y = 3 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} - \frac{e^{- 2 x}}{4}) + C$

解题步骤 8.2

将 $e^{- 2 x} y = 3 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} - \frac{e^{- 2 x}}{4}) + C$ 中的每一项除以 $e^{- 2 x}$ 并化简。

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解题步骤 8.2.1

将 $e^{- 2 x} y = 3 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} - \frac{e^{- 2 x}}{4}) + C$ 中的每一项都除以 $e^{- 2 x}$ 。

$\frac{e^{- 2 x} y}{e^{- 2 x}} = \frac{3 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} - \frac{e^{- 2 x}}{4})}{e^{- 2 x}} + \frac{C}{e^{- 2 x}}$

解题步骤 8.2.2

化简左边。

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解题步骤 8.2.2.1

约去 $e^{- 2 x}$ 的公因数。

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解题步骤 8.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{e^{- 2 x} y}{e^{- 2 x}} = \frac{3 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} - \frac{e^{- 2 x}}{4})}{e^{- 2 x}} + \frac{C}{e^{- 2 x}}$

解题步骤 8.2.2.1.2

用 $y$ 除以 $1$ 。

$y = \frac{3 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} - \frac{e^{- 2 x}}{4})}{e^{- 2 x}} + \frac{C}{e^{- 2 x}}$

解题步骤 8.2.3

化简右边。

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解题步骤 8.2.3.1

在公分母上合并分子。

$y = \frac{3 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} - \frac{e^{- 2 x}}{4}) + C}{e^{- 2 x}}$

解题步骤 8.2.3.2

化简分子。

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解题步骤 8.2.3.2.1

运用分配律。

$y = \frac{3 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2}) + 3 (- \frac{e^{- 2 x}}{4}) + C}{e^{- 2 x}}$

解题步骤 8.2.3.2.2

乘以 $3 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2})$ 。

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解题步骤 8.2.3.2.2.1

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$y = \frac{- 3 \frac{x e^{- 2 x}}{2} + 3 (- \frac{e^{- 2 x}}{4}) + C}{e^{- 2 x}}$

解题步骤 8.2.3.2.2.2

组合 $- 3$ 和 $\frac{x e^{- 2 x}}{2}$ 。

$y = \frac{\frac{- 3 (x e^{- 2 x})}{2} + 3 (- \frac{e^{- 2 x}}{4}) + C}{e^{- 2 x}}$

解题步骤 8.2.3.2.3

乘以 $3 (- \frac{e^{- 2 x}}{4})$ 。

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解题步骤 8.2.3.2.3.1

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$y = \frac{\frac{- 3 (x e^{- 2 x})}{2} - 3 \frac{e^{- 2 x}}{4} + C}{e^{- 2 x}}$

解题步骤 8.2.3.2.3.2

组合 $- 3$ 和 $\frac{e^{- 2 x}}{4}$ 。

$y = \frac{\frac{- 3 (x e^{- 2 x})}{2} + \frac{- 3 e^{- 2 x}}{4} + C}{e^{- 2 x}}$

解题步骤 8.2.3.2.4

化简每一项。

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解题步骤 8.2.3.2.4.1

将负号移到分数的前面。

$y = \frac{- \frac{3 x e^{- 2 x}}{2} + \frac{- 3 e^{- 2 x}}{4} + C}{e^{- 2 x}}$

解题步骤 8.2.3.2.4.2

将负号移到分数的前面。

$y = \frac{- \frac{3 x e^{- 2 x}}{2} - \frac{3 e^{- 2 x}}{4} + C}{e^{- 2 x}}$

解题步骤 8.2.3.2.5

要将 $- \frac{3 x e^{- 2 x}}{2}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$y = \frac{- \frac{3 x e^{- 2 x}}{2} \cdot \frac{2}{2} - \frac{3 e^{- 2 x}}{4} + C}{e^{- 2 x}}$

解题步骤 8.2.3.2.6

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $4$ 的形式。

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解题步骤 8.2.3.2.6.1

将 $\frac{3 x e^{- 2 x}}{2}$ 乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$y = \frac{- \frac{3 x e^{- 2 x} \cdot 2}{2 \cdot 2} - \frac{3 e^{- 2 x}}{4} + C}{e^{- 2 x}}$

解题步骤 8.2.3.2.6.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$y = \frac{- \frac{3 x e^{- 2 x} \cdot 2}{4} - \frac{3 e^{- 2 x}}{4} + C}{e^{- 2 x}}$

解题步骤 8.2.3.2.7

在公分母上合并分子。

$y = \frac{\frac{- 3 x e^{- 2 x} \cdot 2 - 3 e^{- 2 x}}{4} + C}{e^{- 2 x}}$

解题步骤 8.2.3.2.8

化简分子。

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解题步骤 8.2.3.2.8.1

从 $- 3 x e^{- 2 x} \cdot 2 - 3 e^{- 2 x}$ 中分解出因数 $3 e^{- 2 x}$ 。

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解题步骤 8.2.3.2.8.1.1

从 $- 3 x e^{- 2 x} \cdot 2$ 中分解出因数 $3 e^{- 2 x}$ 。

$y = \frac{\frac{3 e^{- 2 x} (- x \cdot 2) - 3 e^{- 2 x}}{4} + C}{e^{- 2 x}}$

解题步骤 8.2.3.2.8.1.2

从 $- 3 e^{- 2 x}$ 中分解出因数 $3 e^{- 2 x}$ 。

$y = \frac{\frac{3 e^{- 2 x} (- x \cdot 2) + 3 e^{- 2 x} (- 1)}{4} + C}{e^{- 2 x}}$

解题步骤 8.2.3.2.8.1.3

从 $3 e^{- 2 x} (- x \cdot 2) + 3 e^{- 2 x} (- 1)$ 中分解出因数 $3 e^{- 2 x}$ 。

$y = \frac{\frac{3 e^{- 2 x} (- x \cdot 2 - 1)}{4} + C}{e^{- 2 x}}$

解题步骤 8.2.3.2.8.2

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$y = \frac{\frac{3 e^{- 2 x} (- 2 x - 1)}{4} + C}{e^{- 2 x}}$

解题步骤 8.2.3.2.9

要将 $C$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{4}{4}$ 。

$y = \frac{\frac{3 e^{- 2 x} (- 2 x - 1)}{4} + C \cdot \frac{4}{4}}{e^{- 2 x}}$

解题步骤 8.2.3.2.10

组合 $C$ 和 $\frac{4}{4}$ 。

$y = \frac{\frac{3 e^{- 2 x} (- 2 x - 1)}{4} + \frac{C \cdot 4}{4}}{e^{- 2 x}}$

解题步骤 8.2.3.2.11

在公分母上合并分子。

$y = \frac{\frac{3 e^{- 2 x} (- 2 x - 1) + C \cdot 4}{4}}{e^{- 2 x}}$

解题步骤 8.2.3.2.12

化简分子。

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解题步骤 8.2.3.2.12.1

运用分配律。

$y = \frac{\frac{3 e^{- 2 x} (- 2 x) + 3 e^{- 2 x} \cdot - 1 + C \cdot 4}{4}}{e^{- 2 x}}$

解题步骤 8.2.3.2.12.2

使用乘法的交换性质重写。

$y = \frac{\frac{3 \cdot - 2 e^{- 2 x} x + 3 e^{- 2 x} \cdot - 1 + C \cdot 4}{4}}{e^{- 2 x}}$

解题步骤 8.2.3.2.12.3

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$y = \frac{\frac{3 \cdot - 2 e^{- 2 x} x - 3 e^{- 2 x} + C \cdot 4}{4}}{e^{- 2 x}}$

解题步骤 8.2.3.2.12.4

将 $3$ 乘以 $- 2$ 。

$y = \frac{\frac{- 6 e^{- 2 x} x - 3 e^{- 2 x} + C \cdot 4}{4}}{e^{- 2 x}}$

解题步骤 8.2.3.2.12.5

将 $4$ 移到 $C$ 的左侧。

$y = \frac{\frac{- 6 e^{- 2 x} x - 3 e^{- 2 x} + 4 C}{4}}{e^{- 2 x}}$

解题步骤 8.2.3.3

将分子乘以分母的倒数。

$y = \frac{- 6 e^{- 2 x} x - 3 e^{- 2 x} + 4 C}{4} \cdot \frac{1}{e^{- 2 x}}$

解题步骤 8.2.3.4

将 $\frac{- 6 e^{- 2 x} x - 3 e^{- 2 x} + 4 C}{4}$ 乘以 $\frac{1}{e^{- 2 x}}$ 。

$y = \frac{- 6 e^{- 2 x} x - 3 e^{- 2 x} + 4 C}{4 e^{- 2 x}}$

解题步骤 8.2.3.5

从 $- 6 e^{- 2 x} x$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$y = \frac{- (6 e^{- 2 x} x) - 3 e^{- 2 x} + 4 C}{4 e^{- 2 x}}$

解题步骤 8.2.3.6

从 $- 3 e^{- 2 x}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$y = \frac{- (6 e^{- 2 x} x) - (3 e^{- 2 x}) + 4 C}{4 e^{- 2 x}}$

解题步骤 8.2.3.7

从 $- (6 e^{- 2 x} x) - (3 e^{- 2 x})$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$y = \frac{- (6 e^{- 2 x} x + 3 e^{- 2 x}) + 4 C}{4 e^{- 2 x}}$

解题步骤 8.2.3.8

从 $4 C$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$y = \frac{- (6 e^{- 2 x} x + 3 e^{- 2 x}) - (- 4 C)}{4 e^{- 2 x}}$

解题步骤 8.2.3.9

从 $- (6 e^{- 2 x} x + 3 e^{- 2 x}) - (- 4 C)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$y = \frac{- (6 e^{- 2 x} x + 3 e^{- 2 x} - 4 C)}{4 e^{- 2 x}}$

解题步骤 8.2.3.10

化简表达式。

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解题步骤 8.2.3.10.1

将 $- (6 e^{- 2 x} x + 3 e^{- 2 x} - 4 C)$ 重写为 $- 1 (6 e^{- 2 x} x + 3 e^{- 2 x} - 4 C)$ 。

$y = \frac{- 1 (6 e^{- 2 x} x + 3 e^{- 2 x} - 4 C)}{4 e^{- 2 x}}$

解题步骤 8.2.3.10.2

将负号移到分数的前面。

$y = - \frac{6 e^{- 2 x} x + 3 e^{- 2 x} - 4 C}{4 e^{- 2 x}}$

解题步骤 8.2.3.10.3

将 $- \frac{6 e^{- 2 x} x + 3 e^{- 2 x} - 4 C}{4 e^{- 2 x}}$ 中的因式重新排序。

$y = - \frac{6 x e^{- 2 x} + 3 e^{- 2 x} - 4 C}{4 e^{- 2 x}}$

微积分学 示例

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