微积分学示例

$(x^{2} + 1) \frac{d y}{d x} + 3 x y = 6 x$

解题步骤 1

分离变量。

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解题步骤 1.1

求解 $\frac{d y}{d x}$ 。

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解题步骤 1.1.1

化简每一项。

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解题步骤 1.1.1.1

运用分配律。

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 1 \frac{d y}{d x} + 3 x y = 6 x$

解题步骤 1.1.1.2

将 $\frac{d y}{d x}$ 乘以 $1$ 。

$x^{2} \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} + 3 x y = 6 x$

解题步骤 1.1.2

从等式两边同时减去 $3 x y$ 。

$x^{2} \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} = 6 x - 3 x y$

解题步骤 1.1.3

从 $x^{2} \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x}$ 中分解出因数 $\frac{d y}{d x}$ 。

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解题步骤 1.1.3.1

从 $x^{2} \frac{d y}{d x}$ 中分解出因数 $\frac{d y}{d x}$ 。

$\frac{d y}{d x} x^{2} + \frac{d y}{d x} = 6 x - 3 x y$

解题步骤 1.1.3.2

对 $\frac{d y}{d x}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{d y}{d x} x^{2} + \frac{d y}{d x} = 6 x - 3 x y$

解题步骤 1.1.3.3

从 ${(\frac{d y}{d x})}^{1}$ 中分解出因数 $\frac{d y}{d x}$ 。

$\frac{d y}{d x} x^{2} + \frac{d y}{d x} \cdot 1 = 6 x - 3 x y$

解题步骤 1.1.3.4

从 $\frac{d y}{d x} x^{2} + \frac{d y}{d x} \cdot 1$ 中分解出因数 $\frac{d y}{d x}$ 。

$\frac{d y}{d x} (x^{2} + 1) = 6 x - 3 x y$

解题步骤 1.1.4

将 $\frac{d y}{d x} (x^{2} + 1) = 6 x - 3 x y$ 中的每一项除以 $x^{2} + 1$ 并化简。

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解题步骤 1.1.4.1

将 $\frac{d y}{d x} (x^{2} + 1) = 6 x - 3 x y$ 中的每一项都除以 $x^{2} + 1$ 。

$\frac{\frac{d y}{d x} (x^{2} + 1)}{x^{2} + 1} = \frac{6 x}{x^{2} + 1} + \frac{- 3 x y}{x^{2} + 1}$

解题步骤 1.1.4.2

化简左边。

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解题步骤 1.1.4.2.1

约去 $x^{2} + 1$ 的公因数。

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解题步骤 1.1.4.2.1.1

约去公因数。

$\frac{\frac{d y}{d x} (x^{2} + 1)}{x^{2} + 1} = \frac{6 x}{x^{2} + 1} + \frac{- 3 x y}{x^{2} + 1}$

解题步骤 1.1.4.2.1.2

用 $\frac{d y}{d x}$ 除以 $1$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{6 x}{x^{2} + 1} + \frac{- 3 x y}{x^{2} + 1}$

解题步骤 1.1.4.3

化简右边。

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解题步骤 1.1.4.3.1

在公分母上合并分子。

$\frac{d y}{d x} = \frac{6 x - 3 x y}{x^{2} + 1}$

解题步骤 1.1.4.3.2

化简分子。

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解题步骤 1.1.4.3.2.1

从 $6 x - 3 x y$ 中分解出因数 $3 x$ 。

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解题步骤 1.1.4.3.2.1.1

从 $6 x$ 中分解出因数 $3 x$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 x (2) - 3 x y}{x^{2} + 1}$

解题步骤 1.1.4.3.2.1.2

从 $- 3 x y$ 中分解出因数 $3 x$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 x (2) + 3 x (- 1 y)}{x^{2} + 1}$

解题步骤 1.1.4.3.2.1.3

从 $3 x (2) + 3 x (- 1 y)$ 中分解出因数 $3 x$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 x (2 - 1 y)}{x^{2} + 1}$

解题步骤 1.1.4.3.2.2

将 $- 1 y$ 重写为 $- y$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 x (2 - y)}{x^{2} + 1}$

解题步骤 1.2

重新组合因数。

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 x}{x^{2} + 1} (2 - y)$

解题步骤 1.3

两边同时乘以 $\frac{1}{2 - y}$ 。

$\frac{1}{2 - y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{2 - y} (\frac{3 x}{x^{2} + 1} (2 - y))$

解题步骤 1.4

约去 $2 - y$ 的公因数。

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解题步骤 1.4.1

从 $\frac{3 x}{x^{2} + 1} (2 - y)$ 中分解出因数 $2 - y$ 。

$\frac{1}{2 - y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{2 - y} ((2 - y) \frac{3 x}{x^{2} + 1})$

解题步骤 1.4.2

约去公因数。

$\frac{1}{2 - y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{2 - y} ((2 - y) \frac{3 x}{x^{2} + 1})$

解题步骤 1.4.3

重写表达式。

$\frac{1}{2 - y} \frac{d y}{d x} = \frac{3 x}{x^{2} + 1}$

解题步骤 1.5

重写该方程。

$\frac{1}{2 - y} d y = \frac{3 x}{x^{2} + 1} d x$

解题步骤 2

对两边积分。

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解题步骤 2.1

在两边建立积分。

$\int \frac{1}{2 - y} d y = \int \frac{3 x}{x^{2} + 1} d x$

解题步骤 2.2

对左边积分。

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解题步骤 2.2.1

使 $u_{1} = 2 - y$ 。然后使 $d u_{1} = - d y$ ，以便 $- d u_{1} = d y$ 。使用 $u_{1}$ 和 $d$ $u_{1}$ 进行重写。

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解题步骤 2.2.1.1

设 $u_{1} = 2 - y$ 。求 $\frac{d u_{1}}{d y}$ 。

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解题步骤 2.2.1.1.1

重写。

$\frac{- 1}{1}$

解题步骤 2.2.1.1.2

用 $- 1$ 除以 $1$ 。

$- 1$

解题步骤 2.2.1.2

使用 $u_{1}$ 和 $d u_{1}$ 重写该问题。

$\int \frac{- 1}{u_{1}} d u_{1} = \int \frac{3 x}{x^{2} + 1} d x$

解题步骤 2.2.2

将分数分解成多个分数。

$\int - \frac{1}{u_{1}} d u_{1} = \int \frac{3 x}{x^{2} + 1} d x$

解题步骤 2.2.3

由于 $- 1$ 对于 $u_{1}$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$- \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} = \int \frac{3 x}{x^{2} + 1} d x$

解题步骤 2.2.4

$\frac{1}{u_{1}}$ 对 $u_{1}$ 的积分为 $\ln (| u_{1} |)$ 。

$- (\ln (| u_{1} |) + C_{1}) = \int \frac{3 x}{x^{2} + 1} d x$

解题步骤 2.2.5

化简。

$- \ln (| u_{1} |) + C_{1} = \int \frac{3 x}{x^{2} + 1} d x$

解题步骤 2.2.6

使用 $2 - y$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$- \ln (| 2 - y |) + C_{1} = \int \frac{3 x}{x^{2} + 1} d x$

解题步骤 2.3

对右边积分。

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解题步骤 2.3.1

由于 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $3$ 移到积分外。

$- \ln (| 2 - y |) + C_{1} = 3 \int \frac{x}{x^{2} + 1} d x$

解题步骤 2.3.2

使 $u_{2} = x^{2} + 1$ 。然后使 $d u_{2} = 2 x d x$ ，以便 $\frac{1}{2} d u_{2} = x d x$ 。使用 $u_{2}$ 和 $d$ $u_{2}$ 进行重写。

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解题步骤 2.3.2.1

设 $u_{2} = x^{2} + 1$ 。求 $\frac{d u_{2}}{d x}$ 。

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解题步骤 2.3.2.1.1

对 $x^{2} + 1$ 求导。

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

解题步骤 2.3.2.1.2

根据加法法则， $x^{2} + 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ 。

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 2.3.2.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$2 x + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 2.3.2.1.4

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$2 x + 0$

解题步骤 2.3.2.1.5

将 $2 x$ 和 $0$ 相加。

$2 x$

解题步骤 2.3.2.2

使用 $u_{2}$ 和 $d u_{2}$ 重写该问题。

$- \ln (| 2 - y |) + C_{1} = 3 \int \frac{1}{u_{2}} \cdot \frac{1}{2} d u_{2}$

解题步骤 2.3.3

化简。

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解题步骤 2.3.3.1

将 $\frac{1}{u_{2}}$ 乘以 $\frac{1}{2}$ 。

$- \ln (| 2 - y |) + C_{1} = 3 \int \frac{1}{u_{2} \cdot 2} d u_{2}$

解题步骤 2.3.3.2

将 $2$ 移到 $u_{2}$ 的左侧。

$- \ln (| 2 - y |) + C_{1} = 3 \int \frac{1}{2 u_{2}} d u_{2}$

解题步骤 2.3.4

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $u_{2}$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$- \ln (| 2 - y |) + C_{1} = 3 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2})$

解题步骤 2.3.5

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $3$ 。

$- \ln (| 2 - y |) + C_{1} = \frac{3}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

解题步骤 2.3.6

$\frac{1}{u_{2}}$ 对 $u_{2}$ 的积分为 $\ln (| u_{2} |)$ 。

$- \ln (| 2 - y |) + C_{1} = \frac{3}{2} (\ln (| u_{2} |) + C_{2})$

解题步骤 2.3.7

化简。

$- \ln (| 2 - y |) + C_{1} = \frac{3}{2} \ln (| u_{2} |) + C_{2}$

解题步骤 2.3.8

使用 $x^{2} + 1$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$- \ln (| 2 - y |) + C_{1} = \frac{3}{2} \ln (| x^{2} + 1 |) + C_{2}$

解题步骤 2.4

将右边的积分常数分组为 $C$ 。

$- \ln (| 2 - y |) = \frac{3}{2} \ln (| x^{2} + 1 |) + C$

解题步骤 3

求解 $y$ 。

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解题步骤 3.1

化简右边。

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解题步骤 3.1.1

组合 $\frac{3}{2}$ 和 $\ln (| x^{2} + 1 |)$ 。

$- \ln (| 2 - y |) = \frac{3 \ln (| x^{2} + 1 |)}{2} + C$

解题步骤 3.2

将所有包含对数的项移到等式左边。

$- \ln (| 2 - y |) - \frac{3 \ln (| x^{2} + 1 |)}{2} = C$

解题步骤 3.3

要将 $- \ln (| 2 - y |)$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$- \ln (| 2 - y |) \cdot \frac{2}{2} - \frac{3 \ln (| x^{2} + 1 |)}{2} = C$

解题步骤 3.4

组合 $- \ln (| 2 - y |)$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{- \ln (| 2 - y |) \cdot 2}{2} - \frac{3 \ln (| x^{2} + 1 |)}{2} = C$

解题步骤 3.5

在公分母上合并分子。

$\frac{- \ln (| 2 - y |) \cdot 2 - 3 \ln (| x^{2} + 1 |)}{2} = C$

解题步骤 3.6

从 $- \ln (| 2 - y |) \cdot 2 - 3 \ln (| x^{2} + 1 |)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

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解题步骤 3.6.1

将表达式重新排序。

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解题步骤 3.6.1.1

将 $2$ 和 $- y$ 重新排序。

$\frac{- \ln (| - y + 2 |) \cdot 2 - 3 \ln (| x^{2} + 1 |)}{2} = C$

解题步骤 3.6.1.2

移动 $\ln (| - y + 2 |)$ 。

$\frac{- 1 \cdot (2 \ln (| - y + 2 |)) - 3 \ln (| x^{2} + 1 |)}{2} = C$

解题步骤 3.6.2

从 $- 1 \cdot 2 \ln (| - y + 2 |)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{- (2 \ln (| - y + 2 |)) - 3 \ln (| x^{2} + 1 |)}{2} = C$

解题步骤 3.6.3

从 $- 3 \ln (| x^{2} + 1 |)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{- (2 \ln (| - y + 2 |)) - (3 \ln (| x^{2} + 1 |))}{2} = C$

解题步骤 3.6.4

从 $- (2 \ln (| - y + 2 |)) - (3 \ln (| x^{2} + 1 |))$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{- (2 \ln (| - y + 2 |) + 3 \ln (| x^{2} + 1 |))}{2} = C$

解题步骤 3.7

将负号移到分数的前面。

$- \frac{2 \ln (| - y + 2 |) + 3 \ln (| x^{2} + 1 |)}{2} = C$

解题步骤 3.8

化简左边。

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解题步骤 3.8.1

化简 $- \frac{2 \ln (| - y + 2 |) + 3 \ln (| x^{2} + 1 |)}{2}$ 。

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解题步骤 3.8.1.1

化简分子。

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解题步骤 3.8.1.1.1

通过将 ( RATIONALNUMBER1) 移入对数中来化简 $2 \ln (| - y + 2 |)$ 。

$- \frac{\ln ({| - y + 2 |}^{2}) + 3 \ln (| x^{2} + 1 |)}{2} = C$

解题步骤 3.8.1.1.2

去掉 ${| - y + 2 |}^{2}$ 的绝对值符号，因为偶次幂的求幂结果恒为正。

$- \frac{\ln ({(- y + 2)}^{2}) + 3 \ln (| x^{2} + 1 |)}{2} = C$

解题步骤 3.8.1.1.3

通过将 ( RATIONALNUMBER1) 移入对数中来化简 $3 \ln (| x^{2} + 1 |)$ 。

$- \frac{\ln ({(- y + 2)}^{2}) + \ln ({| x^{2} + 1 |}^{3})}{2} = C$

解题步骤 3.8.1.1.4

使用对数积的性质，即 $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ 。

$- \frac{\ln ({(- y + 2)}^{2} {| x^{2} + 1 |}^{3})}{2} = C$

解题步骤 3.8.1.2

将 $\frac{\ln ({(- y + 2)}^{2} {| x^{2} + 1 |}^{3})}{2}$ 重写为 $\frac{1}{2} \ln ({(- y + 2)}^{2} {| x^{2} + 1 |}^{3})$ 。

$- (\frac{1}{2} \ln ({(- y + 2)}^{2} {| x^{2} + 1 |}^{3})) = C$

解题步骤 3.8.1.3

通过将 ( RATIONALNUMBER1) 移入对数中来化简 $\frac{1}{2} \ln ({(- y + 2)}^{2} {| x^{2} + 1 |}^{3})$ 。

$- \ln ({({(- y + 2)}^{2} {| x^{2} + 1 |}^{3})}^{\frac{1}{2}}) = C$

解题步骤 3.8.1.4

对 ${(- y + 2)}^{2} {| x^{2} + 1 |}^{3}$ 运用乘积法则。

$- \ln ({({(- y + 2)}^{2})}^{\frac{1}{2}} {({| x^{2} + 1 |}^{3})}^{\frac{1}{2}}) = C$

解题步骤 3.8.1.5

将 ${({(- y + 2)}^{2})}^{\frac{1}{2}}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 3.8.1.5.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$- \ln ({(- y + 2)}^{2 (\frac{1}{2})} {({| x^{2} + 1 |}^{3})}^{\frac{1}{2}}) = C$

解题步骤 3.8.1.5.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.8.1.5.2.1

约去公因数。

$- \ln ({(- y + 2)}^{2 (\frac{1}{2})} {({| x^{2} + 1 |}^{3})}^{\frac{1}{2}}) = C$

解题步骤 3.8.1.5.2.2

重写表达式。

$- \ln ({(- y + 2)}^{1} {({| x^{2} + 1 |}^{3})}^{\frac{1}{2}}) = C$

解题步骤 3.8.1.6

化简。

$- \ln ((- y + 2) {({| x^{2} + 1 |}^{3})}^{\frac{1}{2}}) = C$

解题步骤 3.8.1.7

将 ${({| x^{2} + 1 |}^{3})}^{\frac{1}{2}}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 3.8.1.7.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$- \ln ((- y + 2) {| x^{2} + 1 |}^{3 (\frac{1}{2})}) = C$

解题步骤 3.8.1.7.2

组合 $3$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$- \ln ((- y + 2) {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}) = C$

解题步骤 3.8.1.8

运用分配律。

$- \ln (- y {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}} + 2 {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}) = C$

解题步骤 3.9

将 $- \ln (- y {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}} + 2 {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}) = C$ 中的每一项除以 $- 1$ 并化简。

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解题步骤 3.9.1

将 $- \ln (- y {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}} + 2 {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}) = C$ 中的每一项都除以 $- 1$ 。

$\frac{- \ln (- y {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}} + 2 {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}})}{- 1} = \frac{C}{- 1}$

解题步骤 3.9.2

化简左边。

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解题步骤 3.9.2.1

将两个负数相除得到一个正数。

$\frac{\ln (- y {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}} + 2 {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}})}{1} = \frac{C}{- 1}$

解题步骤 3.9.2.2

用 $\ln (- y {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}} + 2 {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}})$ 除以 $1$ 。

$\ln (- y {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}} + 2 {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}) = \frac{C}{- 1}$

解题步骤 3.9.3

化简右边。

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解题步骤 3.9.3.1

移动 $\frac{C}{- 1}$ 中分母的负号。

$\ln (- y {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}} + 2 {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}) = - 1 \cdot C$

解题步骤 3.9.3.2

将 $- 1 \cdot C$ 重写为 $- C$ 。

$\ln (- y {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}} + 2 {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}) = - C$

解题步骤 3.10

要求解 $y$ ，请利用对数的性质重写方程。

$e^{\ln (- y {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}} + 2 {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}})} = e^{- C}$

解题步骤 3.11

使用对数的定义将 $\ln (- y {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}} + 2 {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}) = - C$ 重写成指数形式。如果 $x$ 和 $b$ 是正实数且 $b \neq 1$ ，则 $\log_{b} (x) = y$ 等价于 $b^{y} = x$ 。

$e^{- C} = - y {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}} + 2 {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}$

解题步骤 3.12

求解 $y$ 。

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解题步骤 3.12.1

将方程重写为 $- y {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}} + 2 {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}} = e^{- C}$ 。

$- y {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}} + 2 {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}} = e^{- C}$

解题步骤 3.12.2

从等式两边同时减去 $2 {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}$ 。

$- y {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}} = e^{- C} - 2 {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}$

解题步骤 3.12.3

将 $- y {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}} = e^{- C} - 2 {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}$ 中的每一项除以 $- {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}$ 并化简。

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解题步骤 3.12.3.1

将 $- y {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}} = e^{- C} - 2 {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}$ 中的每一项都除以 $- {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}$ 。

$\frac{- y {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}}{- {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}} = \frac{e^{- C}}{- {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}} + \frac{- 2 {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}}{- {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 3.12.3.2

化简左边。

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解题步骤 3.12.3.2.1

将两个负数相除得到一个正数。

$\frac{y {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}}{{| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}} = \frac{e^{- C}}{- {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}} + \frac{- 2 {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}}{- {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 3.12.3.2.2

约去公因数。

$\frac{y {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}}{{| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}} = \frac{e^{- C}}{- {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}} + \frac{- 2 {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}}{- {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 3.12.3.2.3

用 $y$ 除以 $1$ 。

$y = \frac{e^{- C}}{- {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}} + \frac{- 2 {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}}{- {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 3.12.3.3

化简右边。

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解题步骤 3.12.3.3.1

要将 $\frac{e^{- C}}{- {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{- 1}{- 1}$ 。

$y = \frac{e^{- C}}{- {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{- 1}{- 1} + \frac{- 2 {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}}{- {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 3.12.3.3.2

要将 $\frac{- 2 {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}}{- {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{- 1}{- 1}$ 。

$y = \frac{e^{- C}}{- {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{- 1}{- 1} + \frac{- 2 {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}}{- {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{- 1}{- 1}$

解题步骤 3.12.3.3.3

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 ${| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}$ 的形式。

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解题步骤 3.12.3.3.3.1

将 $\frac{e^{- C}}{- {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}}$ 乘以 $\frac{- 1}{- 1}$ 。

$y = \frac{e^{- C} \cdot - 1}{- {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}} \cdot - 1} + \frac{- 2 {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}}{- {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{- 1}{- 1}$

解题步骤 3.12.3.3.3.2

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$y = \frac{e^{- C} \cdot - 1}{1 {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}} + \frac{- 2 {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}}{- {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{- 1}{- 1}$

解题步骤 3.12.3.3.3.3

将 ${| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}$ 乘以 $1$ 。

$y = \frac{e^{- C} \cdot - 1}{{| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}} + \frac{- 2 {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}}{- {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{- 1}{- 1}$

解题步骤 3.12.3.3.3.4

将 $\frac{- 2 {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}}{- {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}}$ 乘以 $\frac{- 1}{- 1}$ 。

$y = \frac{e^{- C} \cdot - 1}{{| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}} + \frac{- 2 {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}} \cdot - 1}{- {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}} \cdot - 1}$

解题步骤 3.12.3.3.3.5

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$y = \frac{e^{- C} \cdot - 1}{{| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}} + \frac{- 2 {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}} \cdot - 1}{1 {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 3.12.3.3.3.6

将 ${| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}$ 乘以 $1$ 。

$y = \frac{e^{- C} \cdot - 1}{{| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}} + \frac{- 2 {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}} \cdot - 1}{{| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 3.12.3.3.4

在公分母上合并分子。

$y = \frac{e^{- C} \cdot - 1 - 2 {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}} \cdot - 1}{{| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 3.12.3.3.5

化简每一项。

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解题步骤 3.12.3.3.5.1

将 $- 1$ 移到 $e^{- C}$ 的左侧。

$y = \frac{- 1 \cdot e^{- C} - 2 {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}} \cdot - 1}{{| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 3.12.3.3.5.2

将 $- 1 e^{- C}$ 重写为 $- e^{- C}$ 。

$y = \frac{- e^{- C} - 2 {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}} \cdot - 1}{{| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 3.12.3.3.5.3

将 $- 1$ 乘以 $- 2$ 。

$y = \frac{- e^{- C} + 2 {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}}{{| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 3.12.3.3.6

通过提取公因式进行化简。

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解题步骤 3.12.3.3.6.1

从 $2 {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$y = \frac{- e^{- C} - (- 2 {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}})}{{| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 3.12.3.3.6.2

从 $- e^{- C} - (- 2 {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}})$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$y = \frac{- (e^{- C} - 2 {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}})}{{| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 3.12.3.3.6.3

化简表达式。

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解题步骤 3.12.3.3.6.3.1

将 $- (e^{- C} - 2 {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}})$ 重写为 $- 1 (e^{- C} - 2 {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}})$ 。

$y = \frac{- 1 (e^{- C} - 2 {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}})}{{| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 3.12.3.3.6.3.2

将负号移到分数的前面。

$y = - \frac{e^{- C} - 2 {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}}{{| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 4

化简积分常数。

$y = - \frac{C - 2 {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}}{{| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}}$

微积分学 示例

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