微积分学示例

$\ln (x) \frac{d x}{d y} = \frac{x}{y}$

解题步骤 1

分离变量。

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解题步骤 1.1

两边同时乘以 $\frac{1}{x}$ 。

$\frac{1}{x} (\ln (x) \frac{d x}{d y}) = \frac{1}{x} \cdot \frac{x}{y}$

解题步骤 1.2

约去 $x$ 的公因数。

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解题步骤 1.2.1

约去公因数。

$\frac{1}{x} (\ln (x) \frac{d x}{d y}) = \frac{1}{x} \cdot \frac{x}{y}$

解题步骤 1.2.2

重写表达式。

$\frac{1}{x} (\ln (x) \frac{d x}{d y}) = \frac{1}{y}$

解题步骤 1.3

去掉多余的括号。

$\frac{1}{x} \ln (x) \frac{d x}{d y} = \frac{1}{y}$

解题步骤 1.4

重写该方程。

$\frac{1}{x} \ln (x) d x = \frac{1}{y} d y$

解题步骤 2

对两边积分。

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解题步骤 2.1

在两边建立积分。

$\int \frac{1}{x} \ln (x) d x = \int \frac{1}{y} d y$

解题步骤 2.2

对左边积分。

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解题步骤 2.2.1

组合 $\frac{1}{x}$ 和 $\ln (x)$ 。

$\int \frac{\ln (x)}{x} d x = \int \frac{1}{y} d y$

解题步骤 2.2.2

使 $u = \ln (x)$ 。然后使 $d u = \frac{1}{x} d x$ ，以便 $x d u = d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 2.2.2.1

设 $u = \ln (x)$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 2.2.2.1.1

对 $\ln (x)$ 求导。

$\frac{d}{d x} [\ln (x)]$

解题步骤 2.2.2.1.2

$\ln (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\frac{1}{x}$ 。

$\frac{1}{x}$

解题步骤 2.2.2.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$\int u d u = \int \frac{1}{y} d y$

解题步骤 2.2.3

根据幂法则， $u$ 对 $u$ 的积分是 $\frac{1}{2} u^{2}$ 。

$\frac{1}{2} u^{2} + C_{1} = \int \frac{1}{y} d y$

解题步骤 2.2.4

使用 $\ln (x)$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{1}{2} \ln^{2} (x) + C_{1} = \int \frac{1}{y} d y$

解题步骤 2.3

$\frac{1}{y}$ 对 $y$ 的积分为 $\ln (| y |)$ 。

$\frac{1}{2} \ln^{2} (x) + C_{1} = \ln (| y |) + C_{2}$

解题步骤 2.4

将右边的积分常数分组为 $C$ 。

$\frac{1}{2} \ln^{2} (x) = \ln (| y |) + C$

微积分学 示例

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